2020年上海市松江區高三數學一模不等式小題的思考

畢妍妍

【摘要】均值不等式一直是高考經常考查的重點和熱點，在解這一類題時要注意“拆，湊，拼”等技巧，特別要注意“一正二定三相等”的條件，缺一不可.本文以一道2020年上海市松江區高三數學一模中的不等式填空題為例，給出其多種解法，引導學生發散思維.在對問題求解時，可以考慮消元或構造的方式去入手，同時等號成立的條件必須要驗證.另外，本文還列舉了幾道高中數學競賽試題，以此說明均值不等式的妙用.不等式題目能夠考查學生對于基本知識的觀察能力和靈活運用能力，引導學生自主分析問題，進而解決問題，培養學生數學抽象和邏輯推理的數學核心素養.

【關鍵詞】不等式;均值不等式;最值;一題多解

對于高中數學教師來說，每年的高三數學一模試題都是必做的，這樣可以幫助老師們及時了解和掌握最新的命題趨勢和熱門考點.不等式問題也一直是高中數學試題中的熱點和重點，特別是與二元均值不等式相關的問題.題海無邊，這需要老師和學生對典型題目要進行思考和分析，及時總結歸納，學會一題多解，掌握變式題型.本文對2020年上海市松江區高三數學一模中的不等式填空題做了一些思考，僅供讀者參考和借鑒.

先呈現這道試題如下：

（2020 年松江高三一模11題）若實數a，b>0，滿足abc=a+b+c，a2+b2=1，則實數c的最小值為.

本題是上海市松江區高三數學一模第11題，屬于填空題中的壓軸題，但本題方法多種，可供學生選擇的余地非常大.

解法一（函數與方程思想）

由于abc=a+b+c，可得c=a+bab-1.

根據（a+b）2≤2（a2+b2）=2，可知0

再根據2ab≤a2+b2=1，

又可知ab-1≤-12，-2≤1ab-1<0，

因而-22≤a+bab-1<0.

綜上，可得cmin=-22，此時a=b=22.

解法二（均值不等式法）

同解法一，得c=a+bab-1.

由于a，b>0，進一步可得c=a+bab-1≥2abab-1=2ab-1ab，

等號成立當且僅當a=b=22.

下面令t=ab，f（t）=2t-1t，

由于2ab≤a2+b2=1，因而t∈0，22.

由f（t）=2t-1t在t∈0，22上單調遞減，因而f（t）min=f22=-22.

綜上，可得cmin=-22，此時a=b=22.

解法三（均值不等式法）

同解法一，得c=a+bab-1.

由于a，b>0，進一步可得

c[ZK（]=a+bab-1=a+b3ab-（a+b）2

≥a+b34（a+b）2-（a+b）2=-4（a+b）（a+b）2=-4a+b.[ZK）]

當然此處也可以進行如下變形：

c=a+bab-1≥a+b（a+b）24-1=1a+b4-1a+b，

等號成立當且僅當a=b=22.

由于0

綜上，可得cmin=-22，此時a=b=22.

解法四（參數方程法）

令a=sin θ，b=cos θ，其中θ∈0，π2，

則c=a+bab-1=sin θ+cos θsin θcos θ-1.

下令t=sin θ+cos θ=2sin θ+π4，

由于θ+π4∈π4，3π4，因而t∈（1，2].

sin θcos θ=sin θ+cos θ2-12=t2-12，

因而c=f（t）=tt2-12-1=2tt2-3=2t-3t，t∈（1，2].

由于函數f（t）在t∈（1，2]上單調遞減，因而cmin=f（2）=-22.

解法五（拉格朗日函數法）

由于abc=a+b+c，可得c=a+bab-1.

構造拉格朗日函數L（a，b，λ）=a+bab-1+λ（a2+b2-1）.

下面對L（a，b，λ）分別求關于a，b，λ的一階偏導，并分別令其等于零，可得

L′a=（ab-1）-（a+b）b（ab-1）2+2λa=0，L′b=（ab-1）-（a+b）a（ab-1）2+2λb=0，L′λ=a2+b2-1=0，

由于a，b>0，解得a=b=22，λ=32.

這就是拉格朗日函數的穩定點，可得此點為函數的最小值點，即c的最小值為-22.

[STHZ]變式推廣[STBZ] 若實數a，b，k>0，滿足abc=a+b+c，a2+b2=k2，求k的取值范圍，使得實數c能取得最小值，并求其最小值.

解析（三角換元）

令a=ksin θ，b=kcos θ，其中θ∈0，π2，

則c=a+bab-1=ksin θ+kcos θk2sin θcos θ-1.

下令t=sin θ+cos θ=2sin θ+π4，

由于θ+π4∈π4，3π4，因而t∈（1，2].

sin θcos θ=sin θ+cos θ2-12=t2-12，

因而c=f（t）=ktk2·t2-12-1=2ktk2t2-k2+2=2kk2t-k2+2t，t∈（1，2].

令g（t）=k2t-k2+2t，

當0

g（t）<0且嚴格單調遞增，其中gk2+2k=0，

當k2+2k0且嚴格單調遞增.

先考慮f（t）=2kg（t），當00且嚴格單調遞減.

由于t∈（1，2]，若使得f（t）有最小值，只要2

解得0

綜上可得，僅當0

與均值不等式相關的題目在高中數學聯賽中也頻頻出現，一直也是常考常新.下面列舉兩例不等式試題.

題目如下：

1.（2011年高聯一試3）設a，b為正實數，1a+1b≤22，（a-b）2=4（ab）3，則logab=.

解析 根據1a+1b≤22，可得a+b≤22ab.

由于（a+b）2[ZK（]=4ab+（a-b）2=4ab+4（ab）3≥4×2ab·（ab）3=8（ab）2，[ZK）]

即a+b≥22ab，等號成立當且僅當a=b.

綜上可得a+b=22ab.

進一步解得a=2-1，b=2+1或a=2+1b=2-1，故logab=-1.

2.（2015年高聯一試9）若實數a，b，c滿足2a+4b=2c，4a+2b=4c，求c的最小值.

解析（換元） 令x=2a>0，y=2b>0，z=2c>0，

則條件變為x+y2=z，x2+y=z2.

進一步可得z2-y=x2=z-y22=z2-2zy2+y4，

因而z=y4+y2y2.

利用三元均值不等式可得，

z[ZK（]=y4+y2y2=12y2+12y+12y≥12×33y2·12y·12y=3432，[ZK）]

等號成立當且僅當y2=12y=12y，即y=132.

因而，cmin=log2zmin=log23432=log23-53.

在2020年的高中聯考，各省也出現了一些與均值不等式相關聯的題目，下面列舉一例.

（2020年甘肅高聯預賽9）已知x>0，y>0，且12x+y+1y+1=1，則x+2y的最小值為.

解析 本題需要構造系數使得等式成立.

x+2y[ZK（]=122x+y+32y+1-32

=122x+y+32y+112x+y+1y+1-32=122x+yy+1+32y+12x+y+12≥2122x+yy+1·32y+12x+y+1[]2=3+12，[ZK）]

等號成立當且僅當122x+yy+1=32y+12x+y，

即x=12+33，y=33.

一直以來，均值不等式都是高考考查的重點和熱點，在使用時要注意“拆，湊，拼”等技巧，特別要注意“一正二定三相等”的條件，缺一不可.在對問題求解時，可以考慮消元或構造的方式入手，同時等號成立必須進行驗證.不等式題目能夠考查學生對于基本知識的觀察能力和靈活運用能力，引導學生自主分析問題，進而解決問題，培養學生數學抽象和邏輯推理的數學核心素養.