多元多項式理論及其應(yīng)用

岳霞霞

【摘要】本文以對稱多項式和二次型這兩類特殊的多元多項式為例，比較系統(tǒng)地總結(jié)了這兩類多項式的有關(guān)知識點.在對稱多項式中，以對稱多項式定理為主線，較為具體地列出了對稱多項式定理在導(dǎo)出方程系數(shù)之間的關(guān)系、解高次方程組與證明題中的應(yīng)用;在二次型中，主要列舉了二次型在證明不等式、求極值與因式分解中的應(yīng)用，使得多元多項式這一部分知識更加有條理，同時對于今后做這方面的題目有一定的幫助.

【關(guān)鍵詞】多項式;對稱多項式;二次型

一、對稱多項式

對稱多項式是比較常見的一類多元多項式，同時也是一種比較重要的多元多項式.初等對稱多項式在對稱多項式理論中占據(jù)重要的地位，而對稱多項式的基本定理是聯(lián)系對稱多項式與初等對稱多項式之間的橋梁.這一節(jié)以對稱多項式的定理為主線，總結(jié)了與其有關(guān)的知識點以及一些應(yīng)用.

1.有關(guān)對稱多項式的知識點

（1）定義

如果n元多項式f（x1，…，xi，…，xj，…，xn）對于i，j（1≤i

（2）對稱多項式的基本定理

對于任意一個n元對稱多項式f（x1，x2，…，xn）均有一個相應(yīng)的n元多項式φ（y1，y2，…，yn），使f（x1，x2，…，xn）=φ（σ1，σ2，…，σn）.

（3）一元多項式根與系數(shù)的關(guān)系

設(shè)f（x）=xn+a1xn-1+…+an（1）

是一元多項式環(huán)Px中的一個多項式，假如多項式f（x）在數(shù)域P中有n個根α1，α2，…，αn，那么f（x）就能夠分解為

f（x）=（x-α1）（x-α2）…（x-αn）.（2）

比較（1）與（2）可以得到根與系數(shù)的關(guān)系如下所示：

-a1=α1+α2+…+αn，a2=α1α2+α1α3+…+αn-1αn，……（-1）iai=∑ak1ak2…aki（所有可能的i個不同的akj的乘積之和），……（-1）nan=a1a2…an.

2.對稱多項式的應(yīng)用

（1）在導(dǎo)出方程系數(shù)之間的關(guān)系中的應(yīng)用

根據(jù)對稱多項式定理，任意一個n元對稱多項式f（x1，x2，…，xn）均可以用一個基本對稱多項式來表示，下面的兩個例題就是用這一定理來解決的，即若已知一個一元n次方程xn+a1xn-1+…+an=0的根之間的關(guān)系，則可以導(dǎo)出方程的系數(shù)之間應(yīng)該滿足的關(guān)系.

例1 證明一個三次方程x3+a1x2+a2x+a3=0的三個根成等差數(shù)列的條件是 2a31-9a1a2+27a3=0.

證明 設(shè)該方程的三個根分別為x1，x2，x3，因為這三個根成等差數(shù)列，故有2x2=x1+x3，則相應(yīng)的對稱多項式可以構(gòu)造為

φ（x1，x2，x3）=（2x1-x2-x3）（2x2-x1-x3）（2x3-x1-x2）.

又因為σ1=-a1，σ2=（-1）2a2=a2，σ3=（-1）3=-a3，

代入上面式子，從而有

φ（x1，x2，x3）=2a31-9a1a2+27a3.

又因為2x2=x1+x3，故有φ（x1，x2，x3）=0，

所以φ（x1，x2，x3）=2a31-9a1a2+27a3=0.

（2）在解高次方程組中的應(yīng)用

例2 在復(fù)數(shù)域上解方程組x5+y5=33，x+y=3.

解 方程組中的每個方程的左端都是x與y的對稱多項式，設(shè)兩個字母的對稱多項式為σ1=x+y，σ2=xy，

把x5+y5表示成二元初等對稱多項式，則有x5+y5=σ51-5σ31σ2+5σ1σ22，

從而原方程化簡為σ51-5σ31σ2+5σ1σ22=33，σ1=3，

解得σ1=3，σ2=2或σ1=3，σ2=7，即x+y=3，xy=2或x+y=3，xy=7.

因此，原方程組的解為（1，2），（2，1），3-19i2，3+19i2，3+19i2，3-19i2.

（3）在證明中的應(yīng)用

例3 證明x1+x2+…+xn=0，x21+x22+…+x2n=0，……xn1+xn2+…+xnn=0只有零解.

證明 令σ1=x1+x2+…+xn，σ2=x1x2+x1x3+…+x1xn+…+xn-1xn，……σn=x1x2…xn，

sk=xk1+xk2+…+xkn（k=0，1，2，…），

由已知，可得s1=s2=…=sn=0，

s1=σ1=0，s2=s1σ1+2σ2=0，……sn=sn-1σ1-sn-2σ2+…-（-1）n-1σn-1s1-（-1）n-1nσn=0，

從而可得σ1=σ2=…=σn=0，

故x1，x2，…，xn為一元n次方程xn=0的n個根，而xn=0的n個根全為0，即x1=x2=…=xn=0.

故方程組只有零解.

二、二次型

二次型是二次齊次多項式，是特殊的多元多項式，本文通過矩陣乘法將二次型與對稱矩陣聯(lián)系起來，從而將二次型的問題轉(zhuǎn)化為矩陣來求，使二次型的問題簡單化.

1.有關(guān)二次型的知識點

定義1 每個n元二次型f（x1，x2，…，xn）都可唯一地表示成f（x1，x2，…，xn）=XTAX，其中X=（x1，x2，…，xn）T，A為對稱陣，A稱為二次型f的矩陣，則矩陣A的秩稱為二次型f的秩.

定義2 實二次型f=XTAX（A為實對稱陣，X=（x1，x2，…，xn）T），若對任意的X≠0，都有f>0（f≥0，f≤0），則稱f為正定（半正定、半負定）二次型.

定理1 實二次型f（x1，x2，…，xn）=XTAX可經(jīng)變量的正交變換Y=QX（Q為正交陣）化為

f=λ1y21+λ2y22+…+λny2n（λ1，λ2，…，λn是矩陣A的全部特征值）.

定理2 設(shè)f=XTAX是n元實二次型，如果∑ni=1x2i=1，那么矩陣A的最大（小）特征值正好是f的最大（小）值.

以下我們進行討論判定n元二次型是否存在極值以及求極值的方法.

一般的，n元二次多項式形如

∑ni=1∑nj=1aijxixj+2∑ni=1bixi+c，（3）

顯然（3）存在極值當(dāng)且僅當(dāng)∑ni=1∑nj=1aijxixj+2∑ni=1bixi，（4）

存在極值（上兩式aij=aji），易見∑ni=1∑nj=1aijxixj是一個n元二次型，設(shè)其矩陣為A.于是有

定理3 一個實二次型能夠分解成為兩個實系數(shù)的一次齊次多項式乘積的充分且必要條件是：它的秩為2且正負慣性指數(shù)相等，或者秩等于1.

2.二次型的應(yīng)用

（1）二次型在證明不等式中的應(yīng)用

例4 求證n∑ni=1x2i≥∑ni=1xi2.

證明 令f（x1，x2，…，xn）2=n（x21+x22+…+x2n）-（x1+x2+…+xn）2

=（n-1）x21+（n-1）x22+…+（n-1）x2n-2x1x2-2x1x3-…-2x1xn

-2x2x3-…-2x2xn-…-2xn-1xn，

該二次型的矩陣為

n-1-1…-1-1-1n-1…-1-1……………-1-1…n-1-1-1-1…-1n-1

將第2，3，…，n列加到第1列，那么第1列元素全為零，故|A|=0.用同樣的方法可以求出A的i階主子式為（n-i）ni-1>0（i=1，2，…，n-1），因此A是半正定的，所以f（x1，x2，…，xn）≥0，即n∑ni=1x2i≥∑ni=1xi2.

（2）二次型在求極值中的應(yīng)用

定理2給出了在變數(shù)平方和等于1的情況下，求實二次型XTAX的最大、最小值的方法，在這里，我們舉例說明.

例5 已知實數(shù)x，y滿足x2+y2=1，求f（x，y）=x2+2y2-2xy的最大值與最小值.

解 f（x，y）的矩陣為 A=1-1-12，

λE-A=λ-111λ-2=λ2-3λ+1.

令λE-A=0，則λ1=123+5，λ2=123-5.所以，根據(jù)定理2可以得到，f（x，y）在x2+y2=1下的最大值為123+5，最小值為123-5.

（3）二次型在因式分解中的應(yīng)用

例6 求多項式f（x1，x2）=x21-3x22-2x1x2-2x1-6x2在R上的分解.

解 考慮二次型g（x1，x2，x3）=x21-3x22-2x1x2+2x1x3-6x2x3，則顯然有f（x1，x2）=g（x1，x2，1）.

二次型g（x1，x2，x3）對應(yīng)的矩陣為

A=1-11-1-3-31-30，

矩陣A經(jīng)過合同變換，可以求得相應(yīng)的可逆矩陣為

P=11-3201-12001，且滿足PΤAP=1-40.

顯然r（A）=2且符號差為0，由定理可以知道，二次型g（x1，x2，x3）可分解.

作非退化線性變換

x1x2x3=11-3201-12001y1y2y3，

則g（x1，x2，x3）=y21-4y22=（y1+2y2）（y1-2y2），

而Y=P-1X，故有y1=x1-x2+x3，y2=x2+12x3，y3=x3，

從而g（x1，x2，x3）=（x1+x2-2x3）（x1-3x2），

進而有f（x1，x2）=g（x1，x2，1）=（x1+x2+2）（x1-3x2）.

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