難題的“克星”

黃旭軍

今天的數學課，老師把知識教完后，離下課還有十分鐘。于是老師突發奇想，出了道題目考大家：AB、CD分別表示兩位數，AB+CD=149，那么A+B+C+D=（? ?）。

這種條件少的題目，最傷腦筋。膽子大的班長先舉手了，班長說：“我把題目中的‘AB+CD=149設成‘74+75=149，求得A+B+C+D=23。后來再將其設成‘80+69=149，結果也是23。我猜測，這個題目的結果就是23！”

“好！”數學老師帶頭鼓掌，“其實這道題目想考的是‘進位后數字和少9，所以‘1+4+9需要再加個‘9，才正好是各個數位的數字之和?？墒牵嚅L另辟蹊徑，巧妙運用設數法解決了這道難題！設數法可以說是難題的‘克星?！?/p>

同學們紛紛向班長投來崇拜的目光。

數學老師接著說：“設數法，經常用來解決那些看上去缺少條件的題目。我們可以在設數中找到規律及方法，從而達到事半功倍的效果，‘攻克大多數的難題?！?/p>

例1 現有一桶水，一頭牛15天喝完，一頭牛和一匹馬一起喝，10天喝完。請問：一匹馬喝這桶水，可以喝幾天？

觀察

開始

細細讀題，你就會發現整個題目只有“天數”，沒有其他條件。所以我們可以把它看成工程問題來進行求解。

一頭牛喝一桶水需要15天，那么一頭牛每天喝這桶水的1

15。一頭牛和一匹馬一起喝這桶水，它們每天一共喝這桶水的1

10，則1

10-1

15=1

30。

所以，一匹馬每天喝這桶水的1

30，1÷1

30=30（天），所以一匹馬喝這桶水能喝30天 。

這樣做起來方便多了！

我們可以設這桶水有30千克，“30”這個數既是15的倍數，也是10的倍數，并且還是一個整數，也就是說，30是15和10的公倍數。

一頭牛喝完這桶水需要15天，即每天喝30÷15=2（千克）。一頭牛和一匹馬一起喝，10天喝完，它們每天一共喝30÷10=3（千克）。那么，一匹馬每天喝3-2=1（千克）的水。30÷1=30（天）。

答：一匹馬喝這桶水，可以喝30天。

例2 小米上學時每分鐘走60米，放學時每分鐘走40米。小米往返的平均速度是多少？

平均速度=總路程÷總時間。這道題的已知條件里，一個與之相關的都沒有，條件極少。面對此類問題我們怎么辦？

結合所學的單位“1”的思想來解決這道題。我們可以把“從家到學校的路程”看作單位“1”，那么，小米上學和放學走的總路程就是“2”。上學走路所花的時間是1÷60=1

60，放學走路所花的時間是1÷40=1

40。小米上學和放學所花的總時間就是1

60+1

40=1

24。根據“總路程÷總時間”就能把小米的平均速度求出來，即2÷1

24=48（米/分）。

答：小米往返的平均速度是48米/分。

我們還可以用設數法來求解。設上學所走路程為120米，（只要能被60和40整除的數都可以，因為計算起來方便），這樣就可以求出小米往返的時間了。

小米上學所花時間為120÷60=2（分鐘），放學所花時間為120÷40=3（分鐘），往返的總路程為120+120=240（米），小米的平均速度=240÷（2+3）=48（米/分）。

答：小米往返的平均速度是48米/分。

例3 一場聯歡會共有50名學生參加，第一個到會的女生和每個男生都握過手，第二個到會的女生只差1個男生沒握手，第三個到會的女生只差2個男生沒握手……最后一個到會的女生和7個男生握過手，那么這50名學生中有幾名男生？

根據題目所給條件，已知總人數是50人，如果我們能知道男女生的人數相差多少，就能將題目解出了。

常規

思路

我們試著列方程來解出題目。首先，設男生x人，女生y人。由總人數為50人可得，x+y=50。根據其他已知條件可得，x-（y-1）=7。把兩個式子相加可得，x+y+x-（y-1）=57，x=28。

答：50名學生中有28名男生。

另辟

蹊徑

如果用設數法來解這道題，能行嗎？我們一起來試一下。假設男生6人，女生6人，那么，第1個女生和6個男生握過手;第2個女生和5個男生握過手;第3個女生和4個男生握過手;第4個女生和3個男生握過手;第5個女生和2個男生握過手;第6個女生和1個男生握過手。

當男生和女生人數一樣多時，最后一個女生會和1個男生握過手。而題目中最后一個女生和7個男生握過手，可知男生比女生多了7-1=6（人）。

所以，（50+6）÷2=28（人）。

答：50名學生中有28名男生。

原來設數法不僅可以幫助我們解題，還可以幫助我們找到題目中的規律！

訓練一二一

1. AB、CD分別表示兩位數，AB+CD=198，那么A+B+C+D=（? ?）。

2. 小王在一個小山坡上來回跑。他先從山下跑上山，每分鐘跑200米，再沿原路下山，每分鐘跑240米。然后他又從原路上山，每分鐘跑150米，再從原路下山，每分鐘跑200米，求小王的平均速度。

（答案見下期）