課程標準下數學建模素養的培育基礎

洪思瀾

【摘要】新課標的實施明確將數學建模列為數學學科核心素養之一.文章從教師的教學角度出發，著重強調在教育改革的過程中，如何通過章節引言的導入、知識推演情景的設計和數學語言的培養等教學方式，帶領學生養成優秀的數學思維品質，從而為培育學生的建模素養奠定良好的基礎.同時以“用一次函數解決問題”為例，分析如何在教學中培育學生的數學建模素養.

【關鍵詞】課程標準;數學建模;教學方式

【基金項目】受到“省級大學生創新創業訓練計劃”項目資助（201910332055Y）

一 、提出問題

南寧市曾對示范和非示范性中學的初三學生進行了調研，調查結果顯示：大多數學生寧愿用常規卻煩瑣的方法進行解題，也不愿意花費精力思考其他更簡單快速的解題方式.[1]在中學的課堂教學中，由于教學課時的限制，教師常常會直接給出公式、定理或是命題，稍加解釋，就直接通過題型訓練“強迫”學生掌握所學知識，繼而達到考試會做的目的.這種知識堆積式的教學方式嚴重忽略了學生數學思維的培養，思維固化、數學語言形式單一等一系列的教育結果，都會對中學生建模素養的培育造成巨大的阻力，而形成這一現狀的背后，有學生自身的原因，但也不乏教師教學方式的影響.

數學知識的純粹堆砌、數學思維的固化和數學語言的匱乏，這些都是橫在建模素養培育路上的大石頭，若不“搬走”，再完善的培養計劃也無法發揮最佳效果.因此，本文結合課程標準，以教學過程的實際環節為出發點，思考如何從教師教學方式著手，為學生建模素養的培育掃除障礙.

二、課程標準中對培育數學建模素養的闡述

《義務教育數學課程標準（2011年版）》和《普通高中數學課程標準（2017年版）》都明確提到了培育學生模型素養的相關內容.《普通高中數學課程標準（2017年版）》中指出，數學建模的過程主要包括：在實際情景中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數、計算求解、檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.[2]如在車輛限行、DVD在線租賃等實際生活場景中，研究污染影響、最佳租賃方案等問題，可運用函數、數列、不等式、排列組合等知識構建合理模型，再根據具體數據進行求解、檢驗，最終解決問題.對于仍有余力的學生，鼓勵其在教師的指導下，推廣得到更一般化的模型.這就要求學生擁有良好的符號意識、應用意識和抽象能力，能客觀細致地分析問題，學會運用數學語言表示場景中的數量關系和變化規律，并善于借助工具進行計算和檢驗，從而達到訓練思維、解決問題的目的.

在義務教育階段，課程標準僅要求學生初步形成模型思想，提高數學學習興趣和應用意識.[3]如在鞋碼和長度的問題中，懂得套用一次函數模型解決問題;在小麥收割機租賃方案問題中，懂得套用不等式模型，并根據考慮因素的不同給出多種租賃策略.總之，在多樣化問題情境的引導下，培養學生的數學興趣.而在普通高中教育階段，課程標準提出了更進一步的培養要求：希望學生有意識地去觀察和體會生活中所蘊含的數學，深刻感悟現實世界與數學學科的緊密聯系[2]，如概率論作為數學學科的一大分支，最初就是源于賭徒分金問題.標準中還鼓勵學生多參與數學建模的相關活動，培養熟練運用數學模型解決問題的能力，積累數學實踐的相關經驗，同時，了解數學模型在科學、社會、工程技術等諸多領域的作用[2]，如運用MATLAB的動態系統模擬ASM3模型進行污水處理的仿真演示等，從而進一步培養學生的科學精神和實踐意識.

總的來說，數學模型搭建了數學學科與外部世界聯系的橋梁，讓學生能夠更加明確地感受到數學是來源于生活，更應用于生活.

三、教學方式的幾點建議

（一）開展有趣的章前課程，豐富學生對知識的記憶

歌德曾說：“哪里沒有興趣，哪里就沒有記憶.”當學生真正對數學產生興趣時，他才會用心去記憶其中的知識，日積月累，就會擁有牢固的知識基礎，而清晰的數學知識正是走進建模殿堂的敲門磚.因此，培養學生建模素養的前提，一定是先培養學生對于知識的接納.而章前課程的教學恰能有效地激起學生的學習興趣，加固學生對知識的記憶.且不談中學生，即使是大學生，倘若教師能很好地利用章前課程開展教學，那么在提起微積分時，學生想到的將不僅僅是等價無窮小、迫斂準則……他們還會想起牛頓-萊布尼茲之爭，這樣，學生對于數學的記憶就不再是冰冷的公式符號，而是無數的數學故事中誕生的數學元素.

以數學前輩們的故事為主線的章前課，既激發了學生對新章節知識的向往，又豐富了數學課的內涵.當然，章前課的形式并不唯一，除了向學生講述前輩們的探索歷程，也可以通過關聯性知識向學生展示包含了新舊知識的層次聯系.如在“有理數”新授課之前，先向學生展示完整的數域層次，從小學的自然數到初中即將學習的有理數、實數，再進一步擴展到高中要學習的復數域，并向學生解釋有理數逐漸產生的過程及其名稱的由來.這樣，既能將小學、初中和高中的知識有效地銜接起來，也能一定程度上消除學生對于新知識的陌生感和抗拒感.或者是，教師在新授課之前安排一次活動探究課，引導學生在情境的探索中體會新知識在現實生活中的刻畫，也能讓學生積累更多數學實踐的經驗.

總之，章前課的形式多種多樣，有效的章前引入，既能激發學生對新知識的向往，提高學習興趣，更能豐富和加固學生對知識的記憶，也為學生建模素養的培育奠定了堅實的知識基礎.

（二）設計合理的推演情景，培養靈活的數學思維

靈活的數學思維是學生建模解題過程中的強心劑，教師在教授公式、定理時，添設符合學生認知水平的推演過程能很好地提升學生思維的靈活度.曾經在一節數學分析課上，教師花費一節半課的時間，用了四塊黑板，只證明了一個“隱函數存在定理”.當時我完全不理解這種教學行為，是因為我忽略了：證明定理的過程就是我們作為學生參與知識獲取的過程，相比于直接主觀地接受某一個定理或是命題，這樣獲取知識的過程更為主動，也更能培養學生的思維.

當然，以上所提到的教學行為只是培養數學思維的途徑之一.在中學教學階段，由于學生的知識儲備有限，大多數的定理無法給出嚴謹的證明，因此，合情推理在中學教學中更為常用.這時，就需要教師在新課教學之前，設計合理的教學情境和提問，引導學生自主探索推導方式，學會從多個特殊的例子中推演出一般的結論或是通過相關概念的類比、聯想推導出公式或定理.比如，在講授“球的體積公式”這節課時，由于課本上的推導過程多且復雜，如果直接按照書本上的內容進行教學，不但浪費時間，還不會取得很好的效果.不妨運用類比、聯想的方法引導學生進行公式推導：把西瓜看成一個球體，若把它平均切成16塊，則每塊西瓜以整個西瓜的中心為頂點，瓜皮為底面，可以看成一個棱錐，那么整個西瓜就可以被當成一個廣義的錐體，運用V_錐=（1/3）SR和S_球=4πR²兩個公式就能直接推導出球的體積公式V_球=（4/3）πR³[4].將整個西瓜近似看作球體，切好的每塊西瓜看作棱錐，這樣就巧妙地利用學生熟悉的幾何模型和計算公式推導出了新的體積公式.這樣的推導過程簡捷有趣，既便于學生接受，提高其數學學習興趣，也激活了學生的數學思維.

用巧妙合理的方式開展教學，學生對于知識的領悟更加透徹，思維方式更加多變.如此培養出的學生更能在今后的數學建模活動中輕松地聯想到與問題相對應的多種數學知識與方法，進而快速地提出應對策略，解決相應問題.

（三）重視數學語言的培養，教會學生用數學感受生活

數學語言是數學思維的載體，調查表明：凡是數學成績不理想、數學能力薄弱的學生，有很大一部分是數學語言匱乏的人.學生如果缺乏數學語言的表達能力，就無法準確傳達數學思想，在建模過程中往往會困于煩雜的文字語言，找不到題目的突破口，或是對于已經寫出的大量公式、符號沒有直觀的感覺，導致解題陷入僵局.作者在試講課答辯時，面試官曾向我提問：“請你用數學文字語言描述余弦定理的內容.”在點評時，他告訴我：現在的教學過程中，大多數教師教給學生的余弦定理僅僅是形如“c²=a²+b²-2abcos C”的三個公式，而很少有老師會告訴學生，三角形的余弦定理是：三角形任意一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.如果教學中長期使用單一形式的數學語言進行授課，那么學生對不同種數學語言的學習得不到加強，在建模時的分析和解題過程將會受阻，無法有效實施實際問題與數學情境的相互轉化.

一般來說，我們將數學語言分為直觀性數學語言和抽象性數學語言，其中包括數學概念、術語、公式、符號等.用直觀性數學語言把抽象的公式或符號加以解釋，或是用簡潔的符號公式來表示復雜的命題概念，也是數學教學中的重要環節.這兩種教學環節的實施是相輔相成的，一方面，將表達式“f（x）=-g（x）”轉化為描述性語言“函數f（x）與函數g（x）關于x軸對稱”，也就是把一些抽象的公式符號以更加具體的方式展現給學生，更易于學生理解和領會;另一方面，將正弦定理“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑”轉化為簡潔的公式“a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R”，也就是將復雜繞口的數學定理、命題等轉化為簡短的公式和符號，方便學生記憶和使用.

抽象與直觀，兩種層面上的數學語言相互轉化的教學方式，能幫助學生建立起數學語言的轉化意識，培養學生用數學語言表示實際場景的能力，也讓學生在建模過程中，在準確表達題目思想的同時，能夠透過數學之美來感受生活之美.

四、“用一次函數解決問題”的教學分析

教學內容選自蘇教版數學學科八年級上冊第六章第四節“用一次函數解決問題（第一課時）”.

（一）教學目標

1.通過對具體問題的分析，引導學生找出變量之間的關系，利用一次函數模型將實際問題轉化為函數問題進行解決，發展學生解決問題的能力.

2.帶領學生初步了解方程與函數的關系，體會不同數學模型間的區別與聯系，培養學生的應用意識，讓學生感受到函數等數學模型來源于生活，應用于生活.

（二）教學重、難點

重點：從實際問題出發，建立起函數模型的概念框架，獲得數學建模過程的簡單體驗.

難點：抽象出實際問題中的常、變量關系，根據量之間不同的變化規律，靈活運用函數知識，建立合理的函數模型.

（三）教學過程

1.復習回顧，引入新課

（1）已知一次函數的圖像經過點（1，2），（-2，3），求一次函數的表達式.

（2）已知一次函數y=ax+3，當x=2時，y=7，求a的值.

（3）[根據課前預習內容進行作答]拖拉機開始工作時，油箱中有40升油，已知該拖拉機每小時耗6升油，寫出油箱中的剩余油量Q（升）與工作時間t（小時）之間的函數表達式.

設計意圖：通過簡單提問幫助學生回憶一次函數的表達形式，引導學生自主建立一次函數模型，并進行簡單應用.以實際應用問題驅動學生聯系一次函數的斜截式，代入問題情境，進行簡單建模，讓學生體會數學建模的思路，經歷建模的主要過程，加深學生對一次函數知識的理解.

2.創設情境，探索新知

探究活動：位于云南省的玉龍雪山主峰海拔為5596米，在海拔4500米處，有一條分離白雪與原始森林的分界線，稱為雪線.由于氣候變暖等地理原因，玉龍雪山的雪線平均每年上升約10米.假設雪線的高度按照該速度不斷變化，幾年之后玉龍雪山的雪線將由現在的海拔4500米退至山頂而消失？[5]

思考：（1）上述問題情境中的常、變量有哪些？

（2）變量之間存在哪些關系？

例：某工廠生產某種產品，已知每天運作的固定成本為15000元，每件產品的原始用料及加工成本總計為1000元.

（1）寫出每天的生產成本（包括固定成本、原始用料及加工成本）與產量之間的函數關系;

（2）如果每件產品的出廠價為1600元，那么每天至少生產多少件產品，該工廠才有盈利？[5]

分析：

（1）先找出題目中的常、變量，再根據數量關系“工廠每天的生產成本=固定成本+所有產品的原料及加工成本”寫出函數表達式;

（2）根據每天的銷售收入與每天生產成本之間的關系建立不等式，求出其解即可.

設計意圖：創設實際生活情境，引導學生找出題目中的常量與變量，并分析、思考其數量關系，考慮能否套用一次函數模型進行解題.同時，合理設計問題情境，引導學生將不等式模型與一次函數模型相結合，將新知與舊知相聯系，提升學生認知高度，加深其對于數學模型的理解，提高學生靈活運用數學模型的能力.

3.課堂總結，交流回顧

思考：用一次函數解決實際問題的過程中應該注意哪些步驟？是否所有應用題都能用一次函數模型進行解題？如果不是，該如何處理？

提示：用一次函數解決實際問題——“四步走”.

（1）找出問題中的常量、變量;

（2）分析變量之間的關系;

（3）若具有一次函數關系，則利用一次函數表達式建立數學模型;

（4）利用一次函數的相關知識解決問題.

注：部分題目中沒有明確指出建立何種函數關系時（特別是所學函數類型越來越豐富時），要懂得靈活分析變量關系，建立合適的數學模型.

設計意圖：通過問題啟發學生提煉歸納一次函數模型的建立過程，體會數學建模的關鍵步驟和重要思想方法.進一步理解數學建模的過程：從實際問題情境中抽象出主要常量、變量，發掘量之間的變化關系，結合已有知識構建合適的數學模型，如函數模型、不等式模型、數列模型、方程組模型等，最終以模型結合實際解決問題.利用交流總結的學習過程，進一步強化學生對于數學建模過程的體悟.

4.拓展強化，課后提升

思考題：爸爸帶你去商場買鞋時，決定考一考你.如果已知爸爸穿42碼的鞋，長為26厘米，媽媽穿35碼的鞋，長為22.5厘米，同時，售貨員阿姨還告訴你，38碼的鞋長為24厘米，40碼的鞋長為25厘米，那么你能算出自己34碼的鞋長為多少厘米嗎？

分析：根據量之間的變化關系，猜測應該建立一次函數模型.要驗證該猜測是否正確，可建立直角坐標系，描點、畫圖進行檢驗，體會數形結合思想.

設計意圖：利用思考題促進學生課后思考提升，啟發學生靈活運用數形結合等數學思想進行變量分析，根據分析結果合理建構函數、不等式等模型進行解題.

綜上所述，文章對課程標準中學生建模素養的培育進行了簡要分析，合理的教學方式很大限度上能加固學生的知識基礎，提升學生的數學思維品質，并增強數學語言的表達能力，這將為中學生建模素養的培育奠定良好的基礎.因此，我通過查閱相關資料，提出了一些關于教學方式的思考和建議，并結合蘇教版八年級上冊的數學教材，以“用一次函數解決問題”第一課時的教學內容為例進行了課程分析，希望對中學生數學建模素養的培育工作有所幫助.

【參考文獻】

[1]袁一鳴，趙繼源，周曉穎.初中數學思維定式的調查與分析[J].當代教育論壇，2011（12）：104-106.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]趙偉.思維定式與中學數學教學的理性思考[J].中學數學雜志（高中），2007（3）：13-14.