基于菲涅耳聲透鏡的聲速與焦距的測量實驗

唐召軍，黃 魏，周小虎，吳曉立，樊代和

(1.成都市第七中學，四川 成都 610041；2.西南交通大學 物理科學與技術學院，四川 成都 610031)

據不完全統計，國內有97.56%和73.17%的高校開設空氣中聲速的測量實驗和薄透鏡焦距測量實驗[1]. 從2019年開始，這2個實驗項目也成為了全國高等學校物理基礎課程青年教師講課比賽實驗題目規范表中的題目. 對中學生的物理教育而言，這2個實驗項目也是全國中學生物理競賽實驗指導書涉及到的實驗內容[2]. 因此，不論是對深入學習大學物理實驗課程的本科生，還是對計劃參加物理奧林匹克競賽的中學生而言，這2個實驗項目均具有重要意義. 在傳統的物理實驗參考書中，一般采用駐波法(或稱極值法)和相位比較法測量超聲波在空氣中傳播的波長，結合測量得出用于產生超聲波的換能器的共振頻率，最終利用超聲波傳播速度與波長和頻率的關系得到超聲波在空氣中的聲速. 在薄透鏡焦距的測量實驗中，一般采用物像距法、共軛法(或稱位移法)、自準直法等測量薄凸(或者凹)透鏡的焦距. 然而，無論對本科生而言，還是對有一定實驗基本技能的中學生而言，如果僅僅完成教材或指導書中如上所述的簡單聲學和光學實驗測量內容，顯然在培養學生的綜合實驗能力方面是不夠的.

菲涅耳聲透鏡(以下簡稱聲透鏡)是基于菲涅耳波帶片衍射原理制作成的，可用于對聲波進行會聚(擴散)的一種聲學元件，其功能類似于光學凸(凹)透鏡對光線所起的會聚(擴散)作用. 聲透鏡如圖1所示，由同心圓環結構組成，其中，圖1(a)所示的圓環最中間部分為空心結構，表示正聲透鏡，圖1(b)所示的圓環最中間部分為實心結構，表示負聲透鏡，r1,r2,…,r8為各同心圓環的半徑.

聲透鏡與菲涅耳光學透鏡的原理類似，通過環狀結構使經過聲透鏡后的聲波發生干涉相長或干涉相消現象. 這樣，從實際效果來看，聲透鏡表現出對聲波的會聚或者擴散作用. 目前，關于聲透鏡制作方法的研究也較為成熟. 例如，雷佳雨等提出了正聲透鏡的理論設計方案，并在實驗中對聲壓級分布進行了研究[3]. 陳冰心等利用有限元分析方法，得出了聲波頻率、半波帶個數以及透鏡材質的透射系數對聲透鏡聚焦能力的影響[4]. 王柄霖等設計出帶凹槽平板型的聲透鏡，并對其聚焦性能進行了理論分析和數值模擬[5]. 對聲透鏡相關參量的研究，還成為了2016年IYPT的賽題之一[6]. 由于聲透鏡具有外形尺寸小、放大倍數高等優點，使得聲透鏡在聲學領域的應用也越來越廣泛. 因此，有必要在大學物理實驗課程中增加聲透鏡的原理和功能的實驗內容.

本文將聲透鏡引入到傳統的聲速測量和薄透鏡焦距測量實驗中，提出了綜合實驗方案. 該方案可將傳統物理實驗中聲速測量技能、透鏡焦距測量技能和示波器的使用技能進行綜合，為提高學生的綜合實驗能力奠定基礎.

1 綜合實驗方案設計

聲透鏡實際上等同于光學透鏡，區別在于聲透鏡對聲波(非光波)能起到會聚或者擴散的作用，且同樣具有焦距這一特征參量. 根據菲涅耳半波帶原理[7]，如圖1(a)結構所示的實際聲透鏡，其同心圓環的半徑rn與透鏡焦距f和聲波波長λ的關系為

(1)

其中，n=1,2,3,…表示環的個數. 從式(1)中可以看出，一旦聲透鏡制作完成(即rn確定)，則聲透鏡的焦距f將與聲波的波長λ具有一一對應的關系. 因此，如果通過實驗測量出聲透鏡的焦距，即相當于測量得到了聲波的波長. 在此基礎上，結合測量出聲波的頻率，最終可得出聲波的傳播速度. 聲透鏡焦距f的測量，可以借鑒傳統物理光學實驗中薄透鏡焦距測量的實驗技術.

以正透鏡[結構如圖1(a)所示]為例，提出綜合實驗方案.

實驗儀器：壓電換能器1對(用于產生和探測超聲波)，聲學透鏡及游標卡尺各1個，信號發生器和雙蹤示波器各1臺，帶刻度光具座1臺，同軸電纜及光學支柱和滑塊若干.

實驗內容和要求：1)設計方案并測量聲透鏡的焦距. 2)通過測量聲透鏡的幾何參量，測量超聲波的波長. 3)測量超聲波在空氣中的聲速.

要完成實驗內容1)，需要對傳統薄透鏡焦距測量技術進行深入思考，選擇合適的測量方案對電信號進行測量. 要完成實驗內容2)，可通過游標卡尺測量聲透鏡的幾何尺寸，最后利用式(1)得出聲透鏡的焦距. 這部分實驗內容的主要目的是：一方面訓練學生正確使用游標卡尺的內尺和外尺測量直徑的能力，以及正確利用作圖法或最小二乘法對實驗數據進行處理的能力;另一方面，也可以掌握一種精確測量聲波波長的方法. 在獲得前兩部分數據后，可根據傳統物理實驗參考書提供的實驗方法，進一步測量得出超聲波在空氣中的聲速，也即完成實驗內容3). 對第一部分實驗內容，由于要結合電信號測量、光學焦距測量、信號發生器以及示波器的使用等相關知識和基本實驗技能，因此是綜合實驗方案設計的重點.

2 方案可行性實驗驗證

實驗室提供了用不銹鋼材料制作成的聲透鏡，該聲透鏡使用超聲波波長為8.71 mm以及焦距為50 mm這2個參量，結合式(1)而設計制作，如圖2所示，聲透鏡的實際厚度為3.52 mm. 為了便于其放置在光具座滑塊上，在其下方焊接了安裝支柱. 使用2個寬度為3.3 mm的不銹鋼輻條固定聲透鏡各個同心圓環. 固定輻條會對聲透鏡的焦距參量帶來一定影響，但由于其數量少、寬度小，因此實驗可以忽略對聲透鏡焦距參量的影響. 另一方面，利用不同的材料制作聲透鏡時，影響聲壓透射系數(即不同材料對聲波的吸收程度不同)，但不會改變聲透鏡的焦距參量[4].

圖2 聲透鏡實物圖

2.1 實驗內容1)的設計

要完成實驗內容1)，需思考傳統測量光學透鏡的幾種方法，結合給定的實驗儀器并根據不同的原理，設計出測量方案. 與光學透鏡測量焦距不同，該實驗中沒有發光物體作為成像的實際物體，也沒有可直接用眼睛觀察的成像，而是全部由聲波信號和電信號實現. 因此，要完成此部分實驗內容，首先應該利用信號發生器產生正弦信號，并用其驅動發射端壓電換能器產生超聲波. 此時，利用傳統物理實驗參考書中的方法[8]，即在無聲透鏡的情況下，通過改變信號發生器的輸出頻率，直接觀察接收端壓電換能器得到的聲壓信號. 當接收端聲壓信號最大時，即可得到壓電換能器的共振頻率為f0=39.92 kHz，此頻率即等同于實驗中超聲波的頻率f0. 實驗裝置圖如圖3所示，對壓電換能器(A,C)和聲透鏡(B)做類似于光學實驗中的共軸等高調節，最后利用物像距法來測量聲透鏡的焦距f.

圖3 實驗1)原理圖

此時，用于研究成像規律的物體即為發射端壓電換能器產生的超聲波信號，而所成的像可用接收端壓電換能器連接示波器來進行探測. 例如，當圖3中裝置A，B，C的坐標位置滿足透鏡成像公式時，接收端壓電換能器C將測量得到峰峰值最大的電信號. 固定壓電換能器A和聲學透鏡B，并測量得到其在光具座上的坐標值分別為xA=263.0 mm和xB=350.0 mm. 左右移動壓電換能器C，并在示波器上觀察接收到電信號的峰峰值. 采用類似光學透鏡焦距測量中左右逼近的方法，找到接收端信號峰峰值電壓最大時，對應的壓電換能器C的位置. 最終得到的測量值分別為xCL=468.8 mm和xCR=469.2 mm. 因此，利用聲透鏡測量透鏡焦距時，實際所成的像在光具座上的位置坐標為xC=(xCL+xCR)/2=469.0 mm. 根據以上測量數據，可得到透鏡成像公式中的物距為u=xB-xA=87.0 mm，像距為v=xC-xB=119.0 mm. 最后利用成像公式f=uv/(u+v)，即可得出聲透鏡的焦距為f=50.3 mm.

該測量聲透鏡焦距的實驗方案有2方面優點：1)該實驗將用到傳統的測量光學透鏡實驗中的共軸等高調節和左右逼近的實驗技術，因此該實驗可作為訓練學生光具座調節技術的可選實驗；2)由于用示波器觀察電信號的峰峰值大小的方法代替了傳統光學實驗測量中成像清晰(人眼主觀判斷)位置的判斷，可進一步提高測量精度.

2.2 對實驗內容2)的可行性進行實驗驗證

在正確使用游標卡尺的情況下，可測量出如圖2所示的實際聲透鏡各同心圓環直徑，并計算得到聲透鏡半徑rn[如圖1(a)所示]與環數的關系，結果如表1所示.

表1 聲透鏡半徑與環數

根據式(1)，可以得出：

(2)

從圖4可以看出，所用聲透鏡的同心環半徑的平方值與環數n呈線性關系，證明了實驗中聲透鏡設計的準確性. 同時，通過圖4還可以得出直線的斜率為k=437.4 mm2，結合實驗1)中測量得出的聲透鏡焦距f=50.3 mm，得出超聲波的波長為λ=k/f=8.70 mm.

通過相位比較法[8](利用李薩如圖形)，在不使用聲透鏡的情況下，測量得到了超聲波的波長為λc=8.71 mm. 與利用聲透鏡的方法相比，二者基本相同，證明了利用聲透鏡測量超聲波的波長，也是可行的波長測量方法.

圖4 聲透鏡與環數n的關系圖

2.3 實驗3)的實現

在完成實驗內容1)和2)的基礎上，利用測量得到超聲波頻率以及波長λ，并結合v=λf0完成即空氣中超聲波聲速的測量. 由于這部分內容在傳統的物理實驗參考書中均有詳細說明，因此不再贅述.

3 結束語

將聲透鏡引入傳統的聲速測量和薄透鏡焦距測量實驗中綜合實驗方案，可以將傳統的聲速測量和薄透鏡焦距測量實驗知識內容，與聲透鏡的相關知識內容相結合，進一步豐富學生的物理知識和實驗技能；同時，該方案也提供了精確測量超聲波波長的方法，可以測量出超聲波在空氣中的聲速. 該方法使用了示波器測量壓電換能器接收端的電壓值，避免了在傳統光學透鏡焦距測量中由于依靠人眼觀察像的清晰位置而引入的誤差. 實際實驗中，可對數據進行多次測量、計算及分析不確定度.