巧構(gòu)輔助圓 妙解幾何問題

鄭惠容

(福建省泉州市石獅市華僑中學(xué) 362700)

圓的有關(guān)知識是每年中考必考的內(nèi)容之一.縱觀近幾年福建省的中考或質(zhì)檢的數(shù)學(xué)試題會發(fā)現(xiàn)，最后的兩道壓軸題中有時沒有明顯的圓的身影存在.但如果我們認(rèn)真審題，就會發(fā)現(xiàn)，其實根據(jù)題目中的條件，我們可以自己構(gòu)造一個輔助圓.那么怎樣構(gòu)造輔助圓呢？筆者結(jié)合實例，談?wù)剺?gòu)造輔助圓的基本做法.

一、立足基礎(chǔ)，利用圓的定義構(gòu)造輔助圓

根據(jù)圓的定義：到一個定點的距離等于定值的點在同一個圓上.這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法.

例1(2016-2017學(xué)年福州市期末試題)如圖1，C為線段AB上一點，分別以AC，BC為邊在AB的同側(cè)作等邊三角形△HAC與等邊△DCB，連接DH.

(2)在(1)的條件下，作點C關(guān)于直線DH的對稱點E，連接AE，BE，求證：CE平分∠AEB;

(3)現(xiàn)將圖1中△DCB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度α(0°<α<90°)，如圖2,C關(guān)于直線DH的對稱點為E，則(2)中的結(jié)論是否成立并證明.

分析(3)根據(jù)對稱性可知：HE=HC，又因為AH=HC,從而有HC=HA=HE，即A、C、E三點共圓.同理可知B、C、E三點也共圓.

證明(1)(2)略.

(3)結(jié)論仍正確.理由如下：

如圖3,由對稱性可知：HC=HE.

又∵HA=HC，∴HC=HA=HE,

∴A、C、E三點都在以點H為圓心，HA為半徑的圓上.

∴∠AEC=∠BEC,∴EC平分∠AEB.

本題解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)圓的定義，發(fā)現(xiàn)A、C、E三點在以點H為圓心的圓上，同樣B、C、E三點在以點D為圓心的圓上，這樣做出輔助圓后，就可利用圓周角定理解決問題了.

二、能力導(dǎo)向，利用90°的圓周角所對的弦是直徑得到輔助圓

如果題目中出現(xiàn)三角形有一內(nèi)角為90°，有時可以利用90°的圓周角所對的弦是直徑得到輔助圓，然后把問題轉(zhuǎn)化為圓中的問題，利用與圓有關(guān)知識來解決相關(guān)的問題，這體現(xiàn)……