關于概率論在生活中的應用探討

簡藝

【摘要】概率論是對隨機現象統計規律演繹的研究，它的一些原理和知識普遍應用于生活的點點滴滴，如生活中的抓鬮問題、福利彩票的中獎問題、賭博時賭注的合理分配問題等.基于對這些問題的認識，文章從概率論的角度出發，結合具體的事例，對生活中的概率問題進行了探討.

【關鍵詞】概率論;條件概率;古典概型;貝葉斯公式;數學期望

【基金項目】廣東茂名幼兒師范專科學校2020年度教育科學“十三五”規劃課題——新版課程標準和教資國考背景下的《小學數學課程與教學》的課程設計與教材建設（2020GMYSKT02）

概率論是研究隨機現象數量規律的一門重要的數學分支，它源于生活，也用于生活.隨著科學技術的發展以及計算機的普及，概率論不僅被廣泛用于各行各業，為分析社會現象、研究自然科學、處理公共事業提供了極大的幫助，在生活中也發揮著越來越廣泛的作用.事實證明，生活中處處存在著概率，而且生活中的概率問題往往讓我們意想不到.那么怎樣學會運用概率知識來解決生活中的簡單實際問題呢？下面結合本人多年的教學實踐談談概率論在生活中的一些簡單應用.

一、彩票問題

雙色球彩票是中國福利彩票的一種，開獎規則是從33個紅色球中選6個再加上從16個藍色球中選1個，一共7個數字組成一注.開獎后按號碼重合個數決定獎金等級，這其中是不論順序的，號碼對了即可.獎金等級分為一、二、三、四、五、六等獎：一等獎 6紅1藍，浮動獎金;二等獎6紅0藍，浮動獎金;三等獎5紅1藍，3000元;四等獎5紅0藍或4紅1藍，200元;五等獎4紅0藍或3紅1藍，10元;六等獎0紅1藍或2紅1藍或1紅1藍，5元.浮動獎金是根據當期的銷售情況來定的，如2010年一、二等獎的獎金平均值分別為696萬元、23.4萬元.

根據上表容易算出雙色球的總中獎率P≈0.067，說明100人各買一注的話，約有6人會中獎.由于中五等獎的概率為7.76×10-3<0.01，故中五等獎是一個小概率事件，根據小概率事件原理知道，小概率事件在一次實驗中一般不會發生，只有在大量實驗后方可發生.所以一般情況下你買的少量幾注彩票是不會中獎的.

那么當你拿出2元買一注彩票時，你獲利的期望值是多少呢？下面以2010年的浮動獎金計算如下：

5.64×10^-8×6960000+8.46×10^-7×234000+9.14×10^-6×3000+4.34×10^-4×200+7.76×10^-3×10+5.89×10^-2×5+（1-0.067）×（-2）≈-0.789.

即買一注彩票獲利的期望值為 -0.789元，說明我們每買一注雙色球彩票平均損失0.789元，買得越多越逃不出這個宿命，所以福彩中心永遠是贏家.如果三、四、五、六等獎獎金不變，要想獲利期望值為零，也就是不賺不虧，那么一等獎獎金要定位為16251600元，二等獎獎金要為546390元.而福彩中心已經明文規定一等獎獎金不超過一千萬，這樣才會保住他們募集福利資金的宗旨.

二、抓鬮問題

在生活中，我們經常會遇到一些抓鬮、抽簽的問題，有人會想到先抽者有利，正所謂“先下手為強”，但是真的是這樣嗎？ 下面我們先解決如下問題.

例1 n個人用摸彩的方式決定誰得到一張電影票，他們依次摸彩，求第k（k≤n）個人摸到電影票的概率.

分析 這是一個條件概率問題，第k個人摸到，說明前（k-1）個人都沒有摸到，第二人摸時是在第一人沒摸到的條件下進行的，同樣第三人摸時是在第一和第二人同時沒摸到的條件下進行的，以此類推.

解 令Ai=“第i個人摸到票”，i=1，2，3，…，（k-1），k，第k個人摸到，說明前（k-1）個人都沒有摸到，故第k人摸到的概率為

P[ZK（]=P（A1A2…Ak-1Ak）=[ZK（]P（A1）P（A2A1）P（A3A1A2）…

P（Ak-1A1A2…Ak-2）P（AkA1A2…Ak-1）[ZK）]=n-1n×n-2n-1×n-3n-2×…×n-（k-1）n-（k-2）×1n-（k-1）=1n，[ZK）]

可見每個人摸到電影票的概率都是一樣的，與摸的順序無關.

一般地，有下列結論：若n個簽中有m（1

三、生日問題

例2 著名生日問題：從一個較大的人群中隨機地選取n（n≤365）個人，求其中至少有兩個人的生日相同的概率.

分析 兩人的生日相同是指兩人出生于一年內的同一天，如果排除主觀因素，認為生產是自然現象，即每個孩子在哪天出生都是等可能的，本題是一個古典概型問題.

解 設A=“n人中至少有兩人生日相同”，則A-=“n人中沒有兩人生日相同”，假定一年以365天計算，一個人的生日可以是365天中的任一天，即有365種情況，故n 個人的生日情況包含365n個基本事件.

n個人中沒有兩人同一天生日，就相當于從365天中任意選出n天的排列，即含Cn365·n！個基本事件，故有

P（A-）=Cn365·n！365n=365！365n（365-n）！，

所以

P（A）=1-P（A-）=1-365！365n（365-n）！.

當n較大時，上式計算量很大，下表列出一些具體數值：

從上表容易看出，一個有50個學生組成的班集體，至少有兩人生日相同的可能性竟然高達97%，這是難以想象的.

四、比賽問題

乒乓球比賽規則有3賽2勝制、5賽3勝制和7賽4勝制等，在實戰中選擇哪種規則對自己更有利，選擇哪種規則對參賽雙方較為公平，這些問題都是參賽者和組織者關注的問題.

例3 甲、乙兩乒乓球運動員在一場比賽中，甲勝的概率為0.52，乙勝的概率為0.48.試計算3賽2勝制和5賽3勝制哪個對甲更有利.（假設3賽2勝制和5賽3勝制分別打完3場和5場）

解 令A=“一場比賽，甲勝”，

則P（A）=0.52，P（A-）=0.48.

（1）對于3賽2勝制：可以看作是n=3的獨立重復試驗，此時甲勝的概率為

P3（m≥2）=C23×0.522×0.481+C33×0.523=0.529984.

（2）對于5賽3勝制：可以看作是n=5的獨立重復試驗，此時甲勝的概率為：

P5（m≥3）[ZK（]=C35×0.523×0.482+C45×0.524×0.48+C55×0.525≈0.537460.[ZK）]可見P5（m≥3）>P3（m≥2），即5賽3勝制對甲更有利.

這表明，如果本方每局獲勝的概率比對方的概率大，那么多比賽幾局對本方來說是有利的.但從公平的角度而言，3賽2勝制比5賽3勝制更公平、合理.

五、合理分配賭注問題：

2002年中央電視臺第10頻道與觀眾互動節目中有這樣的一個題目：

例4 甲、乙兩人各出賭資5個金幣，形成10個金幣的賭資.規定最先贏得5局的人獲勝.現在進行了7局，甲贏了4局，乙贏了3局，因故不得不終止比賽.問：這些賭資應如何分配？

當時問了演播廳的三位觀眾，都說按47和37分配合理.

事實上，從概率論的角度思考，兩人在每一局獲勝的概率都一樣，即12.

現假定再比賽一局（第8局）.

甲的形勢是：若甲贏了第8局，則得到全部10個金幣，但贏的概率是12，所以期望值是5個金幣;若甲輸了，那么甲、乙打平，甲得5個金幣，但輸掉的概率也是12，故期望值是2.5個金幣.合計共得7.5個金幣.

乙的形勢是：若乙贏了第8局，則得到5個金幣，但贏的概率是12，故期望值是2.5個金幣;若是輸了，則得到0個金幣.

解 令ξ表示第8局結束后甲能得到的金幣數，由于甲輸贏的概率都是12，贏了ξ=10，輸了ξ=5，即ξ服從的分布表為：

令η表示第8局結束后乙能得到的金幣數，由于乙輸贏的概率都是12，贏了η=5，輸了η=0，即η服從的分布表為：

故ξ與η的數學期望分別為：10×12+5×12=7.5，5×12+0×12=2.5.

即甲、乙兩人應分別得到7.5個金幣和2.5個金幣.

這是帕斯卡分配賭金的故事，最早于1494年由意大利數學家帕喬利提出，16世紀中期的卡爾達諾和塔爾塔利亞等人也討論過這類問題.17世紀中葉法國人梅雷向數學家帕斯卡重提這類問題，引起帕斯卡與另一位數學家費馬在1654年7月至10月間的通信討論，數學史上稱這些通信為最早的概率論文獻.

六、追究責任問題

現實生活中經常會遇到一些責任問題，這些問題追究起來往往是比較麻煩的，正所謂“公說公有理，婆說婆有理”.如何合理地解決這些問題？筆者認為這些問題大多屬于逆概率問題，也就是說現在是問題出現了（即某事件已經發生），在這樣條件下，如果能計算出各方參與這件事的概率有多大，問題便可解決.

例5 倉庫有10000個產品，分別為甲廠5000個，乙廠3000個，丙廠2000個，次品率分別為1%，2%和0.5%.

（1）求倉庫里全部產品的次品率;

（2）若倉庫規定：生產了次品要追究工廠的經濟責任.現在在倉庫中任取一個產品，結果為不合格，但這個產品是哪個工廠生產的標志已經脫落，問：倉庫該如何處理這個產品比較合理？甲、乙、丙分別應承擔多大的經濟責任？

解 （1）令A=“任取一個為次品”，B1=“任取一個為甲廠產品”，B2=“任取一個為乙廠產品”，B3=“任取一個為丙廠產品”.

（2）從概率論的角度考慮，按概率P（Bi|A）的大小來追究工廠的經濟責任較為合理，而

可見乙廠責任較大，丙廠責任較小.如果說要罰款10000元，那么甲、乙、丙分別應承擔4170元、5000元和830元才合理.

P（Bi|A）=P（Bi）P（A|Bi）P（A）（i=1，2，…，n）叫作貝葉斯公式（也叫逆概率公式），其中P（Bi）叫作先驗概率，是長期經驗知道的結果，而P（Bi|A）叫作后驗概率，是醫生常用的結論.這公式是英國醫生貝葉斯發現的，最初用于醫學的疾病診斷，現在被廣泛應用于市場預測、安全監控等.

上述僅從生活的角度探討了概率知識在人們生活中的一些簡單應用，事實上，概率論在自然科學、社會科學、工程技術、軍事科學及農業生產等領域都有著不可缺少的作用.直觀地說，衛星上天、導彈巡航、飛機制造、宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞.概率論作為理論嚴謹、應用廣泛的數學分支正日益受到人們的重視，并將隨著科學技術的發展而發展.

【參考文獻】

[1]吳志高，王群，朱成杰.統計與概率[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]章德.概率論與數理統計[M].北京：北京航空航天大學出版社，2003.

[3]毛綱源.概率論與數理統計解題方法技巧歸納[M].武漢：華中科技大學出版社，1999.