單層石墨烯中聲學極化子自陷的相關問題

侯嵩來，侯俊華

(山西師范大學物理與信息工程學院，041004，山西，臨汾)

0 引言

極化子結構作為粒子與場相互作用的最簡單模型，在固體量子系統、極性半導體甚至高溫超導體等許多方面都發揮著重要的作用。作為晶體中的基本載流子，對解釋離子晶體和極性半導體中的光學躍遷和輸運現象也具有重要意義。其中極化子“穿衣”的概念已不僅限于電子－聲學聲子相互作用系統，更是物理學中的一個重要圖像[1－4]。當電子在晶體中運動并同聲子云相互作用時，電子－聲子相互作用將影響遷移效應，改變如有效質量、遷移率和基態能等物理量。對于聲學極化子，存在一種自陷狀態，該狀態的轉變伴隨著基態能量與有效質量的突變，同時也帶來許多新的物理現象與性質。超導作為一種特殊的輸運現象，低溫超導微觀機制正是電子－聲子相互作用。低溫超導BCS理論中的Cooper對也是電子與聲子相互作用產生的極化子效應。現已發展許多模型用于解釋高溫超導的微觀機制，而其中極化子－雙極化子模型是BCS理論的自然延伸[5－6]。因此，研究極化子的性質有助于高溫超導模型的發展和完善。

石墨烯的發現帶來了許多新的物理現象及應用前景。作為一種新型二維材料，石墨烯在許多方面極具特點，給凝聚態物理帶來了新的活力[7－9]。近來研究表明，2層石墨烯以1.1°扭曲在一起時會產生高溫超導效應[10－11]。因此，結合石墨烯這一具體材料并研究其中極化子的自陷效應，將對包括超導在內的領域提供理論指導。

本文首先介紹石墨烯材料的特殊結構及相關哈密頓量。用Huybrechts變分法分別導出了Dirac點附近和遠離該點處的極化子基態能量。通過引入電子－聲子耦合常數，討論了極化子的自陷情況。

1 石墨烯中的電子－聲學聲子相互作用

石墨烯作為一種二維材料，由一層排列成蜂窩狀的碳原子組成。根據緊束縛近似可得其能帶結構，并發現在Brillouin區的6個頂點上，石墨烯的價帶與導帶相連通，構成無帶隙的半導體，且頂點附近的能帶呈線性色散關系，這些頂點稱為Dirac點。根據晶體中的有效質量理論得出該點附近的有效質量為零。因此，石墨烯中電子的運動將被無質量的Dirac方程所代替，即Weyl方程

其中c是零質量粒子的運動速度，即石墨烯中的Fermi速度。珝σ和珒p分別是二維系統中的Pauli矩陣和載流子動量。正負號分別對應不同螺旋度。本文只考慮正螺旋部分，則電子的動能可表示為

電子與聲學聲子的相互作用為

2 極化子的基態能量

為計算石墨烯體系中極化子的基態能量，采用Huybrechts變分法[13]對式(4)進行2次變換。第1次通過正則變換

引入產生與湮滅算符b↑j、bj，則動量與坐標可重新表示為

其中a和λ是變分參數。為了計算能量本征值，必須進行2次幺正變換。

其中fa為引入的位移振幅。

考慮石墨烯中電子與零聲子云組成的基態，對2次變換后的哈密頓量取平均可得極化子的基態能量為

根據對稱性可得，位移振子表示為

將該表示帶入(8)中并采取標準化處理得

再將Vq的表示帶入得基態能量，有

當電子遠離Dirac點時，電子－聲學聲子相互作用可由形變勢理論得[12]:

則該體系下哈密頓量表示為

通過引入無量綱常數

再次運用Huybrechts變分法并采用Hou的處理方法[14]，得到基態能量為

這一表示正是純二維系統中極化子基態能量的表達式，與文獻[14]所得結果一致。

3 數值結果與討論

前面分別計算了二維石墨烯體系中2種情況下極化子的基態能量，式(11)和式(16)分別代表Dirac點處與遠離Dirac點的基態能量。式(11)表明基態能量只有關于波矢的積分項，而式(16)表明能量由兩部分組成:關于波矢的積分項和變分參量的常數項。基于以往對極化子能量問題的研究[15]，在Huybrechts變分法中，含有變分參量的常數項來源于電子動能項中引入動量的線性組合算符(6a)。也就是說，它代表了電子本身的特性。而波矢積分項是電子與聲子相互作用的表示。自陷是電子在聲子云中的束縛狀態，是電子和聲子以各自獨立狀態相耦合的結果。式(11)表明，當電子接近Dirac點時，基態能量公式中只有電子－聲學聲子相互作用的復合成份，即電子同晶格振動的整體耦合，而沒有代表電子自身個體屬性的動能項。因此，在這種狀態下，電子不能形成正常的極化子，進而不會發生自陷轉變。

對于遠離該點的非相對論效應，仍采用截止波矢與耦合常數乘積的判據方式，運用數值方法計算了聲學極化子基態能量與耦合常數之間的關系，如圖1所示

圖1 二維石墨烯中聲學極化子的基態能量同電子－聲學聲子耦合常數α的關系

基于式(16)可知，當電子遠離Dirac點時，表現為正常極化子行為，并從圖1可得，極化子基態能量隨耦合常數的增大而減小。當耦合常數增大到一定值時，能量曲線出現拐點，極化子能量突然下降，該點即表示從近自由態到自陷態的轉變。將該點處的耦合常數定義為臨界耦合常數αc，可以得到自陷躍遷的條件為αcq0≥0.6，這與Hou的工作[14]即理想二維系統模型中的結論是一致的。

現對狄拉克點處無法形成極化子進而無自陷轉變進行解釋:由于石墨烯的特殊能帶結構，電子以零質量的形式存在于零帶隙附近，這意味著電子具有相對論效應。而極化子是慢電子與晶格振動即聲子相互作用構成的準粒子，是晶體中緩慢運動電子的一種表現屬性。現以單價金屬中電子同LA聲子互作用的哈密頓量為例就電子的躍遷變化頻率同聲子頻率的對應關系做簡要定性說明:不計自旋，運用中島變換[16]可得該系統中電子－聲子－電子的有效相互作用為

該哈密頓量為晶體中電子同相近的另一電子相互作用的表示，而作用媒介是電子對晶格的影響，即電子－聲子相互作用。該式并非極化子情況下的相互作用，而是在未形成極化子時晶體中電子－聲子相互作用的表現，前文關于哈密頓量的表示皆是在假定電子運動構成極化子的前提下。因此，在分析形成極化子所應滿足的電子－聲子相互作用時，運用該式進行說明。其中Dq為電子－

聲學聲子相互作用系數;Vkq符號反映晶體中兩電子之間相互作用的性質，取正時電子之間相互排斥，取負時相互吸引;ωq表征晶格畸變響應電子的頻率。當電子－聲子相互作用，能量由εk躍遷至εk+q，其改變的快慢，即躍遷頻率由ω表示。只有當聲子頻率大于電子的躍遷頻率時，電子庫侖勢造成的晶格畸變才可被晶格及時響應，并導致電子周圍有正電荷集中。而當電子躍遷頻率大于聲子頻率時，電子庫侖勢的作用得不到及時的響應，也就不會產生圍繞電子集體效應。當電子在特定結構中具有相對論效應時，由于電子的快速遷移率，晶格振動頻率不能及時對電子的庫侖勢做出響應。這樣就不可能形成由電子極化所產生的正常極化子，更不用說形成自陷態。

4 結論

本文用Huybrechts變分法分別計算了石墨烯中Dirac點和非Dirac點處極化子的基態能量。結果表明，由于狄拉克點附近電子的相對論效應，不能形成正常的極化子。在電子遠離狄拉克點時，聲學極化子基態能量與電子－聲子耦合常數的關系符合理想二維理論的結論。即用石墨烯材料驗證了二維體系中聲學極化子自陷判據的合理性。