基于相同數(shù)學(xué)概念辨析的初高中銜接教學(xué)

周維

【摘要】初高中的數(shù)學(xué)知識和學(xué)習(xí)具有連貫性，教師要在具體的教學(xué)過程中，找到初高中教學(xué)的銜接點(diǎn)，并為之設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)方案，契合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)開展銜接教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的積極性和主動(dòng)參與性，積累相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并利用有效的教學(xué)手段使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程自然銜接數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在銜接教學(xué)的過程中注意對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】教材銜接;初高中教法;銜接教學(xué)

三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，也是一種基本初等函數(shù)，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用.三角函數(shù)既是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).初高中對三角函數(shù)的要求差異導(dǎo)致初高中三角函數(shù)學(xué)習(xí)的差異性，在進(jìn)行三角函數(shù)的教學(xué)過程中，會(huì)出現(xiàn)由于高中三角函數(shù)學(xué)習(xí)角度的不同而造成的教學(xué)效果不盡如人意，那么在學(xué)生學(xué)習(xí)了初中關(guān)于三角函數(shù)的知識后，如何在高中相同概念知識的學(xué)習(xí)中縮小這種差異，并融入高中系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)，是我們教師需要研究并解決的問題.接下來主要以三角函數(shù)為例探討初高中相同概念之間的銜接點(diǎn)并提出有針對性的教學(xué)建議.

一、“三角函數(shù)”中初高中相同數(shù)學(xué)概念辨析

（一）角的定義

從教材來看，初中教材中對角的定義是從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形.而高中教材是對角的推廣，我們規(guī)定，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫作正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫作負(fù)角，如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角.高中教材通過對射線的旋轉(zhuǎn)推廣了角的定義，為了在空間中對任意一個(gè)角，能夠準(zhǔn)確地求出它的度數(shù)，我們把它放入直角坐標(biāo)系中，通過建立合適的坐標(biāo)軸，求出角的度數(shù)、正弦值、余弦值、正切值等.所以高中在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行角的討論，能有效地體現(xiàn)出角的終邊位置具有周而復(fù)始的變化規(guī)律.

初中對角的定義直觀形象易理解，而在高中，為了明確角形成的過程，既要知道旋轉(zhuǎn)量，又要知道旋轉(zhuǎn)方向，需要在高中的教學(xué)過程中，利用旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)系的知識促進(jìn)對角的認(rèn)識和表達(dá).

（二）任意角三角函數(shù)定義

初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)值的定義方法是在直角三角形中定義的，所以在初中階段求銳角的三角函數(shù)值，都是通過構(gòu)造直角三角形來完成的，即把這個(gè)角放到某個(gè)直角三角形中.銳角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），都叫作角A的銳角三角函數(shù).正弦（sin）等于對邊比斜邊;余弦（cos）等于鄰邊比斜邊;正切（tan）等于對邊比鄰邊.高中通過坐標(biāo)定義法利用單位圓和三角函數(shù)線定義任意角的三角函數(shù)，借助學(xué)生已有的直角三角形定義的銳角三角函數(shù)，再次感知、確認(rèn)和理解三角函數(shù)值只與角的大小（終邊位置）有關(guān)，因而，它們都是以角為自變量的函數(shù).再根據(jù)學(xué)生已有的任意角的知識，從而給出任意角的三角函數(shù)的定義.正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù).

初中在直角三角形中研究的銳角三角函數(shù)值是靜態(tài)的、固定的比值，而高中通過單位圓和坐標(biāo)定義的任意角的三角函數(shù)則是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、變化的函數(shù).學(xué)生對這樣從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的理解需要借助坐標(biāo)和單位圓這樣的數(shù)學(xué)工具來實(shí)現(xiàn).

二、初高中的銜接教學(xué)

（一）聯(lián)系初高中教材，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)開展銜接教學(xué)

有效地研究學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)，以此為起點(diǎn)，兼顧學(xué)生的能力基礎(chǔ)以及后續(xù)的發(fā)展，充分分析學(xué)生初中已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)立足于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全局，開展有效的銜接教學(xué).利用學(xué)生已有的銳角、直角、鈍角、平角、周角的知識以及旋轉(zhuǎn)知識，建立任意角的感觀認(rèn)識，進(jìn)而得到任意角的動(dòng)態(tài)定義，再類比正負(fù)數(shù)，得到任意角的分類，學(xué)生就比較容易接受.對角的表示，從初中幾何表示到高中代數(shù)表示，也符合學(xué)生生理和心理發(fā)展的特點(diǎn).引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系舊知識，注重對易錯(cuò)、易混知識加以分析、比較和區(qū)別，讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)自然過渡到更高層次的學(xué)習(xí)中.

（二）突出數(shù)學(xué)概念的形成過程，注重學(xué)生的切身體驗(yàn)，積累教學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生只有切實(shí)經(jīng)歷，才會(huì)形成深刻的感悟.高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)為情境，設(shè)計(jì)問題激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激活他們的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生的主動(dòng)探索和認(rèn)識搭建平臺，教會(huì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來思考和分析問題.[1]在對角的定義的講解中，可以通過實(shí)例，比如，時(shí)鐘上分針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)，或者通過實(shí)際操作，比如，讓學(xué)生類比時(shí)鐘轉(zhuǎn)動(dòng)，在生活中找類似的模型，體會(huì)角形成的過程，突出通過旋轉(zhuǎn)得到角的概念的推廣，直觀感受角的概念.也可以在主動(dòng)參與中積累相關(guān)的教學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（三）利用多媒體教學(xué)工具，凸顯概念聯(lián)系中的數(shù)學(xué)過程之美

初中大多用銳角的三角函數(shù)，變化范圍在0～π2，而高中拓展到了任意角的三角函數(shù)，學(xué)生容易形成思維定式，被已有的知識固化.所以在進(jìn)行任意角的三角函數(shù)教學(xué)過程中，可以利用多媒體教學(xué)工具，如幾何畫板等實(shí)現(xiàn)由初中銳角三角函數(shù)固定比值的靜態(tài)到利用坐標(biāo)和單位圓定義動(dòng)態(tài)的任意角的三角函數(shù)的概念形成的過程.讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)動(dòng)靜變化的過程之美，感受數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，從而在情感和心理上自然銜接.

（四）重視概念聯(lián)系中的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

授人以魚不如授人以漁.為了使學(xué)生正確地理解和掌握概念，需要在數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程中注重揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵和外延，并挖掘其中所包含的數(shù)學(xué)思想方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).[2]在坐標(biāo)中討論角和定義任意角的三角函數(shù)時(shí)，要注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)建模的思想，在教學(xué)過程滲透學(xué)生對數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)的內(nèi)化.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王文文.以函數(shù)為例談初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的策略優(yōu)化[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（9）：53-54.

[2]張建清.淺析數(shù)學(xué)概念的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（13）：49.