約束條件對最優化問題的影響

張立國

【摘要】本文結合兩個經濟學實例說明約束條件對最優化問題的影響，分析約束條件使目標函數的最優選擇出現偏差的原因，并給出具體的解決方法.

【關鍵詞】約束條件;可行域;目標函數

在經濟學中，最常見的選擇標準是最大化目標（如廠商利潤最大化、消費者效用最大化等）或最小化目標（如在給定產出下使成本最小化等），這些追求目標函數的最大化問題和最小化問題統稱最優化問題.當目標函數受到條件約束時，最優化問題就成了條件極值問題.

由于約束條件的影響，容易造成目標函數的最優選擇出現偏差，因而需要深入研究和解析產生偏差的原因.有些學者也做過這方面的討論，但不夠徹底.本文以兩類常見經濟學案例為引例，說明約束條件對最優化問題的影響，分析約束條件使目標函數的最優選擇出現偏差的原因，并給出具體的解決方法.

一、引例與解法錯誤

例1 設某工廠生產甲、乙兩種產品，當產量分別為x，y（單位：千件）時，其利潤函數為L（x，y）=6x-x2+16y-4y2-2（單位：萬元）.

已知生產這兩種產品時，每千件產品各需消耗原料2000 kg，現有該原料12000 kg，問：兩種產品各生產多少千件時，總利潤最大？最大利潤為多少？

解 約束條件2000x+2000y=12000，即x+y=6.因此，問題是在x+y=6的條件下，求利潤函數L（x，y）的最大值.把x+y=6變形為y=6-x，代入L（x，y），得F（x）=-5x2+38x-50.對變量x求導并令其為零，得F′（x）=-10x+38=0，解得x=3.8，y=2.2.

F″（x）=-10<0，因此當x=3.8時，F（x）有極大值，且F（3.8）=22.2（萬元）.因為只有一個駐點（3.8，2.2），且實際問題的最大值是存在的，所以駐點（3.8，2.2）是L（x，y）的最大值點，最大值為L（3.8，2.2）=22.2（萬元）.

注：事實上，當x=3，y=2時，L（3，2）=23（萬元），即不需消耗所有原料儲量，產值已經超過22.2萬元.此題解法的錯誤在于把不等式（平面區域）約束條件看成等式（直線）約束條件，導致結果出現偏差.

例2 某公司兩個工廠生產同樣的產品，所需的成本不同：A工廠生產x單位產品與B工廠生產y單位產品時的總成本為C（x，y）=x2+2y2+5xy+700.

若公司的生產任務是500個單位產品，問：如何分配任務才能使總成本最小？

解 約束條件為x+y=500，因此，問題是在x+y=500的條件下求總成本函數C（x，y）的最小值.把x+y=500變形為y=500-x，代入C（x，y），得F（x）=-2x2+500x+500700.

對變量x求導并令其為零，得F′（x）=-4x+500=0，解得x=125，則y=375.此時總成本為531950.

注：不難驗證（125，375）是目標函數的最小值點，但遺漏了最小值點（500，0）.此題解法的錯誤是沒有考慮直線可行域的邊界點.

二、理論分析

通過例1與例2的求解不難發現，這屬于條件極值的漏解問題.漏解問題是復雜的，它不僅與求解方法的不嚴謹性有關，與約束條件的復雜性也有著密切的關聯.由于理論依據與適用范圍的限制，導致代入法與拉格朗日乘數法只適用部分條件極值問題的求解.因而當約束條件達不到求解方法的要求時，條件極值就會出現漏解現象.

1.約束條件確定了目標函數的可行域

條件極值就是目標函數f（x，y）在約束條件φ（x，y）確立的可行域上的極值.若可行域是有界閉區域，且目標函數f（x，y）在可行域上連續，那么目標函數f（x，y）在可行域上必定取得最大值和最小值.其中最值點既可能在可行域的內部，也可能在可行域的邊界上.在可行域內部，f（x，y）的所有駐點與偏導數不存在的點均可能成為目標函數的最值點.而例1和例2的錯誤就是考慮問題片面造成的.

2.約束條件決定條件極值的解法

求解條件極值的常用方法有兩種，即拉格朗日乘數法和代入法.現有的大部分高等數學教材都把這兩種方法列為重點，以例題的方式詳細介紹如何利用這兩種方法，卻對理論依據和適用范圍避而不談.其實，它們的理論依據和適用范圍都與約束條件φ（x，y）有著密切的關系.

（1）利用代入法求解條件極值

代入法是從約束條件的m個方程中將其中m個變量解出，用其余（n-m）個變量表示，然后直接代入目標函數中，這樣就變為一個求（n-m）個變量函數的無條件極值問題，因而約束條件顯化是使用代入法的前提條件，否則，使用代入法就會出現漏解情況.

例3 求原點到曲線x2-（y-1）3=0的最短距離.

解1 目標函數：z=x2+y2，約束條件：φ（x，y）=x2-（y-1）3=0.

將約束條件變形為x2=（y-1）3，代入目標函數，得z=（y-1）3+y2.對y求導且令其為零，得 z′=3（y-1）2+2y=3y2-4y+3=0.由于判別式Δ<0，此一元二次函數無實數解.

解2 將約束條件變形為y=1+x2[]3，代入目標函數，得z=x2+（1+x2[]3）2.對x求導，得 z′=2x+4[]3（1+x2[]3）x-1[]3，無穩定點，不可導點x=0.根據一元函數取得極值的第一充分條件可知，（0，1）為所求最小值點.

上述兩種解法都采用了代入法，通過代入實現消元降維，轉化為一元函數的無條件極值問題，但結果卻不同，這說明使用代入法求解條件極值是有條件的.從代數的角度可以看出，當約束條件φ（x，y）變形為單值函數時結果正確，而變為多值函數時結果卻錯誤，這說明條件極值的漏解現象與約束條件φ（x，y）是否顯化有關.

① 當約束條件φ（x，y）=0可以顯化時，代入法可以把條件極值等價轉化為一元函數在區間內的極值問題，而一元函數的極值點只有駐點與不可導點兩類，故不會產生漏解的情況.

② 若約束條件φ（x，y）=0不能顯化時，約束曲線φ（x，y）=0上的點與其在坐標軸上的投影點之間是多對一的映射.如果極值點鄰域內的點出現投影折疊時，極值點的投影或與非極值點的投影重合，或為區間端點，它們都不是z=f[x，y（x）]在定義域內的極值點，此時使用代入法會遺漏條件極值點.

例4 求函數f（x，y）=x2+y2在星形線x2[]3+y2[]3=a2[]3上的最值與對應的最值點.

解 目標函數：f（x，y）=x2+y2，約束條件：φ（x，y）=x2[]3+y2[]3-a2[]3=0.

根據對稱性，只討論y>0的情形：

將約束條件變形為y 2=（a2[]3- x2[]3）3，代入目標函數，得F（x）=x2+（a2[]3-x2[]3）3.

對x求導，得 F′（x）=2x-2（a2[]3-x2[]3）2x-1[]3，得駐點x=±2a[]4.F（x）不可導點x=0.

經比較，最大值F（0）=a2，最小值F±2a[]4=a2[]4，因此f（x，y）的最大值與最小值分別為a2，a2[]4.

由于f（x，y）與φ（x，y）具有對稱性，因此最小值點為

2a[]4，2a[]4，- 2a[]4，2a[]4，2a[]4，- 2a[]4，- 2a[]4，- 2a[]4;

最大值點為（0，a），（0，-a），（a，0），（-a，0）.

注：將約束條件φ（x，y）分為x軸上、下兩部分，利用對稱性解決問題.

結合本例可以看出，利用代入法求解條件極值問題時，應全面考慮約束條件的具體狀況，才能避免出現漏解現象.

（2）利用拉格朗日乘數法求解條件極值

設函數f（x，y），φ（x，y）在點P（x0，y0）的某鄰域內有連續的偏導數，φ（x0，y0）=0.若[φx（x0，y0）]2+[φy（x0，y0）]2≠0時，可用拉格朗日乘數法求解.這里要求約束條件φ（x，y）滿足隱函數存在定理，而且是不可或缺的.當[φx（x0，y0）]2+[φy（x0，y0）]2=0時，使用拉格朗日乘數法就會出現漏解情況.

例5 利用拉格朗日乘數法求解例3.

解 目標函數：z=x2+y2，約束條件：φ（x，y）=x2-（y-1）3=0.

構造拉格朗日函數F（x，y，SymbollA@）=x2+y2+SymbollA@[x2-（y-1）3].

對各變量求偏導并令其為零，得

Fx（x，y，λ）=2x+2λx=0，Fy（x，y，λ）=2y-3λ（y-1）2=0，Fλ（x，y，λ）=x2-（y-1）3=0，

方程組無解，遺漏條件極值點（0，1）.

例5的求解采用拉格朗日乘數法，這是不依賴消元而直接使用的方法.它將問題轉化為二元函數的無條件極值，但結果卻無解，這說明拉格朗日乘數法求條件極值是有使用條件的.而例5的漏解是因為約束條件φ（x，y）在極值點（0，1）不滿足隱函數存在定理的條件造成的，這與拉格朗日乘數法的使用要求相吻合.因而解決由拉格朗日乘數法造成的漏解問題必須圍繞約束條件φ（x，y）是否滿足隱函數存在定理展開討論.

① 若約束條件φ（x，y）滿足隱函數存在定理，即[φx（x0，y0）]2+[φy（x0，y0）]2≠0時，條件極值可以用拉格朗日乘數法求解，在理論上不會漏解.拉格朗日乘數法將條件極值等價轉化為輔助函數F（x，y，SymbollA@）的無條件極值問題.而二元函數的駐點不一定是極值點，因此拉格朗日乘數法求得結果只是可能的極值點，而且必定含有所有極值點.

② 若約束條件φ（x，y）不滿足隱函數存在定理時，拉格朗日乘數法就不再適合作為求解條件極值的方法.如果繼續使用此方法，可能出現漏解情況，而且遺漏的可能極值點就是φ（x，y） 的駐點或偏導數不全存在的點.

例6 利用拉格朗日乘數法解例4.

解 目標函數：f（x，y）=x2+y2，約束條件：φ（x，y）=x2[]3+y2[]3-a2[]3=0.

構造拉格朗日函數F（x，y，SymbollA@）=x2+y2+SymbollA@（x2[]3+y2[]3-a2[]3）.

對各變量求偏導并令其為零，得

Fx（x，y，λ）=2x+23λx- 1[]3=0，Fy（x，y，λ）=2y+23λy- 1[]3=0，Fλ（x，y，λ）=x2[]3+y2[]3-a2[]3=0，

解得拉格朗日函數的駐點：2a[]4，2a[]4，-2a[]4，2a[]4，2a[]4，-2a[]4，-2a[]4，-2a[]4.

遺漏條件極值點：（0，a），（0，-a），（a，0），（-a，0）.結果與例4相同.

注：① 約束條件φ（x，y）在遺漏條件極值點（0，a）的偏導數不存在，其余遺漏條件極值點情況類似.

② 拉格朗日函數的駐點與約束條件φ（x，y）偏導數不全存在的點是目標函數f（x，y）的可能條件極值點.

綜上所述，條件極值的極值點或是約束條件φ（x，y）的駐點、φ（x，y）偏導數不全存在的點，或是拉格朗日函數的駐點.不過由于約束條件的限制，使用拉格朗日乘數法時，前兩種可能極值點經常被遺漏，因此為避免漏解問題，需要補充考察這兩類點.

三、解決問題

條件極值處理最優化問題時，應當考慮可行域上的所有可能極值點，才能避免出現漏解現象，因而條件極值處理最優化問題的解題過程如下.

首先，找出約束條件φ（x，y）確定的可行域.

其次，找出可行域內可能的最值點：

① 找到φ（x，y）的所有偏導數不全存在的點：{（xi，yi）|φx（xi，yi），φy（xi，yi）不存在，i=1，2，…，n}.

② 找到φ（x，y）的駐點：{（xi，yi）|[φx（xi，yi）]2+[φy（xi，yi）]2=0，i=1，2，…，n }.

③ 找到φ（x，y）的邊界點：{（xi，yi）|φ（x，y）=0，i=1，2，…，n }.

④ 找到所有拉格朗日駐點：{（xi，yi）| i=1，2，…，n }.

最后，比較上述所有點處的函數值，取滿足題目要求的條件極值.

約束條件不僅決定目標函數的可行域，還影響著條件極值的解法.在最優化問題上，需要謹慎處理約束條件，否則會使最優選擇出現偏差，因此，正確理解和分析約束條件是至關重要的.

【參考文獻】

張麗，張藝玲，朱德剛.條件極值問題中約束條件的一個注記[J].高等數學研究，2018，21（2）：30-31.