基于過程教育的課例分析

葉秀軍

【摘要】根據過程教育的基本要求，筆者通過多次教學實踐探索和反思，對教學實錄進行課例分析，力求達到“教學內容全面、認知過程完整、教學方法和諧”的目標.在探索中形成的教學操作模式對促進學生全面、和諧的發展有積極的影響.

【關鍵詞】過程教育;一次函數的圖像;教學實錄;教學分析

一、引 言

過程教育是旨在滿足學生全面、和諧發展的需要，關注數學結果的形成、應用的過程和獲得數學結果（或解決問題）之后的反思過程的育人活動.筆者在多次教學探索和反思的基礎上，對浙教版八年級上冊第五章第4節“一次函數的圖像（第1課時）”的教學進行了巧妙設計，并將已有的教學經驗進行了再實踐，形成的教學操作模式符合過程教育的精神實質，能達到過程教育所要求的“教學內容全面、認知過程完整、教學方法和諧”的目標.本文實錄教學過程，并提供教學分析，供讀者參考.

二、教學實錄

環節1 經歷提出問題的過程——明確研究問題

引例 2019年10月1日，北京天安門廣場舉行了隆重的升國旗儀式.圖1是反映國旗離地面的高度h（米）與時間t（秒）之間的變化關系.請根據圖像回答下列問題：

（1）未上升之前，國旗高度是多少米？上升16秒后，國旗高度是多少米？多少秒后，國旗高度達到28.3米？

（2）圖1反映的h與t之間的關系是不是函數？如果是，其函數解析式是什么？

師：誰來回答第一個問題？

生1：未上升之前，國旗高度是4.38米;上升16秒后，國旗高度是12.7米;上升46秒后，國旗高度達到28.3米.

師：正確.誰來回答第二個問題？

生2：是函數，函數式是h=0.52t+4.38（0≤t≤46）.

圖1師：不錯.我們知道圖1是由無數個點組成的.這些點的坐標是否滿足函數式h=0.52t+4.38（0≤t≤46）？坐標滿足函數式h=0.52t+4.38（0≤t≤46）的點是否在圖1上？畫函數式h=0.52t+4.38（0≤t≤46）的圖像問題可以轉化為畫什么？

生3：前兩個問題都滿足，畫函數圖像可以轉化為畫點.

師：很好.我們把一個函數的自變量x的值與函數y的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系中描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫作這個函數的圖像.例如，圖1是函數h=0.52t+4.38（0≤t≤46）的圖像（揭示課題）.

環節2 探索畫一次函數圖像的方法——生成描點法

師：既然畫函數圖像的問題可以轉化為畫點的問題，那么根據函數圖像的定義怎樣畫一次函數y=-2x的圖像呢？從y=-2x可以看出，“當x=0時，y=0;當x=1時，y/x=-2”，這意味著函數圖像有何特點？

生4：函數圖像過點（0，0）和（1，-2）.

師：正確.從y=-2x可以看出“x與y異號”，這意味著函數圖像有什么特點？

生5：函數圖像過第二、四象限.

師：不錯.從y=-2x可以看出“yx=-2”，這意味著函數圖像有什么特點？

生6：動點沿同一方向勻速前進.

師：很好.那么，同學們能猜出該函數圖像的形狀了嗎？

生7：直線.

……

師：好的.同學們想象出來的圖像是否正確呢？請大家按下列步驟，在直角坐標系中畫出一次函數y=-2x的圖像.

（1）列表：分別選擇若干對自變量與函數的對應值，完成表1.

（2）描點：分別以表1中x的值為點的橫坐標，對應的y值為縱坐標，得到一組點坐標，在直角坐標系中描出相應的點.

（3）連線：按自變量從小到大的順序，把這一系列點光滑地連接起來.

師：一次函數y=-2x的圖像是什么？你是怎么判斷的？

生8：一條直線，根據圖像判斷的.

師：畫出一次函數圖像經歷了哪幾個步驟？

生9：列表，描點，連線.

師：觀察表1中x的取法，從中可以獲得哪些經驗？

生10：盡量取整數點，計算比較簡單.

師：坐標滿足一次函數y=-2x的各點（-2，4），（-1，2），（0，0），（1，-2），（2，-4），…都在該函數圖像上嗎？在該函數圖像上取另外一些點，這些點的坐標也滿足y=-2x嗎？

生11：是的.

師：很好.坐標滿足一次函數y=-2x的各點都在該函數圖像上，在該函數圖像上的點都滿足函數式y=-2x.通過列表、描點、連線，可以確定一次函數y=-2x的圖像是一條直線.因此判定：一次函數y=kx+b（k，b都為常數，且k≠0）的圖像是一條直線.既然一次函數圖像是一條直線，那么畫一次函數圖像要確定幾個點的坐標？同時說明理由.

生12：兩個，兩點確定一條直線.

師：是的，畫一次函數圖像可以用兩點法，這樣較為簡潔.

環節3 參與嘗試知識應用的活動——合作解答有代表性的問題

問題1 根據描點法的基本步驟，在同一直角坐標系中模仿畫出函數y=-2x+1的圖像，并比較y=-2x和y=-2x+1的圖像.

師：大家有什么發現嗎？

生13：兩直線互相平行.

師：體現在函數式中的哪個系數？有何關聯？

生13：自變量系數相等，兩直線互相平行.

師：很好.還有什么發現嗎？

生14：直線y=-2x向上平移1個單位長度得到另一條直線y=-2x+1.

師：體現在函數式中的哪個系數？有何關聯？

生15：常數項，相差+1就是向上平移1個單位長度.

師：很好.一般地，直線y=kx+b向上平移m（m>0）個單位長度得到直線y=kx+b+m，向下平移n（n>0）個單位長度得到直線y=kx+b-n.

問題2 在同一直角坐標系中畫出下列函數的圖像，并求出它們與坐標軸的交點坐標以及兩直線的交點坐標：y=-3x，y=3x+2.

師：如何求直線與x軸的交點坐標？

生16：考慮到交點落在x軸上，交點縱坐標一定是y=0，由y=0求出橫坐標即可.

師：很好，根據x軸上的點的縱坐標特征y=0就可算出橫坐標x.那直線與y軸的交點坐標如何求呢？

生17：考慮到交點落在y軸上，交點橫坐標一定是x=0，由x=0求出縱坐標即可.

師：很好.那如何求兩直線的交點坐標呢？

生18：考慮到交點坐標同時滿足y=-3x和y=3x+2，通過聯立方程組求解可得.

師：很好.交點同時在兩條直線上，意味著同時滿足兩個函數式.

（接下來，要求學生完成課本中的練習題，并在學生完成任務后進行交互反饋與評價）

環節4 參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結

首先，教師出示“問題清單”，并要求學生圍繞“問題清單”進行回顧與思考.

（1）畫一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像，需要經歷哪幾個步驟？

（2）畫一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像的簡單方法是什么？

（3）當k，b變化時，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像是如何變化的？

（4）在直角坐標系中，任意直線反映的變量之間的關系都是一次函數嗎？

三、教學分析

一次函數的圖像是初中生碰到的第一種函數圖像，且無先前的研究經驗，學生如何研究，教師如何引導，是擺在師生面前的共同難題.如果成功研究了一次函數的圖像，那么就為研究其他函數的圖像指明了方向，這具有普遍適用性.從這種意義上講，如何有效研究一次函數的圖像就顯得尤為重要且極具示范作用.考慮到初中生的認知發展水平和已有的知識經驗，教師先出示了學生熟悉的問題載體，以升國旗為背景的函數圖像.先請學生直接讀出點的坐標，明確函數圖像是由無數個點構成的，而根據函數圖像的定義，點可以由函數式生成，這樣就對研究一次函數圖像做好了鋪墊.而針對一次函數的圖像到底是什么，教師通過設置問題串進行問題暗示，并做了語言點撥等適度引導，使學生打開理性的思維閘門，然后沿著一條主線循序漸進.具體的認知過程主要體現在五個方面：函數圖像概念的形成過程、畫函數圖像方法的概括過程、一次函數與其圖像關系的探索過程、一次函數圖像的特征與性質的探索過程、一次函數圖像的應用過程，其中有學生的能力發展點、個性和創新精神培養點，而蘊含的化歸思想、數形結合思想、變化和對應思想等，對發展學生的能力有積極的影響.本設計的各環節教學均強調反思總結意識，包括描點法基本步驟的概括過程及經驗總結、函數圖像完備性和純粹性的驗證過程、函數圖像特征的發現歸納過程、一次函數圖像的辯證關系等.

當前課堂教學在獲得數學結果（或解決問題）的過程中，普遍存在認知過程短暫和反思過程缺失的現狀，鑒于此，本節課采用了教師價值引導下的適度開放的教學策略，使學生經歷實質性的思維過程并獲得相應的數學活動經驗，這符合“過程教育”的精神實質，對促進學生全面、和諧的發展有著積極的影響.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2011年版[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]范良火.義務教育教科書·數學（八年級上冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2013.