巧用弧的特征解決實(shí)際問題例講

漆玉瓊

(江西省宜春市宜陽(yáng)學(xué)校 336000)

隨著新課程的實(shí)施，中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)非常重視對(duì)學(xué)生獨(dú)立思考、邏輯推理、數(shù)學(xué)應(yīng)用等能力的培養(yǎng)，特別重視應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力的培養(yǎng).幾何中弧長(zhǎng)與面積有關(guān)的計(jì)算題也是中考考查圓有關(guān)知識(shí)的重點(diǎn)，而且題型設(shè)計(jì)新穎、獨(dú)特，常常結(jié)合實(shí)際生活中的實(shí)物為模型，考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

例1如圖是一個(gè)桌面會(huì)議話筒示意圖，中間BC部分是一段可彎曲的軟管，在彎曲時(shí)可形成一段圓弧，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，線段AB，CD均與圓弧相切，點(diǎn)B，C分別為切點(diǎn)，已知AB的長(zhǎng)10cm，CD的長(zhǎng)為25.2cm．

(1)如圖1，若話筒彎曲后CD與桌面AM平行，此時(shí)CD距離桌面14cm，求弧BC的長(zhǎng)度(結(jié)果保留π)；

分析本題在第一問，由線段CD與AB平行的特殊情況入手，通過CD與AM距離探求獲得弧BC的半徑為4cm，圓心角為90度，然后可以直接利用弧長(zhǎng)公式求出弧BC的長(zhǎng)度.

解(1)如圖1，∵線段AB,CD均與圓弧相切，∴OB⊥AB,OC⊥CD,

∴CD∥OB∥AM,∴∠BOC=∠OCD=90°.

∵CD距離桌面14cm,AB的長(zhǎng)為10cm,

∴半徑OC為4cm.

第二個(gè)圖形由特殊化為一般情況，當(dāng)弧BC的圓心角發(fā)生改變，此時(shí)要抓住弧的形狀變了但是弧長(zhǎng)不變，利用弧長(zhǎng)公式可直接獲得新弧的半徑CO，再利用三角函數(shù)求出C點(diǎn)到BO的距離.

(2)過點(diǎn)C作CG⊥OB于點(diǎn)G.∵弧BC的長(zhǎng)度為2πcm,

如圖2，過點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N,則CN∥OB.

∴∠OCN=∠BOC=60°.

∵∠OCD=90°,∴∠NCD=30°,

∴DM=DN+CG+AB=12.6+5.2+10=27.8(cm).

∴話筒頂端D到桌面AM的距離是27.8cm.

本題有個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：很多學(xué)生誤以為圖1與圖2中弧的半徑不變而造成錯(cuò)誤地求出點(diǎn)C到BO的距離，因此教師在引導(dǎo)學(xué)生分析時(shí)要盡可能使用直觀教學(xué)，讓學(xué)生找到題目中的變量與等量，從而正確運(yùn)用條件求解.

例2(2018 金華)如圖3是小明制作的一副弓箭, 點(diǎn)A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點(diǎn)，弓弦BC=60cm.沿AD方向拉弓的過程中，假設(shè)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長(zhǎng).如圖2，當(dāng)弓箭從自然狀態(tài)的點(diǎn)D拉到點(diǎn)D1時(shí)，有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.

(1)圖4中，弓臂兩端B1C1的距離為____cm.

(2)如圖5，將弓箭繼續(xù)拉到點(diǎn)D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長(zhǎng)為____cm.

分析在(1)問中由AD1=B1D1=C1D1可知圖形由弓形拉成扇形，在已知圓心角的條件下，利用直角三角形即可求出B1C1的長(zhǎng)度.

解(1)連接B1C1，交AD1于E,則AD1垂直平分B1C1.

在Rt△B1D1E中，∵∠B1C1D1=120°,∴∠B1D1E=60°.

在(2)問中，圖形進(jìn)一步變化，扇形拉成半圓，圖形由一般到特殊，此時(shí)弧B1AC1的形狀變但是長(zhǎng)度不變，從而可求出半圓的半徑，進(jìn)一步在直角三角形中可求出D2E，再獲得AD2的長(zhǎng)度從而解決問題.

(2)在題圖2中，∵AD1=30,∠B1D1C1=120°,

連接B2C2交AD2于E1,則AD2垂直平分B2C2,

本題與例1有類似，同樣是解題時(shí)要抓住弧BC的變化，由圓心角120度的弧變化成半圓后，弧長(zhǎng)不變，但是半徑也變了，所以需要通過弧長(zhǎng)作等量可求出新弧形下的半徑.在解題過程中仍然有不少同學(xué)誤以為半徑不變發(fā)生錯(cuò)誤.

反思總結(jié)：以上兩題無論是從一般到特殊，還是從特殊到一般，都是先通過已知條件易計(jì)算出該段弧的長(zhǎng)度，再利用弧形變而弧長(zhǎng)不變，再求出新的弧形下的半徑，從而解決新的問題.其實(shí)質(zhì)就是引導(dǎo)學(xué)生抓住變式前后的聯(lián)系與區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的能力，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)推理的樂趣.