生日蛋糕里的“性價比”

卓西咔

從前幾天開始，洛洛就頻頻盯著墻上的日歷盼啊盼。明天就是洛洛的生日了，今天爸爸下班一進門，洛洛便從沙發上一躍而起。在爸爸的陪同下，洛洛來到蛋糕店為自己定制生日蛋糕。

一走進蛋糕店，他就被店里琳瑯滿目的糕點吸引了。在確定好定制的生日蛋糕的樣式后，就要選擇蛋糕的規格了。據店員介紹，洛洛選擇的那款圓柱形的蛋糕，在同樣的重量下，共有三種規格可供選擇，分別是r ∶h=2∶1，r ∶h=1∶1 以及r∶h=1∶2，其中r為蛋糕的底面半徑，h為蛋糕的高度。

“反正重量都一樣，規格選哪個都差不多，爸爸你決定吧！”此刻的洛洛就像一只小饞蟲，想吃上一口香軟的蛋糕。

在了解了蛋糕的總費用（包括蛋糕的制作費用以及蛋糕的包裝費用）后，爸爸笑著說道：“即便是重量相同，但規格不一樣的話，費用是會有差別的。”

洛洛頓時摸不著頭腦：“這是為什么呢？”

如何選出最省錢的蛋糕

★蛋糕的制作費用

假設蛋糕的總費用、制作費用和包裝費用分別為P 、P1和 P2，則

P=P1+P2

若蛋糕的單價是60元/磅，據店員介紹，1磅（約為450克）的蛋糕的體積約為1800立方厘米，從而依據數量關系式得到

密度=質量

體積=450

1800=0.25（克/立方厘米）

蛋糕可視為一個圓柱體，其體積公式為

圓柱體積=底面積×高=πr2h

可進一步算出

P1=蛋糕單價×蛋糕重量=蛋糕單價×蛋糕密度×蛋糕體積=60

450×0.25×πr2h=1

30πr2h

★蛋糕外包裝的費用

而包裝費用方面，每平方厘米的包裝盒需要0.05元。我們將立方體形狀的包裝盒展開（如右圖所示），展開后的包裝盒由4個長為r、寬為h的長方形以及2個邊長為r的正方形組成，從而我們可以算出包裝盒表面積為

S=2r2+4rh

所需的包裝費用為

P2=包裝盒單價×包裝盒表面積=0.05×（2r2+4rh）=0.1r2+0.2rh

★蛋糕所需總費用

最后我們就能推導出總費用的表達式

P=P1+P2=1

30πr2h+0.1r2+0.2rh

現在爸爸想要定制一個1磅的蛋糕。

想知道到底哪種規格的蛋糕的總費用更低，只需分別將r ∶h=2∶1，r ∶h=1∶1 以及r ∶h=1∶2三種規格的數值代入上面的公式中，就可以通過計算得到，三種規格的蛋糕的總費用分別為：81.88元，80.67元和81.71元。

因而選擇規格為r ∶h=1∶1 的生日蛋糕更省錢。

如何使蛋糕的派送費最少

★不同時間下的不同情況

洛洛這下明白了，原來相同重量的蛋糕所耗費的包裝盒的面積未必相同，從而導致不同規格的蛋糕在包裝費用上存在差異。選完蛋糕，接下來就是確定蛋糕的寄送時間了。洛洛的爸爸向店員要來了蛋糕寄送服務的價目表，一旁的洛洛也踮起腳尖圍觀表上的收費細則。

因受多種因素的影響，在不同時段送蛋糕所產生的成本會有所出入，因而不同時間段的寄送費用也會有所波動。比如，若在店內生意繁忙的時段送蛋糕，會導致店內人手不足，從而流失一部分訂單，給店家造成損失;若在上下班的高峰期送蛋糕，則可能會因路上擁堵而使得店員在路上耽誤更多的時間，等等。

★比一比，算一算

假設蛋糕預計送達的時間為x點，比如，x=6代表蛋糕需在上午6點送到顧客手上，x=19.5則代表蛋糕需在晚上7點半送到顧客手上，因為蛋糕店是24小時營業，所以有0≤x≤24。

設P*（x）為送蛋糕所需的費用，根據收費細則，有

P*（x）= x2-20x+125

在這一刻，爸爸和洛洛都不約而同地思考著這樣一個問題——到底選在哪個時段送達，會使得費用最少呢？這次洛洛先說出了自己的見解。

假設a、b為兩個不同時間點，對于任意0≤a

P*（b）-? P*（a）=（b2-a2）-20×（b-a）=（b-a）（b+a-20）≤（b-a）（2b-20）

由不等式可知，當b≤10時，有P*（b）≤? P*（a） ，若預計送達的時間是在早上10點之前，則越晚派送，收費越低。

類似地還有

P*（b）-? P*（a）=（b2-a2）- 20×（b-a）=（b-a）（b+a-20）≥（b-a）（2a-20）

當 a≥10時，有P*（b）≥? P*（a）? ，這意味著若預計送達的時間在早上10點以后，則越早派送，收費越低。

“如果我們選擇讓店家在早上10點，將蛋糕送達到咱們家的話，就能夠讓派送費最少了！”洛洛興奮地向爸爸說出自己的結論。

爸爸欣慰地點點頭，看來今年的生日對于洛洛而言，獲得的不僅僅是年齡上的成長呢！