魔術套環的動力學分析

周麗婷,朱蕾蕾,黃小紅,熊舉峰

(湖南師范大學 物理與電子科學學院，湖南 長沙 410000)

魔術是一種娛樂性的藝術魔術也蘊含著豐富的物理原理. 本文探討了魔術套環的動力學過程. 王惠明教授等通過一系列實驗與動力學分析得出完成魔術套環的關鍵在于使圓環經過一次碰撞，獲得一定的初角速度[1]. 將鐵環下落分為3個階段——自由落體、碰撞和鐵環轉動，從角速度和角位移的角度描述了鐵環套結成功所需的條件，但是其動力學分析只停留在定性描述上，條件只分析了初始角速度，初始準備條件也只分析了碰撞方式. 本文定量分析了鐵環下落各個階段的動力學過程，從力矩和能量的角度計算了鐵環套結成功的條件，即鐵鏈寬度與直徑的關系、初始角動量、鐵鏈長度和鐵鏈材質，結合對原理的應用，增加了幾種準備動作.

1 魔術套環的動力學分析

從圓環套結過程中關鍵處示意圖(圖1)可知，魔術情景下拇指提前釋放，使得圓環重力矩不等于零，圓環具有初始角動量L0，由于初始角動量的存在讓圓環套結成為可能.

為了分析“魔術套結”的動力學過程，將分為3個階段，且建立O-xyz坐標系(圖2)，設圓環質量為m，圓環半徑為r，圓環與z軸的角度為α，鐵鏈寬度d，鐵鏈長度l.

圖1 圓環套結過程中關鍵處示意圖

(a)初始狀態O-xyz坐標系 (b)受力分析

1.1 第1階段：從拇指開始釋放到圓環全部離開手(0<α<θ)

設食指與圓環接觸部分圓環質量為Δm，對圓環進行受力分析(不計空氣阻力)，圓環受到重力、支持力和摩擦力作用，第1階段末狀態受力分析示意如圖2所示.

從鐵鏈寬度d與圓環直徑D=2r關系的角度開始討論，分以下2種情況:

1)d>D

摩擦力f≠0,摩擦力對圓心的合力矩Mf=0. 重力W=mgj，支持力為F=-Δmgj(通過靜摩擦力的方式提供接觸部分質元重力的支持力，由于圓環對接觸點的向心力在圓環直徑方向，對質心速度與圓環對圓心的轉動影響不計，且時間間隔短，所以忽略此方向的支持力)，重力與支持力對圓心的力矩分析如圖2所示.

2)d≤D

摩擦力f=0,摩擦力對圓心的合力矩Mf=0. 重力和支持力對圓心的合力矩為M=rΔWsinα=rΔmgsinα.

1.2 第2階段：從圓環脫離手到圓環與鐵鏈成π/2角度(θ<α<π/2)

由于此階段沒有支持力，圓環只受到重力和摩擦力的作用，考慮到圓環的對稱性，分析重力矩和摩擦力矩(圖2). 重力矩MW=0,摩擦力矩Mf=0(與第1階段同理),與第1階段類似，設這一階段的質心加速度為a2.

1.3 第3階段：圓環與鐵鏈角度α由π/2到大于π/2(α>π/2，即套結過程)

圖3 第3階段某一角度α接觸點受力與力矩分析圖

計算表明，由于初始轉動動能的存在使得套結可以實現，即初始轉動動能使得圓環可以克服鐵鏈的壓力矩做功，通過計算可知圓環可轉入鐵鏈的最大角度為φ(圓環轉動動能為0). 同時在α=φ處圓環所受力矩不平衡，仍然有壓力矩MF(線性恢復力矩)的存在，如果忽略空氣阻力且鐵鏈無限長，則圓環會在有豎直向下加速度的非慣性系中做簡諧運動. 其中簡諧運動的運動學方程可表示為：α=φcos (ωt+δ)，其中ω為角速度，δ為初相位，且設豎直向下加速度為恒定a，則y方向上運動學方程為：y=at2/2. 因此制做出α與t的關系示意圖(圖4)，圖中(t0，t1)，(t2，t3)階段角動量守恒，則α與t的斜率k為常數，即只要時間t(鐵鏈長度)可以使得圓環與z軸角度α滿足π/2<α<φ，就可以使圓環套結.

圖4 角度α與時間t的關系示意圖

2 魔術套環的條件分析

1)準備動作如圖5所示,為了使套結能夠成功，就要使圓環具有初始轉動動能. 本文實驗了3種情形：a.利用中指與圓環發生碰撞;b.握圓環的手優先釋放拇指;c.利用拇指與食指提供作用力. 最終采用b情形，使鐵鏈平面在Oxy平面上，圓環與手的接觸直徑在z軸上(使得初始力矩和第3階段壓力矩都在x軸方向上).

圖5 a,b,c3種情形初始準備動作示意圖

2)從第1階段中分析計算可知，D與d的大小關系與摩擦力矩無關，而在第3階段的合壓力矩中，圓環與鐵鏈接觸點P與圓心的連線OP與x軸的夾角為β，β與d和D的關系有關. 當dd,D=d和D

3)本文采用是鐵鏈和鐵環，由于其材質密度、光滑度、柔韌性等方面的適宜，使得在第3階段有線性恢復力矩的存在，圓環可以做簡諧運動. 針對柔韌性這一因素，將鐵鏈換成柔韌性較大的軟線環和柔韌性較小的銅絲環分別做實驗， 發現柔韌性過大則線性恢復力矩過小(接近于0)、鏈環長度l只要大于某一值y1+D(圖4)即可，柔韌性較小則線性恢復力矩過大使得符合條件的鏈環長度l范圍過小，即套結難度過大.

4)從圖4可知，在y1

3 結 論

定量分析了魔術套環的動力學過程，一定的初始轉動動能的存在是魔術套結的首要條件，即初始轉動動能使得圓環可以克服鐵鏈的壓力矩做功，通過計算可知圓環可轉入鐵鏈的最大角度為φ時圓環轉動動能為0. 在α=φ處圓環所受力矩不平衡，仍然有壓力矩MF(線性恢復力矩)的存在，如果忽略空氣阻力且鐵鏈無限長，則圓環會在有豎直向下加速度的非慣性系中做簡諧運動. 即只要鐵鏈長度可以使得圓環與z軸角度α滿足π/2<α<φ，就可以使圓環套結.