具有解析式位置正解的2T1R并聯機構運動性能分析

沈惠平 周金波 尤晶晶 楊廷力

(1.常州大學現代機構學研究中心， 常州 213016； 2.南京林業大學機械電子工程學院， 南京 210037)

0 引言

三自由度的三維純平移和三維純轉動并聯機構已得到較多的研究與應用[1-4]。而具有轉動和移動混合輸出的三自由度并聯機構因驅動元件少、制造容易、結構緊湊等特點，在空間抓取、調姿、定位等實際操作中也具有較高的研究價值和應用前景[5-8]。

目前，對兩平移一轉動(2T1R)并聯機構研究相對較少，但這類機構可用于空間抓放定位操作或娛樂、調姿裝備等。WANG等[9]提出了一種Cylindrical型兩平移一轉動并聯機構；KONG等[10]、楊寧等[11]分別基于螺旋理論對2T1R型并聯機構的結構綜合進行了研究；REFAAT等[12]根據位移李群理論對三自由度運動并聯機構進行型綜合研究；張彥斌等[13]根據線性變換理論，對無奇異完全各向同性2T1R型空間并聯機構進行了結構綜合；楊廷力等[14-16]基于單開鏈單元理論對2T1R型并聯機構進行了型綜合，得到多種含有平面閉回路結構的新型機構；余順年等[17]提出了一種以兩平移一轉動并聯機構為主體的串并聯中醫推拿機器人機型。

上述大多數2T1R機構不具有解析式位置正解，給后續研究(誤差分析、動力學正解求解以及實時運動控制等)帶來了困難。因此，具有解析式位置正解的并聯機構的拓撲設計與分析，一直是機構學研究的方向之一，目前設計的具有解析式位置正解的并聯機構拓撲類型較少。沈惠平等[18]發現，機構耦合度κ=0時可容易地直接求解6-SPS并聯機構的解析正解，并提出按機構耦合度κ分類求解6-SPS并聯機構位置正解全部實數解的數值法;尤晶晶等[19]提出了一種12-6臺體型Stewart冗余并聯機構，并推導了適用于實時反饋控制的正向運動學全解析算法。

本文基于方位特征(POC)的并聯機構設計理論與方法[14-16]，提出兩種低耦合度(κ=1)的2T1R并聯機構，給出這兩種機構的4個主要拓撲特性(POC集、自由度、耦合度、運動耦合性)，并對其運動學(位置正逆解求解、工作空間、奇異位形以及速度、加速度)進行計算分析與比較。

1 機型設計與運動學建模

1.1 機型設計

根據基于方位特征(POC)方程的并聯機構拓撲結構設計理論[14-16]，提出了一類兩種2T1R三自由度并聯機構，如圖1所示。靜平臺0上的移動副P2與P3為沿Y軸方向的共軸線布置，移動副P1與P2平行。

機構1的拓撲結構設計如圖1a所示：

(1)右側兩滑塊(P2、P3)平面六桿機構(記作：2P4R)回路的中間構件9上，串聯兩個軸線相互平行的轉動副R1與R2，且R2副與動平臺1相連，得到第Ⅰ個混合支鏈(HSOC1)。

圖1 具有解析式位置正解的2T1R并聯機構Fig.1 2T1R PMs with analytic positive position solution

(2)左側支鏈由一個滑塊(P1)與一個4R平行四邊形機構(Ra1Rb1Rc1Rd1)及轉動副R3串聯而成，且R3副與動平臺1相連，得到第Ⅱ個混合支鏈(HSOC2)。

(3)機構運動時，兩滑塊平面六桿機構2P4R始終與平行四邊形機構的運動平面YOZ平行。

而機構2的拓撲結構設計，如圖1b所示：

(1)右側2P4R平面六桿機構的中間構件9通過串聯一個轉動副R1，直接與動平臺1相連，得到第Ⅰ個混合支鏈(HSOC1)。

(2)左側支鏈由一個滑塊(P1)、轉動副R3、4R平行四邊形機構及轉動副R2串聯而成，且R3‖R2，R2副與動平臺1相連，得到第Ⅱ個混合支鏈(HSOC2)。

可見，機構1和機構2的主要區別在于：3個平行軸線被動轉動副(R1、R2、R3)的位置發生了變換，其余沒變。

1.2 基于拓撲特征的運動學建模方法

基于拓撲特征的機構運動學建模方法基本思路：首先進行機構的拓撲分析，揭示其拓撲特征；再利用這些拓撲特征，進行運動學方程建模與求解；這種建模方法的優點在于：拓撲特征的利用，等于增加了運動方程數目，從而使方程求解方便。

1.2.1機構的POC集計算

機構POC方程為[14]

(1)

(2)

式中MSj——當支鏈中第j個子SOC的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

MPa——機構動平臺的POC集

機構POC集確定如下：

(1)支鏈拓撲結構

混合支鏈Ⅰ中，2P4R平面六桿機構中間桿9的輸出運動顯然為兩平移一轉動(2T1R)，與R1‖R2串聯后，其末端的輸出為三平移兩轉動(3T2R)；混合支鏈Ⅱ中，P1副與一個4R平行四邊形機構及R3副串聯，顯然，其末端輸出運動為兩平移一轉動(2T1R)。故混合支鏈Ⅰ、Ⅱ的拓撲結構等效地記為

(2)選定動平臺1上的O′點作為基點。

(3)混合支鏈Ⅰ、Ⅱ末端構件的POC集確定

由式(1)可得

(4)動平臺POC集確定

由式(2)可得

(3)

由此可知，機構動平臺1產生YOZ平面內的兩維移動，以及繞轉動副R1軸線的一維轉動。而混合支鏈Ⅰ中的中間桿9在混合支鏈Ⅱ的作用下，只存在沿Y、Z軸方向的移動(即中間桿9的運動始終平行于靜平臺)，這個特殊的拓撲結構是求解本機構解析式位置正解的關鍵。

1.2.2機構的自由度分析

并聯機構全周性DOF公式[14-15]為

(4)

(5)

v=m-n+1

式中F——機構自由度

fi——第i個運動副的自由度

m——運動副數n——構件數

v——獨立回路數

ξj——第j個獨立回路的獨立位移方程數

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構件的POC集

由混合支鏈HSOC2及子串R1‖R2構成第2個回路，記作Loop2{-P1(⊥P(4R))‖R3‖R2‖R1-}，其獨立位移方程數ξ2，由式(5)可得

由式(4)可得并聯機構自由度為

因此，該機構自由度為3，當取靜平臺0上的移動副P1、P2、P3為驅動副時，動平臺1可實現兩平移一轉動的運動輸出。

當3個移動副以相同的速度運動時，該機構可實現大范圍的操作移動；而當其取不同的速度時，可實現小范圍內的三平移精確作業。因此，該機構適合于長度方向較大尺寸工件的搬運、抓取、上下料等操作。

1.2.3機構耦合度計算

由基于單開鏈(SOC)的機構組成原理[20]可知，任一機構可分解為約束度為正、零、負的3種有序單開鏈(SOC)，第j個SOCj的約束度定義為

(6)

其中

式中mj——第j個SOCj的運動副數

Ij——第j個SOCj的驅動副數

一組有序的v個SOC可劃分為若干個最小的子運動鏈SKC(Sub-kinematics chain)，每個SKC僅含一個自由度為零的基本運動鏈(BKC)[16]，對一個SKC而言，須

(7)

因此，SKC耦合度κ定義為

(8)

耦合度κ的物理意義：①κ反映了SKC內各回路變量之間的關聯、依賴程度，且已證明：κ越大，機構運動學、動力學問題求解的復雜度越高。②機構的位置正解求解可轉換為其各個SKC的位置求解。③對于κ=0的SKC，其每個回路的運動量解析解都能獨立求出；若κ>0，表明SKC的運動量需多個回路方程聯立求解，可用數值法或代數法求得其位置正解。

1.2.2節已分別求得該機構兩個回路的ξ值，即ξ1=3、ξ2=5，由式(6)可得約束度分別為

于是，由式(8)可得

該機構只含有一個SKC，且該SKC耦合度κ=1。因此，該機構位置正解時，僅需在約束度為正值(Δj>0)的回路Loop1上設定一個虛擬變量；然后，在約束度為負值(Δj<0)的回路Loop2上建立一個含這個虛擬變量的位置約束方程，從而求得該機構的位置正解。

但由于此機構具有特殊的拓撲約束，可直接通過約束度為負值(Δj<0)的回路Loop2作用于約束度為正值(Δj>0)的回路Loop1的幾何約束(即桿9的運動始終平行于靜平臺)，可直接從Loop1中求出該虛擬變量，從而直接求得其解析式位置正解。

2 位置分析

2.1 坐標系建立與參數標注

如圖2a所示，設機構靜平臺0為寬度2l1的矩形，靜平臺0上3個移動副的位置分別為A1、A2、A3。在靜平臺0建立OXYZ坐標系，O為靜平臺的幾何中心，X軸與lA2A3連線垂直，Y軸與lA2A3連線平行；在動平臺1建立O′X′Y′Z′坐標系，O′為動平臺1的中心，X′軸與lE1D1共線，Y′軸與lE1D1垂直，Z、Z′軸由右手笛卡爾坐標系法則確定。設lB3C3與Y軸正方向的夾角為虛擬角δ。

機構XOZ投影圖如圖2b所示，lD2E1、lE1D1與X軸正方向的夾角分別為α、β。

該機構結構參數為：動平臺上lE1D1=l8，lAiBi=li(i=1,2,3)；第1條混合支鏈中lB2C2=lB3C3=l5，lC2D2=lD2C3=l6，lD2E1=l7；第2條混合支鏈中lB1C1=l4，lC1D1=l9=0。

圖2 機構1運動學建模Fig.2 Kinematics modeling of PM1

在靜坐標系OXYZ下，易知Ai、Bi(i=1,2,3)點的坐標分別為A1=(l1,yA1,0)、A2=(-l1,yA2,0)、A3=(-l1,yA3,0)；B1=(l1,yA1,l3)、B2=(-l1,yA2,l3)、B3=(-l1,yA3,l3)。

2.2 位置正解求解

已知：靜平臺0上Ai(i=1,2,3)的位置yA1、yA2、yA3，求：動平臺1上O′的坐標(x0,y0,z0)和姿態角β。

(1)約束度為正的第1回路(Loop1)的求解

由1.2.1節可知，機構運動過程中，由機構特殊的拓撲約束，即2P4R平面機構的中間構件9始終平行于靜平臺0，即lC2C3‖lA2A3，則有

zC2=zC3

(9)

因此，點C2、C3及D2的坐標分別為

由幾何約束條件lB2C2=l5，建立機構位置方程，整理并化簡得

Acosδ+B=0

令tan(δ/2)=p，則有

(10)

其中

A=2l5B=yA3-2l6-yA2

這樣，約束度為正的第1回路Loop1上的特殊幾何約束(zC2=zC3)可以直接應用于約束度為負的第2回路Loop2，這是直接求出虛擬角δ解析解的關鍵。

(2)約束度為負的第2回路(Loop2)的求解

在第2回路A1-B1-C1-D1-E1-D2中，由點D2可求出點E1的坐標為(-l1+l7cosα，yA3+l5cosδ-l6，l3+l5sinδ+l7sinα)，C1、D1坐標為(-l1+l7cosα+l8cosβ，yA3+l5cosδ-l6，l3+l5sinδ+l7sinα+l8sinβ)。

同時，可計算得O′點的坐標

(11)

由幾何條件lB1C1=l4，建立位置方程

化簡可得

l7sinα+l8sinβ=t

(12)

其中

機構運動時，由于點B1和C1的X軸方向的位置相同(xB1=xC1)，因此，恒有

l7cosα+l8cosβ=2l1

(13)

然后，由式(11)、(12)消除α，則有

Dsinβ+Ecosβ+F=0

令tan(β/2)=u，則有

(14)

最后，將式(10)、(14)所求得δ、β值代入式(11)，即可得動平臺1上O′點的坐標(x0,y0,z0)。

由式(10)知

δ=f1(yA2,yA3)

由式(14)知

β=f2(yA1,yA2,yA3)

因此，由式(11)知

由于動平臺O′點(x0,y0,z0)中y0=f2(yA2，yA3)，可說明動平臺y0的輸出運動只與驅動滑塊2、3的輸入運動有關，即該機構具有部分輸入-輸出運動解耦性，這對動平臺的軌跡規劃與運動控制是有利的。

2.3 位置逆解求解

已知：動平臺1上O′的y0、z0坐標和姿態角β，求靜平臺0上Ai(i=1,2,3)位置yA1、yA2、yA3。

根據式(11)和式(13)，可求出x0、α為

(15)

(16)

從而，可求出C1、D1的坐標為(x0+l8cosβ/2,y0,z0+l8sinβ/2)、E1的坐標為(x0-l8cosβ/2,y0,z0-l8sinβ/2)。進一步，求出點C2、C3的坐標分別為(x0-l8cosβ/2-l7cosα，y0-l6，z0-l8sinβ/2-l7sinα)、(x0-l8cosβ/2-l7cosα，y0+l6，z0-l8sinβ/2-l7sinα)。

因此，由桿長條件建立位置約束方程為

(17)

即可求解yAi(i=1,2,3)為

(18)

其中

綜上可知，當動平臺1上O′的坐標值y0、z0和姿態角β已知時，靜平臺0上Ai(i=1,2,3)位置yA1、yA2、yA3各有兩組解，故逆解數2×2×2=8，因此，該機構有8種構型。

2.4 正逆解驗證

設該并聯機構的結構參數為l1=125 mm、l2=175 mm、l3=37.5 mm、l4=180 mm、l5=130 mm、l6=55 mm、l7=55 mm、l8=240 mm、l9=0。

取靜平臺0上Ai(i=1,2,3)位置分別為yA1=38.19 mm、yA2=-121.13 mm、yA3=122.94 mm。

將所知參數代入式(10)～(14)計算，由Matlab計算可解得機構的位置正解，如表1所示，此時所對應的機構裝配構型如圖3a所示。

表1 機構1的位置正解數值Tab.1 Positive position solutions of PM1

將表1中組1正解數值代入式(15)～(18)，可得yAi(i=1,2,3)的8組逆解數值，如表2所示。

可見，表2中第1組的逆解數據和正解求解時給定的3個輸入位置yAi(i=1,2,3)一致，此時對應的機構裝配構型如圖3b所示，從而證明了正、逆解的正確性。實際上，圖3所示的CAD裝配構型可視為機構1同一個裝配構型的兩個不同視圖。

圖3 機構1的第1組正解所對應的機構裝配構型Fig.3 Assembly configuration of the first group of PM1

表2 機構1的位置逆解數值
Tab.2 Inverse position solutions of PM1mm

序號yA1yA2yA31*38.1831-121.1322122.9422238.1831-121.1322-11.1322338.183112.9422122.9422438.183112.9422-11.13225-36.3731-121.1322122.94226-36.3731-121.1322-11.13227-36.373112.9422122.94228-36.373112.9422-11.1322

3 機構奇異性分析

3.1 機構奇異性分析原理

所有輸入運動和輸出運動構成的矢量分別記為X和Y，則X和Y的關系可表示為

F(X,Y)=0

(19)

將方程(19)兩邊分別對時間求導，有

(20)

依據Jp、Jq矩陣是否奇異，將機構的奇異位形分為3類：①當det(Jq)=0時，機構發生輸入奇異。②當det(Jp)=0時，機構發生輸出奇異。③當det(Jq)=det(Jp)=0時，機構發生綜合奇異。

JpV=Jqω

(21)

其中

3.2 奇異性分析

3.2.1輸入奇異

當機構發生輸入奇異時，機構的執行構件將失去某個方向的運動能力，則至少有一個運動鏈到達了工作空間的邊界。

此時，滿足det(Jq)=0，該方程解的集合A為

A={A1∪A2∪A3}

(22)

其中，Ai={yAi=yCi}，i=1,2,3，即點Ai與點Ci的y軸坐標相等；滿足A1的三維CAD構型如圖4所示。

圖4 機構1輸入奇異位形圖Fig.4 Input singularity of PM1

3.2.2輸出奇異

在這種情況下，當所有的主動件鎖住時，執行構件依舊可以產生局部運動。此時，若機構末端執行器上作用有限的力，則主動件上將需無窮大的驅動力才能達到力平衡。設

[fi1fi2fi3]=ei(i=1,2,3)

(23)

若det(Jp)=0，則向量e1、e2、e3有如下兩種情況：

(1)存在2個向量線性相關

即當lB2C2‖lB3C3時，表示兩個向量線性相關，其中一種位形如圖5所示。

圖5 機構1輸出奇異位形圖Fig.5 Output singularity of PM1

(2)存在3個向量線性相關

若取e1=t1e2+t2e3(t1t2≠0)，此時有

通過Matlab計算表明，該種情況下t1、t2的解無法解出，因此，此種情況不存在。

此時det(Jq)=det(Jp)=0，即輸入奇異和輸出奇異同時發生。這種奇異位形只有當上述第1、2類奇異同時發生時才會產生，此時，機構將失去自由度、原有的運動特性。

4 機構工作空間分析

并聯機構的可達工作空間，是指在考慮運動副轉角范圍、桿長不干涉情況下，末端執行器的工作區域，是衡量并聯機器人性能的一個重要指標。本文采用極限邊界搜索法對該并聯機構的工作空間進行分析，首先，根據桿長設定工作空間的搜索范圍，然后，基于位置逆解式(16)～(18)，搜索所有滿足約束條件的點，由這些點組成的三維圖即為該并聯機構的工作空間。

為此，確定空間三維搜索范圍：-500 mm≤y0≤500 mm，0≤z0≤800 mm，-π/4≤ψ≤π/3(ψ為搜索角度)，搜索范圍只需略大于桿件活動范圍即可。通過Matlab軟件編程，得到該并聯機構的三維工作空間如圖6a所示，其XOZ截面圖如圖6b所示。

圖6 機構1工作空間示意圖Fig.6 Workspace of PM1

5 速度與加速度分析

5.1 速度、加速度公式推導

將式(17)的3個方程表示為唯一形式：f(y0,z0,β)=0，全微分后可得

(24)

由式(24)可得

(25)

當機構不存在奇異位置時，Jp可逆，則

(26)

式(26)即為動平臺原點O′的速度正解公式。

取式(25)對時間t求導，可得

(27)

其中

當機構不存在奇異位置時，Jp可逆，則

(28)

式(28)即為動平臺原點p的加速度求解公式。

5.2 算例與仿真

取3個驅動副的運動規律分別為

則其輸入速度、加速度的變化規律分別為

將這些已知條件代入式(24)～(28)中，通過Matlab編程計算動平臺1的速度與加速度，并分別得到速度、加速度關于時間t的曲線，然后將虛擬樣機導入ADAMS，設定各構件的材料屬性、運動副的約束類型、施加豎直向下的重力，選取仿真步長0.1 s，仿真時間為10 s，對虛擬樣機進行動力學仿真。將Matlab計算得到的速度、加速度理論值與ADAMS的仿真結果進行對比，結果如圖7所示。

圖7 機構1動平臺1速度、加速度曲線Fig.7 Speed and acceleration of moving platform of PM1

由圖7可知，運用Matlab對式(24)～(28)進行編程計算得到的理論曲線，與運用ADMAS仿真得到的曲線圖基本吻合，其最大相對誤差分別為0.21%、0.58%，從而驗證了所推導的速度與加速度公式的正確性。

6 拓撲學與運動學性能比較

6.1 機構2的拓撲學性能

(1)機構2的混合支鏈Ⅰ僅剩下一個轉動副R1；比機構1少的那個平行軸線的轉動副(R2)轉移到了混合支鏈Ⅱ上，其余沒變，其POC集求解如下：

確定兩條混合支鏈Ⅰ、Ⅱ末端構件的POC集，由式(1)可得

確定動平臺POC集，由式(2)可得

可見，機構2同樣可實現動平臺的兩平移一轉動。

(2)因機構2與機構1兩個回路中的運動副類型、數目及其幾何軸線關系完全相同，因此，其獨立位移方程數不變，即同樣為ξ1=3、ξ2=5，因此，由式(4)、(8)分別計算得的自由度、耦合度，完全與機構1相同，即F=3，κ=1，計算過程略。

6.2 機構2的運動學性能

6.2.1位置正逆解

(1)結構參數

機構2坐標系的建立及參數標注如圖8所示，混合支鏈Ⅰ中lD2E1=l7=0，相對于機構1少了一個桿件，降低了后繼研究(誤差分析、動力學分析、樣機研制等)的難度；混合支鏈Ⅱ中，lC1D1=l9=0；Loop2中只存在動平臺姿態角β(而α=0，見圖2b)。

圖8 機構2運動學建模Fig.8 Kinematics modeling of PM2

(2)位置正解求解

機構2中約束度為負的第2回路(Loop2)的求解，具體如下：

在第2回路A1-B1-C1-D1-E1-D2中，由點D2可求出點E1的坐標為(-l1,yA3+l5cosδ-l6,l3+l5sinδ)，C1、D1坐標為(xE1+l8cosβ,yE1,zE1+l8sinβ)。同時，可計算得O′點的坐標為

(29)

由幾何約束lB1C1=l4建立位置方程為

整理得

Dsinβ+Ecosβ+F=0

令tan(β/2)=u，則有

(30)

其中

D=2l5l8sinδE=-4l1l8

最后，將式(10)、(30)所求得δ、β代入式(29)，即可得動平臺1上O′點的坐標(x0,y0,z0)。

由式(9)可知

δ=f1(yA2,yA3)

由式(30)知

β=f2(yA1,yA2,yA3)

因此，由式(28)可知

即該機構也具有部分輸入-輸出運動解耦性。

(3)位置逆解求解

求解過程具體如下：

由式(28)可求出

因此，由桿長條件建立位置約束方程為

(31)

即可求解yAi為

(32)

其中

綜上可知，當動平臺1上O′的坐標(x0,y0,z0)和姿態角β已知時，靜平臺0上3個點Ai(i=1,2,3)移動距離yA1、yA2、yA3各有兩組解。故逆解數2×2×2=8，因此，該機構有8種構型。

(4)正逆解驗證

設該并聯機構的結構參數為l1=125 mm、l2=175 mm、l3=37.5 mm、l4=180 mm、l5=180 mm、l6=45 mm、l7=0、l8=220 mm、l9=0。

取靜平臺0上Ai(i=1,2,3)位置分別為yA1=38.19 mm、yA2=-121.13 mm、yA3=122.94 mm。

將所知條件代入式(10)、(29)、(30)計算，由Matlab計算可解得機構2的位置正解如表3所示，此時所對應的機構裝配構型如圖9所示。

表3 機構2的位置正解數值Tab.3 Positive position solutions of PM2

圖9 機構2輸入奇異位形圖Fig.9 Input singularity of PM2

將表3中第1組正解數值代入式(31)、(32)，可得yAi(i=1,2,3)的8組逆解數值，如表4所示。

表4 機構2的位置逆解數值

Tab.4 Inverse position solutions of PM2mm

序號yA1yA2yA31*38.1796-121.1346122.9446238.1796-121.1346-31.1346338.179632.9446122.9446438.179632.9446-31.13465-36.3696-121.1346122.94466-36.3696-121.1346-31.13467-36.369632.9446122.94468-36.369632.9446-31.1346

可見，表4中第1組的逆解數據，和正解求解時給定的3個輸入位置yAi(i=1,2,3)一致，從而證明了正、逆解的正確性。結果表明：相比于機構1而言，機構2的結構更為簡單緊湊；又在位置分析中無需設中間變量α，從而簡化了機構的運動學分析過程。

6.2.2奇異性

與機構1的求解過程一致，不同的幾個參數如下

f13=-2(xC1-xB1)l8sinβ+(zC1-zB1)l8cosβ
f23=f33=-(zC2-zB2)l8cosβ

其中機構2的各類奇異均與機構1相同，其中機構2中滿足A1的三維CAD構型如圖9所示。

通過與3.2節中機構1的奇異性(圖4)對比，可得這兩種機構的奇異位形以及出現奇異的條件相同。

6.2.3工作空間

機構2的工作空間分析過程與機構1一致，空間三維搜索范圍(即-500 mm≤y0≤500 mm，0≤z0≤800 mm，-π/4≤ψ≤π/3)，并通過Matlab軟件編程，得到機構2的三維工作空間如圖10a所示；其XOZ截面圖如圖10b所示。

圖10 機構2工作空間示意圖Fig.10 Workspace of PM2

圖12 動平臺的運動曲線對比Fig.12 Comparison of motion curves of moving platforms

分別對比圖6a和圖10a，以及圖6b和圖10b，可知：

(1)兩種機構的工作空間連續，且其工作空間均為平行于XOZ面的長方體區域。

(2)隨著z的增加，機構工作空間的XOZ面面積在逐漸縮小，且均朝x=0的方向縮小。

(3)機構1的工作范圍位于X軸正向，而機構2則在X軸的反向，這是由于轉動副R1的位置變換造成的。

(4)隨著z的增加，機構1的XOZ面變化平緩，而機構2較為陡峭。

6.2.4速度和加速度

通過Matlab編程計算，得到機構2中動平臺1的速度與加速度曲線，同樣將虛擬樣機導入到ADAMS中進行動力學仿真，繼而將Matlab計算得到的速度、加速度理論值與ADAMS的仿真結果進行對比，結果如圖11所示。

圖11 機構2動平臺1速度、加速度曲線Fig.11 Speed and acceleration of moving platform of PM2

由圖11可知，運用Matlab進行編程計算得到的理論曲線，與運用ADAMS仿真得到的曲線圖基本吻合，其最大相對誤差分別為0.13%、0.46%。

故對兩個機構的各項運動對比，見圖12，結果顯示，兩種機構動平臺的各向速度、加速度曲線均呈現相似的周期性變化，尤其是Y向曲線基本重合，說明這兩個機構具有相似的運動特性，能夠實現類似的動平臺輸出運動。

由圖12可知，兩種機構均具有較好的運動平穩性，僅從速度、加速度難以判斷優劣，但機構2相對于機構1結構更加簡單緊湊，整個運動學分析過程更加簡單，且將會降低后繼研究(誤差分析、動力學分析、樣機研制等)的難度；另外，其制造、加工更容易些。因此，可認為機構2為較優機型。

7 結論

(1)揭示了兩種機構的POC、自由度、耦合度、運動耦合性等重要拓撲特征，為簡化其運動學建模與求解奠定了基礎。

(2)基于拓撲特征的運動學建模與求解方法，將拓撲特征作為運動學建模與求解的已知條件，簡化了求解過程，據此建立了兩種機構位置正解的求解模型，并求解了位置正解的解析解。

(3)基于導出的位置反解，分析了兩種機構的工作空間及可能存在的奇異位置，并由雅可比矩陣推導出兩種機構動平臺的速度、加速度變化規律。

(4)機構1、2具有相似的運動特性，但機構2在結構上制造、加工更容易，同時還會簡化運動學性能研究、動力學分析過程等，故選擇該機構作為優選機型。