淺析第三代微積分

夏云青 夏云龍

【摘要】本文首先回顧了微積分的發(fā)展史，重點(diǎn)介紹第三代微積分的內(nèi)容及應(yīng)用價(jià)值，最后提出希望廣大數(shù)學(xué)教育工作者熱心研究數(shù)學(xué)教育，隨著新思想和新方法的普及，能將微積分變成多數(shù)學(xué)生都容易理解的一門數(shù)學(xué)課程.

【關(guān)鍵詞】極限;不等式;微分中值定理;乙函數(shù);差商有界;強(qiáng)導(dǎo)數(shù);廣義差商有界;赫德爾導(dǎo)數(shù);連續(xù);數(shù)學(xué)教育

【基金項(xiàng)目】2017年鄭州工程技術(shù)學(xué)院校級(jí)教學(xué)改革項(xiàng)目（ZGJG2017023B）.

微積分是理工、經(jīng)管類本科學(xué)生的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課.通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得微積分的一些基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲取數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).同時(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和自學(xué)能力，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題和解決問題的能力.但是對(duì)一部分學(xué)生來說，學(xué)起微積分來可真是力不從心，下了九牛二虎之力，但結(jié)果總令人不滿意.多年來國(guó)內(nèi)外從事數(shù)學(xué)教育的工作者也是使盡一切解數(shù)，大多是從教學(xué)方法、解題技巧上做一些創(chuàng)新改革使學(xué)生容易理解記憶傳統(tǒng)微積分的一些概念結(jié)論，而第三代微積分則是以全新的方式處理微積分，改革微積分本身，目的是使學(xué)生先明白微積分的原理，然后在此基礎(chǔ)上更深入地學(xué)習(xí)微積分，這樣就不會(huì)“知其然而不知其所以然”了.那么什么是第三代微積分呢？

一、微積分的誕生

17世紀(jì)，伴隨著工業(yè)革命和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，給數(shù)學(xué)界提出了許多十分棘手但又需迫切解決的問題，對(duì)于這些問題的研究，促使微積分作為一門學(xué)科而誕生.歸納總結(jié)主要是四類問題：第一類，求曲線上任意點(diǎn)處的切線;第二類，求運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度;第三類，求函數(shù)的最值;第四類，求曲線長(zhǎng)度、曲線所圍平面圖形的面積、曲面所圍立體圖形的體積、物體重心等.

二、微積分發(fā)展回顧

第一代微積分是由戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日—1716年11月14日，德國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家）和牛頓（Isaac Newton，1643—1727，英國(guó)偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家）各自創(chuàng)建的微積分.這時(shí)的微積分誰也說不清楚，出現(xiàn)00的問題，我們知道分母不能為0.創(chuàng)建者說不清楚，使用微積分解決問題的數(shù)學(xué)家也說不明白，導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī).微積分的原理雖然說不清楚，但是微積分的應(yīng)用卻很廣泛.所以微積分在說不清楚的情形下發(fā)展了130多年.

第二代微積分是在19世紀(jì)末期產(chǎn)生的，當(dāng)時(shí)柯西（Cauchy，1789—1857，法國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家）和魏爾斯特拉斯（Weierstass，Karl Theodor Wilhelm，1815—1897，德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家）等建立了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論，用極限給出了無窮小的概念，夯實(shí)了微積分的基礎(chǔ)，形成了第二代微積分.這次數(shù)學(xué)家把微積分說清楚了，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)解除了.但是由于概念煩瑣，邏輯推理很多，對(duì)絕大多數(shù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的人來說，仍然是聽不明白的、搞不清楚的.微積分在多數(shù)學(xué)習(xí)者弄不清楚的情形下，又向前發(fā)展了170多年.

第三代微積分是正在創(chuàng)建和發(fā)展的新一代的微積分.人們希望微積分不但嚴(yán)謹(jǐn)，而且直觀明了.讓學(xué)習(xí)者用較少的時(shí)間和精力就能夠明白其原理，不但知其然而且知其所以然，不但數(shù)學(xué)家能說清楚，而且非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也能聽得明白.

近幾十年來，國(guó)內(nèi)外都有人從事第三代微積分的研究和教學(xué)實(shí)踐.我國(guó)的林群院士在此方向上做了近10年的研究工作，代表作有《微積分快餐》，還有張景中院士的《直來直去的微積分》，他們以全新的方式處理微積分，被稱為第三代微積分.

三、第三代微積分

四、第三代微積分的價(jià)值

第三代微積分的出現(xiàn)和發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)教育的影響是不言而喻的，微積分入門難的問題有望解決;絕大多數(shù)學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生知其然而不知其所以然的情形有望改觀;對(duì)數(shù)學(xué)系的學(xué)生來說，了解微積分的新概念和新方法也可以使自己的學(xué)習(xí)內(nèi)容更加豐富多彩，親身經(jīng)歷學(xué)科大發(fā)展大變化，對(duì)啟發(fā)創(chuàng)新思維也是大有裨益的.因此，建議所有學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生、所有講授微積分的教師，都能夠在百忙之中抽空翻閱一下第三代微積分的內(nèi)容，多角度地思考微積分，相信一定能從第三代微積分的思想和方法中獲益.

目前，第三代微積分的內(nèi)容還沒有作為教材在各高等院校推廣使用.但是有專家建議：第三代微積分可以限制在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)講授，因?yàn)樗鼪]有極限的內(nèi)容，便于高中學(xué)生掌握和理解.而以極限為基礎(chǔ)的微積分是人類智慧的最高成果，在大學(xué)講授，這樣可以避免中學(xué)微積分和大學(xué)微積分之間的重復(fù).筆者很贊成這個(gè)建議.

另外，第三代微積分也有其學(xué)術(shù)價(jià)值.現(xiàn)代物理認(rèn)為，當(dāng)測(cè)量的尺度小到一定程度時(shí)，時(shí)間和空間的性質(zhì)成為量子了，這樣就不能像牛頓所想象的讓時(shí)間間隔趨于0來取極限，也就是說基于實(shí)數(shù)理論和極限概念的數(shù)學(xué)模型僅僅是現(xiàn)實(shí)物理世界的近似描述.如果采用第三代微積分的理論，用估值不等式作為數(shù)學(xué)模型，就克服了這個(gè)缺點(diǎn)，使數(shù)學(xué)理論更適應(yīng)于現(xiàn)實(shí)物理世界.

我們大家知道，計(jì)算機(jī)只能計(jì)算有理數(shù).但在傳統(tǒng)微積分中，計(jì)算所用的理論和公式卻是借助實(shí)數(shù)理論推導(dǎo)出來的.能不能不依賴于實(shí)數(shù)理論為計(jì)算機(jī)所用的計(jì)算方法提供理論依據(jù)呢？第三代微積分提供的數(shù)學(xué)模型，恰好可以為計(jì)算機(jī)所用的微積分提供理論基礎(chǔ).

第三代微積分基本理論的建立不依賴實(shí)數(shù)理論和極限，但并不排斥實(shí)數(shù)理論和極限.極限思想是數(shù)學(xué)的精華之一，極限的理論和計(jì)算在微積分中有重要的地位.實(shí)數(shù)理論對(duì)存在性的論證是不可或缺的.

五、提出希望

當(dāng)代著名的數(shù)學(xué)家阿蒂亞在1976年任倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席時(shí)的演說中，有這樣幾句話：“如果我們積累起來的經(jīng)驗(yàn)要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡(jiǎn)化和統(tǒng)一.”“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解.”作為人類精神的最高的成果，微積分曾使成年人中的數(shù)學(xué)家都感到困惑.我們希望并且相信，在不遠(yuǎn)的將來，隨著新思想和新方法的普及和應(yīng)用，微積分將會(huì)變成多數(shù)孩子都容易理解的一門數(shù)學(xué)課程.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014：127.

[2]林群.新版微積分[R].北京：科學(xué)技術(shù)出版社，2006.

[3-13]張景中.直來直去的微積分[M].北京：科學(xué)技術(shù)出版社，2016.