基于GARCH 模型的多元控制圖研究①

李 雙，劉 瀏，沈婉晴

一、 引言

統計過程控制控制(SPC)是一種重要的監控方法，它能夠提高許多領域產品的生產質量包括工業、金融、經濟、醫療保健、環境科學等領域，SPC 用千檢測產品質量特征值發生變化的常用和主要工具是控制圖。 常規的質量控制圖主要有休哈特控制圖、CUSUM 控制圖以及EWMA 控制圖。 休哈特控制圖是休哈特博士在1924 年提出來的，它對檢測大的漂移更有效，基于此Page 在1954 年提出了CUSUM 控制圖，Roberts 在1959 年提出了EWMA 控制圖，他們都對檢測中小漂移有更加好的效果。 在一元EWMA 控制圖的基礎上Cynthia A. Lowry 等人在1992 年提出了多元情況下的EWMA控制圖也就是MEWMA 控制圖，MEWMA 控制圖可以對多維隨機變量進行監控，但也要求我們的觀測值要滿足獨立同正態分布的假設。 在金融數據等數據中，很多都不滿足MEWMA 控制圖的假設前提，例如股票收盤價一般具有異方差性，如果我們忽視異方差性把它看作獨立正態分布則控制圖性能會大大降低。 ARCH 模型由Engle 教授在1982 年首次提出，ARCH 模型能準確地模擬時間序列的波動性。Bollerslev(1986 年) 在ARCH 模型的基礎上提出了廣義ARCH 模型(GARCH 模型)，GARCH 模型是應用最廣泛的推廣模型。 很多數據存在異方差性在對它們進行監控時可以先擬合GARCH 模型。 例如股票數據，先對其擬合GARCH模型再利用控制圖進行監控。 已有的控制圖方法都是對單只股票進行監控，無法實現對多只股票同時進行監控，但是很多股民通常都不會只買一只股票，而是同時持有不同的幾只股票。 同時把多只股票放在一個控制圖中進行監控，能夠在較短的時間做出相應的決策，很大程度上節約時間并且規避因為沒有及時做出決策而產生的風險。 本文提出利用GARCH 型MEWMA 控制圖對多只具有異方差性的數據同時進行監控，并運用蒙特卡洛法得到的ARL 對控制圖性能進行研究。 前人在對一元異方差的數據進行監控時， 使用條件異標準差替代觀測值無條件標準差作為控制線標準差。 本文是針對多元情形，運用MEWMA 控制圖同時對多組具有異方差結構的數據進行監控，在具有異方差性的數據中，利用它們各自的條件異方差作為MEWMA 控制圖觀測值的方差，通過蒙特卡洛法進行模擬，由結果可以看出在異方差情形下我們的方法效果較好。 應用我們的方法，能夠同時對多只具有異方差性的數據進行在線監控，能為投資者提供更好的參考，有廣闊的應用前景。

二、 MEWMA 控制圖

Cynthia A.Lowry 等人在1992 年提出MEWMA 控制圖，MEWMA 控制圖可以同時對多個質量特征進行監控，它的模型如下。

假設觀測值Xt＝(x1t，x2t，…，xpt)T，t＝1，2，…，n是擁有P個質量特征的P×1 維隨機向量且Xt～NP(μ，Σ)，μ，Σ分別為觀測值Xt的均值向量和協方差矩陣。

則MEWMA 統計量Qt構造為：

其中：R＝diag(r1，r2，…rp)當r1＝r2＝…＝rp時：

當t→∞時：

0＜ri≤1，i＝1，…，p當統計量Qt的值超出受控時的控制線UCL 時，控制圖會給出報警信號，表明此時我們的觀測值發生了漂移，控制線UCL 通常通過模擬得到。 衡量控制圖性能的指標是ARL(Average Run Length)，一般受控時ARL 越大越好，失控時我們希望ARL 越小越好。 受控時的ARL 稱為ARL0失控時為ARL1。

三、 GARCH 模型

當受控過程Xt{ }存在波動聚簇性時，我們可以對其擬合GARCH(m，n)模型。 其模型結構為：

其中：

m(≥1)，n(≥0)，a0≥0，bi≥0，aj≥0 有a0，bi，aj是常數。et～WN( 0，1)且對于所有的t，εt與{Xt-k，k≥1}相互獨立。 我們稱為給定前期信息集Ft-1條件下{Xt}的條件異方差，在t時刻有Xt～N(μ，)它刻畫了{Xt}的隨時間的波動情況。 張力健等人在構造控制圖過程中，以{Xt}的條件異標準差σt作為觀測值標準差來構造控制限即得到ARCH 型控制圖。 周丹等人把這種構造控制圖的方法應用到了EWMA 控制圖中，并取得了良好的效果。

四、 GARCH 模型的MEWMA 控制圖

對具有異方差性的數據，先對其擬合GARCH 模型再利用多元控制圖對它們進行同時監控。 為了方便我們以二元MEWMA 控制圖為例，在異方差情形下的二元MEWMA 控制圖模型可以表示為如下形式：

隨機變量X1，t的模型為：

隨機變量X2，t的模型為：

則統計量Qt構造為：

其中Xt＝(X1，t，X2，t)'，μ＝(μ1，μ2)'，e1，t與e2，t～WN(0，1)，μ是Xt的均值向量且X2，t的協方差矩陣，常規的MEWMA 控制圖中∑是一個定值，但是存在異方差性的數據其方差是會隨時間的變化而變化。先對觀測值分別擬和GARCH 模型，在用它們的條件異方差和替代∑中隨機變量各自的方差。

五、 舉例論證

以二元控制圖為例，在金融數據比如股票數據中，多支數據往往具有異方差性和相關關系，本節受控過程(Xt)與{Yt}具有異方差性且二者之間存在一定的相關關系Yt＝0.2Xt+0.05。

{Xt}的輸出模型設為：

μ1，μ2分別是序列Xt{ }，Yt{ }的均值。 在b1取不同值情形下，給定Xt{ }的模型后，受控過程Yt{ }的模型由Eviews 軟件擬合得到。 由應用R 軟件，通過蒙特卡洛模擬法模擬一萬次得到模擬結果。 固定ARL0當Xt{ }，Yt{ }均值同時發生漂移或者某一個變量的均值發生漂移時比較它們的ARL1，從而得到控制圖性能。 確定受控時ARL0＝200，μ1＝0，ε1，1＝0，ε2，1＝0，在失控情形下ARL1越小越好。 選取控制圖的平滑系數為r＝0.1，MEWMA 控制圖要求數據服從多元正態分布故先對數據進行多元正態性檢驗，應用主成分分析法對{Xt}，{Yt}先進行二元正態性檢驗，在b1＝0，0.3，0.6，1 時檢驗的每組Q-Q 圖分別如下所示。

圖1 b1=0 時Q-Q 圖

圖2 b1=0.3 時Q-Q 圖

圖3 b1=0.6 時Q-Q 圖

圖4 b1=1 時Q-Q 圖

由Xt{ }，Yt{ }的Q-Q 圖可以看出不論b1取何值時都基本二元服從正態分布。Xt的均值為0，Yt的均值為0.05，因此可以建立二元MEWMA 控制圖對Xt{ }，Yt{ }同時進行監控。以下是隨機變量的均值發生不同漂移后的模擬結果。

表1 在ARL0為200 時，b1取不同值下 Xt{ }， Yt{ }均值都發生漂移模擬結果

表2 ARL0為200 時，b1取不同值下Xt均值發生漂移模擬結果：

表3 ARL0為200 時，b1取不同值下Yt均值發生漂移模擬結果：

表1 到表3 都是運用R 軟件進行蒙特卡洛方法隨機模擬10000 次得出的結果，由模擬結果可以得出，隨著b1的值不斷增大不論是兩個變量的均值同時發生漂移，還是某一個變量的均值發生漂移，控制圖都能較快地給出報警信號，說明我們的方法是較好地。 特別是在兩者均值同時發生漂移時和Yt發生漂移時，控制圖效果很好能夠較快地給出報警信號。

六、 結語

在運用控制圖進行監控過程中，很多數據存在異方差性，研究者通常采用GARCH 模型刻畫它的波動性，但是在以往的文獻中大多都是對一元情形下的異方差性數據進行監控。 本文提出了對多元情形下存在異方差結構的數據進行監控的方法，即運用隨機變量擬合的GARCH 模型的條件異方差替代隨機變量各自的無條件方差作為協方差矩陣中各自的方差。 先檢驗了數據的多元正態性，再通過蒙特卡洛方法證明了我們方法的監控效果較好。 以此為基礎構造控制圖能夠同時對多只具有異方差結構的數據進行監控，能夠為投資者提供更多的參考。