非線性溫度梯度作用下簡支箱梁的剪力滯效應

潘旦光，李冬晴

(北京科技大學 土木與資源工程學院,北京 100083)

箱梁彎曲變形時，由于翼板中剪力滯后的影響使截面的應力分布不均勻，存在剪力滯效應.目前，剪力滯效應常用的分析方法有協調函數法、比擬桿法、變分法、有限元解法等.其中，E Reissner[1]基于最小勢能原理的剪力滯效應分析方法，由于計算簡便且精度較高而得到廣泛應用.Kuzmanovic等[2]在此基礎上分析了帶對稱伸臂的矩形箱梁的剪力滯.張士鐸等[3]用有限差分法對變截面懸臂梁的變系數剪力滯微分方程進行分析，研究了負剪力滯規律.肖軍等[4]采用級數展開的方法構造了剪力滯翹曲位移函數的解析解.雒敏等[5]提出了滿足全截面軸力平衡的附加軸向位移參數用于荷載作用下雙箱室簡支箱梁剪力滯分布.何志剛等[6]研究了配筋對箱梁剪力滯效應的影響.

除荷載外，凡能引起箱梁軸向應力的作用都將引起剪力滯效應，如慣性力作用[7]、溫度作用等.由于箱梁的豎向溫度分布是非線性的[8-10]，即使靜定結構也會產生溫度自應力.劉興法[11]基于平截面假定建立了內力平衡的箱梁溫度自應力簡化分析方法，也是目前分析溫度自應力的常用方法[12-14]，本文將這種方法簡稱為平截面方法.事實上，在非線性溫度梯度作用下箱梁并不符合平截面假定，而存在剪力滯效應，平截面方法無法考慮自應力中的剪力滯效應.鄭日亮等[15-16]采用有限元方法研究了混凝土梁橋的溫度剪力滯效應.文獻[17]針對在非線性溫度作用下，上、下翼板可能呈現同凹同凸的情況，提出了考慮翼板厚度范圍內應力變化的雙參數位移函數，建立單箱單室懸臂梁的自應力求解微分方程.但該方法在建立位移函數時，沒有考慮截面的軸力平衡.

本文在文獻[17]的基礎上，結合雒敏等[5]的研究成果建立了滿足截面軸力平衡的雙參數位移函數，基于最小勢能原理建立了箱梁溫度自應力溫度剪力滯效應的微分方程和邊界條件.對簡支箱梁在非線性溫度作用下的自應力進行分析，討論了簡支箱梁溫度自應力的變化規律，可供類似工程的計算分析參考.

1 溫度剪力滯方程

簡支箱梁在非線性溫度作用下上下翼板的軸向應力和變形示意如圖1所示.其中坐標原點位于端部截面形心點.在討論其剪力滯效應時，做出如下假設：1)僅考慮溫度沿z軸的分布，不考慮沿y軸及x軸的分布.2)忽略σy、σz對σx的影響.3)腹板仍符合平截面假定.4)簡支梁的約束施加在梁端腹板中面上，x=0，z=0處加x和z方向約束，即ux=0,uz=0，x=l，z=0處僅施加z向約束，uz=0，其中l為全橋長度.

在應用最小勢能原理分析箱梁的變形時，梁的豎向位移w(x)、上翼板軸向位移uu(x,y,z)和下翼板軸向位移ub(x,y,z)分別為

w=w(x),

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：u0(x)為截面形心點軸向位移，v(x)為剪切轉角的最大差值，b為箱室凈寬的一半，z為到截面形心的距離，nb為懸臂翼緣板寬度.D為滿足全截面軸力自平衡的附加軸向位移.β和η為描述剪切轉角最大差值方向與幅值的參數.當β=1，η=-1，且z分別取上下翼板中面到原點距離時，式(3)及(4)分別為荷載作用下的上下翼板位移函數.而在非線性溫度梯度作用下，上下翼板出現剪力滯效應的原因不同，溫度的影響和截面整體協調平衡的影響占比不同，導致v(x)的幅值和方向有較大差別.因此，引入β和η兩個參數.

圖1 箱形簡支梁溫度自應力計算模型

Fig.1 Calculation model of self-equilibrating thermal stresses in box girder

全截面的剪力滯翹曲位移函數為

(5)

(6)

在溫度變化情況下，彈性體系的總勢能Π可表示為

Π=U+Ut.

(7)

式中:U表示體系溫度變形過程中所存儲的應變能.Ut表示溫度變形勢能.在溫度作用下梁順橋向應變的勢能為

(8)

式中：E為楊氏彈性模量，α為材料的熱膨脹系數，T(z)為溫度沿高度的分布函數.ε為梁的軸向應變.根據前述假定，可得梁腹板應變εw、上翼板應變εu和下翼板應變εb分別為

(9)

(10)

(11)

對于對稱截面，根據對稱性，取一半進行勢能計算.將式(9)～(11)代入Ut，得到不同部位的溫度變形勢能

(12)

(13)

(14)

在溫度作用下，梁發生軸向變形和彎曲變形，梁不同部位的應變能分別為

腹板

(15)

上下翼板應變能

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(9)～(11)及式(18)、(19)代入式(16)、(17)中得到上下翼板應變能，即

(20)

(21)

則桿件總勢能為

Π=Utw+Uw+Utu+Uu+Utb+Ub,

(22)

將式(22)求變分，由其一階變分等于零δΠ=0，可得非線性溫度梯度作用下箱梁的微分方程和邊界條件：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

式(29)～(31)的形式與文[17]的雙參數相同，差別在于本文中的參數包括滿足全截面軸力自平衡的附加軸向位移值D.為描述方便，將文獻[17]的方法稱為雙參數法，本文方法稱為修正雙參數法.將式(29)進行求導，代入式(30)可得

v″-k2v=0.

(32)

由此可得方程的通解為

v=c1coshkx+c2sinhkx.

(33)

對于簡支梁，桿件的邊界條件可表示為

由此可得

(34)

對式(34)求導得

(35)

由此對式(27)和(29)積分可得

(36)

(37)

式中D1和D2為積分常數，根據邊界條件uw(0,±b,0)=u0(0)+Dv(0)=0；w′(0.5l)=0，可得

(38)

(39)

將式(34)、(36)、(37)代入式(3)和(4)即可求出上、下翼板的位移.則考慮剪力滯效應后翼板的自應力為

(40)

(41)

2 算 例

2.1 無懸臂翼板箱梁

以文獻[18]無懸臂翼緣板箱梁為例，即令圖1(a)中n=0得單箱單室簡支箱梁，截面幾何參數和材料參數分別為b=3 m，tw=0.4 m，tu=tb=0.4 m，h=3.3 m，l=60 m，α=1×10-5/℃，E=35.5 GPa，G=15.2 GPa.假設箱梁的非線性溫度梯度分布如圖2所示.

圖2 豎向溫度分布

為驗證本文方法的合理性，對該箱梁分別采用有限元方法、雙參數法、修正的雙參數法和平截面假定方法進行計算.有限元模型如圖3所示，共有552 920個結點，441 600個面體單元.

圖3 有限元模型

圖4為x=57 m處上下翼板中面軸向應力的計算結果.基于平截面假定計算的應力在橫橋向y方向頂板分布為常數，而有限元計算結果與修正雙參數法計算結果均出現明顯剪力滯現象.并且根據β和η的取值不同，幅度有所變化.當頂板的參數β與底板參數η的比值越大，頂板幅值越大，底板幅值越小.當β=0.64、η=0.32時，修正雙參數法和有限元計算結果的變化規律吻合較好.本文其余討論皆在β=0.64、η=0.32的基礎上進行.

圖5為順橋向x方向上翼板與腹板交角處的應力分布.圖中包含了考慮D的修正雙參數法、不考慮D的雙參數法、有限元解以及平截面假定方法所得順橋向應力.

圖4 上下翼板中面應力(x=57 m)

Fig.4 Middle plane stresses of the top and bottom flanges(x=57 m)

圖5 上翼板與腹板交角處軸向應力

計算結果表明：

1)在非線性溫度梯度作用下，有限元所得的同一高度軸向應力不是常量，而忽略剪力滯的平截面假定計算結果為常量，這表明箱梁在非線性溫度作用下，將產生剪力滯效應.2) 修正雙參數法和雙參數法在簡支梁跨中附近區域的計算結果基本相同，主要差別在于支座附近.以有限元的計算結果為精確解，修正雙參數法的應力結果比雙參數法與有限元結果吻合更好，表明考慮D之后的位移函數與實際更為接近，從而提高了計算精度.3)由于剪力滯的影響，在簡支梁的端部應力大于平截面的計算結果，影響范圍為10 m左右，這表明對于簡支梁而言，溫度自應力所導致的剪力滯主要局限于支座附近的局部應力，影響范圍約為1.5倍箱梁寬度.4)基于平截面假定的應力解沿全橋為常數-0.7 MPa，計算結果在梁中部的40 m范圍內是可行的，而在端部10 m以內小于有限元解及雙參數法的結果.如在57 m處，應力為-0.9 MPa.因此，按平截面假定計算簡支箱梁溫度自應力在工程上偏不安全.

圖6為x=57 m及x=45 m處腹板z向應力分布的計算結果.可以看出，基于平截面假定的溫度自應力計算方法與本文的修正雙參數法皆能較好地反應腹板自應力分布情況.其中，在簡支梁端部1.5倍箱梁寬度距離內存在明顯的剪力滯效應，在x=57 m處本文方法與有限元方法有偏差，但相差不大.在簡支箱梁中間段剪力滯效應不明顯，可認為符合平截面假定，因此，在x=45 m處腹板應力吻合較好.修正雙參數法和基于平截面假定的計算方法中求得的腹板應力與有限元所求值相差較小，在計算過程中腹板采用平截面假定可滿足工程計算精度要求.

圖6 腹板處z向應力

2.2 帶懸臂翼板箱形

2.2.1 局部三角形溫度梯度

令懸臂翼板寬度為nb=3 m，截面其余的幾何參數、材料參數和非線性溫度分布同2.1.圖7為帶懸臂翼板箱形截面的上翼板應力分布.其中圖7(a)為腹板內側與上翼板中面交點處應力沿順橋向x方向分布，圖7(b)為x=57 m處上翼板中面的應力沿橫橋向y方向的分布圖.計算結果表明，雙參數法的計算結果與有限元法的結果相近，顯示了良好的精度.對于平截面法所得的結果，即使在箱梁跨中附近也明顯小于有限元的計算結果.這是由于平截面所得的應力為

(42)

對于簡支箱梁跨中附近，剪力滯效應很小而忽略情況下，由式(40)可得箱梁翼板的應力為

(43)

圖7 帶懸臂翼板截面上翼板中面應力

Fig.7 Middle plane stresses of the top flanges with cantilever flange

2.2.2 規范正溫差分布

以上兩個算例中采用簡化的局部三角形溫度梯度分布，用以闡述非線性溫度梯度作用下剪力滯效應的機理.真實橋梁暴露在大氣環境中，受日輻射強度、橋梁方位、日照時間、地理位置、地形地貌等環境因素的影響而使溫度分布非常復雜.許多學者對各種類型橋梁截面的溫度分布進行了試驗研究，提出了不同的豎向溫度梯度模式[19].在實驗研究的基礎上，各國規范分別確定了相應的溫度梯度函數.中國《公路橋涵設計通用規范》[20]和英國[21]采用的是折線型函數，新西蘭規范[22]采用冪函數.本節以中國《公路橋涵設計通用規范》中正溫差溫度梯度為例進行溫度剪力滯計算.計算中的豎向溫度梯度分布如圖8所示.

在上翼板0.4 m范圍內分布非線性溫度，其中上部0.1 m內由25 ℃降至6.7 ℃，0.1至0.4 m內由6.7 ℃降至0 ℃.對于不同的溫度梯度統一用T(z)函數進行描述，由此，對溫度應力的影響反映在式(12)～(14)中改變溫度變形勢能的6個參數ATw、ATu、ATb、STw、STu、STb以及最后的應力表達式(40)、(41)中的T(z).其他計算過程與局部三角形溫度梯度的相同.

圖8 規范溫度分布

對于帶懸臂翼板的箱型截面梁，幾何參數及材料參數同算例二.在圖8溫度梯度作用下的應力分布如圖9所示.圖9(a)為上翼板與腹板交角中面處應力沿順橋向x方向分布，圖9(b)為x=57 m處上翼板中面的應力沿橫橋向y方向的分布圖.由圖9(a)可知，在箱梁跨中附近剪力滯影響小而使應力基本為常量，但是平截面假定的應力計算結果明顯小于有限元.這是由于非線性溫度梯度下有翼緣板箱形截面的曲率受剪力影響，在平截面假定中沒有考慮這項影響而導致誤差，在修正雙參數法中考慮了這項的影響而精度較高，這與局部三角形溫度梯度作用下的規律相同.圖9(b)x=57 m處橫橋向的應力分布可知，修正雙參數法所得的應力基本反映了溫度應力沿y方向的變化情況，且計算結果與有限元法吻合較好，顯示了良好的適應性.

圖9 規范溫度分布下應力

3 結 論

1)在非線性溫度梯度作用下，上下翼板形成剪力滯的原因不同導致上下翼板的縱向位移函數的幅值不同，且方向與荷載條件下的縱向位移方向有所區別.修正雙參數法既反映了上下翼板變形的差異，又滿足了截面軸力的平衡，從而提高了計算精度.

2)非線性溫度梯度作用下簡支箱梁在端部存在剪力滯效應，影響范圍約為1.5倍箱梁寬度.受剪力滯效應影響，端部的最大應力大于平截面的計算結果.因此，平截面假定算法對于端部是不安全的.

3)對于截面上下對稱的無懸臂翼板箱梁，在離開端部1.5倍箱梁寬度后的跨中區域，剪力滯影響很小，可采用平截面假定進行計算.對于截面不對稱的帶懸臂翼板箱梁，平截面假定無法考慮非線性溫度引起的剪力對截面曲率的影響，即使在跨中區域計算誤差依然較大，而雙參數法修正了剪力對截面曲率的影響而顯著提高了計算精度.