基于有過程歸納 促進學生思維發展

孫艷君

【摘要】有過程歸納教學是基于理念、追求事實，是發現知識的教學，是通過不斷經歷合情合理地推測、不斷經歷知識原初產生的過程、不斷經歷多種形式對話的過程、不斷經歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結論，同時培養學生更為自然的思維模式.本文以“三角形的內角和”一課為例，基于有過程歸納教學，得出歸納是基于聯想的思維形式，讓學生進行有知識根據的合乎情理的想象.歸納推理的思維過程是動態的，促進學生經歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結論.歸納推理的思維基礎是類，通過類來促進學生形成由個別到一般的不完全歸納思維.

【關鍵詞】有過程歸納教學;歸納;思維

一、有過程歸納教學的價值分析

于偉校長認為“有過程歸納教學是強調學生通過不斷經歷合情合理的推測、探究、體驗等操作、不斷經歷知識原初產生的過程、不斷經歷多種形式對話的過程、不斷經歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結論的教學.”因此有過程歸納教學是基于理念、追求事實，是發現知識的教學，同時培養學生更為自然的思維模式.

“三角形的內角和”的教學從學生現有的知識經驗出發，動手操作是這個階段學生自己能夠想到的驗證方法，直觀且易操作，操作可以使學生發現和確定研究的方向.但由于誤差的存在，這一沖突自然凸顯出演繹推理的必要性，跳出了簡單的直觀感知層面，避開了“誤差尷尬”，充滿著理性色彩和濃濃的數學味兒.因此有過程歸納教學對“三角形的內角和”的教學具有重要的價值.

二、學情調研與分析

在有過程的歸納教學中，教師在設計教學時要了解學生在上課之前有怎樣的生活概念，有過程歸納教學就要以學生的這些零散的生活概念為根基，在此基礎上改造學生的生活概念、生活經驗，從而使學生低級的生活概念發展為高級的科學概念.

（一）從學生真實的認知起點出發，確定知識的生長點

課前筆者通過口頭的方式，提出問題：“你們對三角形角的特點有哪些了解？”調查發現，雖然大部分學生從各種途徑知道了三角形的內角和是180°，但僅僅是一個結論，并不知道為什么會是一個固定的數.所以，推理證明的過程是“三角形內角和”一課的重點，用有趣的、新穎的、富有挑戰性的任務來引導學生系統地經歷知識得出和形成的過程.

（二）應緊扣學生年齡特點，確定新知的學習方式

摸準學生好動、好奇、傾向直觀的學習心理這根“脈”，引導學生采用猜一猜、拼一拼、量一量、畫一畫、擺一擺等方式入手，來猜想三角形的性質.若將“三角形內角和”一課作為一次操作驗證活動，我們又該賦予量角以怎樣的內涵呢？量角作為探究三角形內角和引入環節的操作驗證活動，其價值內涵應該體現在以下三個方面：第一，量角順應了學生的原有經驗，因為學生在研究角的度數問題時，最先想到的方法是用量角器量角;第二，量角可以幫助學生初步感知三角形的內角和大約是180°;第三，因為量角有誤差，可以引導學生對原有的認知產生質疑，促使學生產生進一步探究的欲望，為引出更科學、更嚴謹的驗證方法提供平臺.

三、不同版本教材對比與分析

人教版教材關于“三角形內角和“的引出，是通過“畫、量、算”的方式，用這種看似平常，卻又符合學生認知特點的方法進行引入，沒有了思維上的突兀，更關鍵的是遵循了圖形認識的內在規律，簡單、易行.

北師大版教材希望學生通過“畫一畫、量一量、算一算”的方式，經歷對三角形三個內角的測量、計算的完整過程，且通過小組內的每個成員對不同三角形測量結果的記錄，讓學生初步感悟到三角形的內角和大致總在180°左右，從而為后繼的進一步驗證提供感性經驗.

青島版教材編排與北師大版教材編排思路很接近，也是通過“量一量、算一算、折一折”的方式，從測量和操作的角度證明，得出三角形的內角和是180°，這種方式既強調了測量的實際意義，也滲透了平行公理驗證的數理.

蘇教版教材最大的特點就是從學生已有的經驗出發，根據已經知道每個角的度數的一副三角板入手，引導學生計算出不同直角三角板上三個內角的和，引發出直角三角形的內角和是180°的初步結論，進而引導學生循著平行公理的軌跡，用“折”的方式探究其他類型三角形的內角和.教材編排特別注重從學生的最近發展區入手，引入自然、展開得體.

浙教版教材與其他幾個版本教材的編排思路區別很大，其他版本教材基本上都是從測量入手，浙教版教材卻是從變化的三角形猜測三角形內角和是多少度入手，再通過兩種不同層面的拼圖，借助平行公理，引導學生發現任何三角形的三個內角都可以拼成—個平角，即三角形的三個內角和是180°.從某個角度來說，這種方式更注重依據平行公理來解決三角形內角和的問題.

以上五個版本的教材，雖然編排的思路與方式不盡相同，但它們都遵循著一個基本的原則，要么從測量入手探究三角形的內角和，要么依據平行公理，通過“折、拼”等操作方式證明三角形的內角和是180°，沒有—個版本的教材是根據長方形或正方形的內角和探索三角形的內角和的.

四、有過程歸納教學的展開

（一）歸納是基于聯想的思維形式，讓學生進行有知識根據的合乎情理的想象

讓學生學會聯想是讓學生知道歸納是解決問題的最基本的思維方法.任何聯想都不是隨心所欲憑空瞎想，而應該是有知識基礎和知識根據的合乎情理的設想，使學生能借助已知產生“正遷移”，引發聯想，激發學生求知欲和探求問題的積極性，為合情推理提供良好的氛圍.借助直觀圖形“變化的三角形”，引發學生猜想，三角形的內角和是否是一個確定的度數？如果是，這個確定的度數是多少？激發學生驗證的興趣，為接下來合情推理做鋪墊.

師：老師這里有一個可以變化的三角形，請你們仔細觀察在三角形變化的過程中三角形的三個角有什么變化？這能說明什么？

生：三角形的內角和是180°.

師：用眼睛就能看出是180°？那我們能確定什么？

生：內角和是一個固定的度數，

師：看來內角和可能真是固定的，剛才有同學說是多少來著？（板書：180°）有沒有什么問題要問他？（教師用剪刀剪一個小三角形）這個大的三角形和這個小的三角形也是一樣的嗎？（板書：大小不同）那這兩個形狀不同的三角形呢？（板書：形狀不同）

師：數學學習要嚴謹，要有理有據，到底是不是你們說的180°，需要怎么辦？

（二）歸納推理的思維過程是動態的，促進學生經歷多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結論

歸納推理的思維過程是動態的，既有直觀的實驗感知，又有理性的數學思考.其中分類、比較是歸納的基本思維形式，動手操作一定要與分析、比較等思維活動結合起來，跳出簡單的直觀感知層面，進入邏輯推理論證層面，通過不斷經歷合情合理的推測、不斷經歷形象與抽象等多種思維沉思的過程，從而歸納概括出一般結論.

1.量

師：這位同學量的銳角三角形，誰量的不是這樣的三角形？還有量的不是黑板上這兩種三角形的嗎？（板書：測量，算式）同學們有疑問嗎？

師：老師調查一下，選擇不同測量方法的同學，你們量完之后發現這個問題了嗎？為什么會這樣呢？如果給你們的三角形非常標準，你能保證逐個量完加在一起就一定是180°嗎？為什么不能？因為測量有誤差.

師：通過測量我們能確定什么呢？（板書：180°左右）誰還有不同的方法？

2.拼

（1）撕拼

拼三個角

師：明明是三個內角，到這里轉化成一個角了.（板書：轉化）看起來挺像平角，到底是不是平角呢？平角有什么特點呢？看來只要是操作就一定有誤差.現在我們可以進一步確定三角形的內角和確實和180°很接近.（板書：接近180°）

拼兩個角

師：和剛才拼的方法有什么區別呢？為什么拼兩個角就可以了呢？

（2）折拼

師：這種方法和前面的哪種方法是一樣的？折的時候需要有一定的技巧和要求.

（3）多個拼

師：老師這里也有個拼的方法，猜猜是誰的方法？古代有個數學家泰勒斯，他受到拼圖方法的啟發，把六個完全一樣的三角形拼在了一起，從而得到了三角形的內角和.有誰看懂了嗎？

生：這里有2個角1，2個角2，兩個3.三角形內角和也就是360°÷2=180°.

師：但是在拼的過程中三角形和三角形之間是有縫隙的，因此泰勒斯也無法確定三角形的內角和就一定是180°，但他為之后的數學家的研究指明了方向，三角形的內角和很可能就是180°.

3.證明

師：同樣我們剛才的研究也為接下來的學習指明了方向，就朝著著這個方向，接下來我們來思考，能不能借助哪種我們已經知道內角和的圖形，來證明一下三角形的內角和就是180°呢？你們想先證明哪種三角形的內角和呢？

（1）直角三角形

師：老師給每個小組準備了一個信封，里面有直角三角形，可以拿出兩個完全相同的直角三角形先標上角，再擺一擺.

學生獨立學習并匯報.

師：有什么疑問嗎？那這兩個直角三角形一共有6個內角，這6個內角跟長方形的4個內角有什么關系呢？怎么能確定其中一個直角三角形的內角和就是長方形內角和的一半呢？

師：我們根據長方形的內角和推理計算出任意直角三角形的內角和.（板書：計算推理）這個直角三角形的內角和是180°，那么對于其他直角三角形呢？

（2）銳角、鈍角三角形

師：對于銳角三角形、鈍角三角形怎么說明它們的內角和呢？能不能借助已經知道的直角三角形的內角和來推算出來呢？

師：很多同學遇到了困難，可以抬頭看看大屏幕上老師給的提示.誰看懂了？

生：兩個直角三角形的內角和減去合并在一起的兩個直角.

師：我們也推算出了銳角三角形和鈍角三角形的內角和.現在可以得到什么結論呢？

生：我們研究的三角形的內角和都是180°.

（三）歸納推理的思維基礎是類，通過類來促進學生形成由個別到一般的不完全歸納思維

由于完全歸納推理具有一定的局限性和不可實現性，當需要歸納推理的單位數量過大時，若遵循完全歸納推理原則，就需要調查全部三角形，這是一種不實際的推理原則.不完全歸納是相對完全歸納而言的，不完全歸納推理是統計推理歸納中比較常用的一種方法，在集合中利用每個類中具有代表性的元素，從而歸納概括出一般結論，形成由個別到一般的歸納思維.

師：同學們說說我們到目前為止得到的研究結論吧.不對呀，我們才研究了不到40個三角形吧，怎么能直接說三角形都是這樣呢？需不需要把世界上所有的三角形都拿來一一研究呢？

生：把這三類三角形分別研究一些，就可以代表所有的三角形了.

師：我們由30多個的個別的三角形來推出一般的所有三角形的內角和是180°，這個過程在數學上被稱為歸納推理，這是我們在數學學習中經常用到的方法.（板書：歸納推理）

【參考文獻】

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