經編機梳櫛電子橫移伺服的最優滑模控制

汪健東， 夏風林,2， 李亞林， 趙鈺寧

(1. 江南大學 教育部針織技術工程研究中心， 江蘇 無錫 214122；2. 生態紡織教育部重點實驗室(江南大學)， 江蘇 無錫 214122)

經編伺服系統允許梳櫛進行橫移運動的時間極為短暫，因此要求經編橫移伺服系統具有極高的動態響應和精確的高速定位[1]。目前對經編伺服控制系統的研究主要集中在比例積分微分(PID)控制，以及線性最優控制的研究上，其中，張琦等[2]分別建立伺服電動各部分控制模型，并整合成電子橫移系統整體結構的動力學模型。鄭靜等[3]分析了脈沖寬度調制功放和電流反饋與調節環節增大速度比例增益有利于提高電子橫移系統的動態響應性；聞霞等[4]基于伺服開環系統，設計了基于最優線性控制理論的控制器設計，提高系統的穩態精度和動態性能，實現了無靜差高精度控制。在針對目標參數不變且無外界因素干擾的情況下，上述系統均具有很好的動靜態性能[5]。但是，實際操作過程中，由于存在梳櫛上不易安裝末端執行機構監測裝置，以及梳櫛橫移時產生的振動影響光柵尺等信號反饋裝置的檢測精度等問題，均會對橫移系統性能產生影響[3]。所以，為解決橫移過程中存在的不穩定因素，通過在原有控制理論的基礎上引入滑模控制，以達到提升橫移系統的魯棒性。本文以線性最優控制設計為基礎，結合滑模控制方法，通過進行合理滑模面設計，消除外部不確定因素對系統的干擾，并由MatLab仿真驗證方法的有效性。

1 經編橫移伺服系統工作原理

經編橫移伺服系統主要分為直線伺服系統和交流伺服系統，目前交流伺服系統因其價格相對低廉，大多數經編機橫移伺服系統均采用交流伺服橫移系統。以交流伺服系統為例，該系統主要由上位機、控制卡、驅動裝置和信號檢測等部分組成[6]，其原理如圖1所示。

圖1 電子橫移系統工作原理Fig.1 Working principle of electronic transverse shift system

經由上位機輸入織物的花型信息，對數據處理后通過CAN(controller area network)總線與運動控制卡進行數據交換，將橫移信息存儲到控制卡。當織針進行橫移運動時，運動控制卡通過接收到的主軸光電編碼器的信號，向伺服驅動器按一定的頻率發送指令脈沖信號，由此決定橫移量和橫移速度。驅動器驅動伺服電動機實現橫移運動，橫移的當前位置由光電編碼器不斷進行測量，運動控制卡將檢測到的信號和命令信號進行對較獲得偏差數值[7]，并進行偏差補償，負載存在擾動時，伺服電動機轉速會產生較大的動態偏差，滑模控制器可以有效地控制干擾信號影響，實現梳櫛的精準橫移。

2 經編橫移交流伺服模型的建立

經編電子橫移伺服系統數學模型由電氣傳動機構和機械傳動機構組成[3]，其傳動原理是以控制電壓作為輸入，電機軸的角位移與角速度作為輸出，電機軸通過與之連接的聯機軸直接驅動滾珠絲杠進而推動梳櫛進行橫移運動。

2.1 電氣傳動機構模型

為有效地進行橫移運動，伺服電動機在轉動過程中以電壓為輸入，轉子速度為輸出，通過對電動機電磁轉矩進行控制，從而獲得滿足指令信號要求的電動機角位置、速度和加速度。交流伺服電動機的物理模型如圖2所示。

圖2 交流伺服電動機物理模型Fig.2 Physical model of AC servo motor

電動機在勻速運動過程中其動態方程為

(1)

式中：Jm為伺服電動機轉子轉動慣量；fm為伺服電動機等效黏性摩擦因數；θm為伺服電動機角位移；Ku、kw為正常數；Uc為控制電壓。

2.2 機械傳動機構模型

機械傳動機構主要由驅動電動機、同步傳動機構、滾珠絲杠、絲杠支承軸承和滑軌機構組成[6]。機械傳動以電動機的角位移作為輸入，梳櫛的直線位移為輸出，機械傳動機構如圖3所示。電動機通過同步傳動機構與滾珠絲杠相連，通過滾珠絲杠驅動梳櫛作直線運動[2]。

圖3 機械傳動模型Fig.3 Mechanical transmission model

根據剛體轉動規律，滾珠絲杠的動態平衡方程為

(2)

式中：ML為絲杠輸出轉矩；Mm為電動機電磁轉矩；Jn為機械部分在絲杠上的轉動慣量；ipt為絲杠螺母副的傳動比。

將式(1)、(2)結合，得到整個伺服系統的動態平衡方程為

(3)

式中，ω為未建模的動靜態干擾。

由式(3)得出以電壓Uc為輸入和以絲杠角位移θ為輸出量的運動方程：

(4)

將式(4)改寫為式(5)所示的伺服系統狀態空間表達式：

(5)

式中：x為系統狀態變量；y為系統的輸出變量；u為系統的輸入變量;d(t)為系統參數不確定部分在內的未建模動態等有界擾動。

3 最優滑模控制器設計

伺服要完成2次加減速的過程，這也就要求伺服系統需要加速及響應性能。電動機在帶動滾珠絲杠進行運動時進行高頻率的“運動—靜止—運動—靜止”過程中，要求各機械部件之間應具有很高的抱合度[1]。但是由于安裝和加工精度的問題，在安裝過程中各部件之間難免會存有縫隙，在經編機進行高速運動時會導致機械部件之間的運動不同步，最后導致梳櫛的運動規律不符合運行前設定的梳櫛運動規律曲線[8]。

圖4 滑模切換面Fig.4 Sliding mode switching surface

(6)

3.1 最優線性控制系統

基于式(6)可得出線性方程(7)。根據最優線性控制理論，設計u(t)使得性能指標J最小：

(7)

(8)

式中：tf為控制的終止時間；s為系統終止約束條件；Q和R為加權矩陣。

構造Hamilton函數，使得J值最小：

(9)

(10)

即最優控制信號為

u*=-R-1BTPx(t)=Kx(t)

(11)

式中：P為正定常數對稱陣，為Riccati方程的解；K為最優狀態反饋增益矩陣。

得出此時閉環系統的動態方程為

(12)

3.2 滑模控制積分滑模面的構造

基于式(6)采用積分滑模理論進行滑模面的構造，所構造的滑模方程如式(13)所示：

(13)

式中，C為正常數矩陣。

(14)

則其等效控制率為

(15)

將式(15)帶入式(6)，得出最優滑模控制方程：

(16)

根據最優控制理論，式(12)的解為線性閉環系統下的最優軌線。最優滑動模控制式(16)與最優線性閉環式(12)形式相同, 即上述構造的最優積分滑模面式(13)可產生與線性閉環系統式(12)一樣的最優運動軌線。

3.3 最優滑模控制律設計

最優滑模控制律設計見下式：

(17)

則：

(18)

依據滑模控制的實現要求，式(18)函數滿足設計的要求，所以設計出的最優滑模控制律滿足實現條件，即系統的軌線在最優滑模控制律的作用下能在有限的時間運動到滑模切面并保持在上面。

4 系統仿真

為驗證最優滑模控制的有效性，在MatLab軟件進行系統的仿真。伺服電動機型號為TBL-iⅡ，其電動機參數如表1所示，表2示出機械傳動機構參數。

表1 TBL-iⅡ型伺服電動機主要性能參數Tab.1 Main performance parameters of TBL-iⅡ type servo motor

表2 機械傳動機構參數Tab.2 Mechanical transmission mechanism parameters

根據表1、2的參數可得，A=[0 1;0 -8]，B=[0;15]。在MatLab中通過調用lqr()函數可求得K=[1.000 0.657 4]。橫移過程中梳櫛以一定的速度完成整個橫移運動，以避免在橫移始末產生過大的加速度，造成沖擊。因此，梳櫛的運動曲線應選擇速度、加速度和躍度都相對平滑的曲線，從而使得梳櫛的運動柔和，沖擊力減小[8]。在MatLab中采用正弦曲線r=0.5sin(2πt)為輸出，正弦曲線E=0.1sin(2πt)為干擾信號。分別對最優線性模型以及最優滑模控制模型進行仿真。其結果如圖5所示。

通過圖5(a)可知，在無干擾的情況下，最優線性系統與最優滑模控制系統二者的位置響應曲線基本重合，驗證了所設計的最優滑模控制系統具有與最優線性控制系統一樣良好的動靜態性能。通過圖5(b)和(c)可以看出，在外加干擾的情況下最優線性控制系統位置曲線上方出現明顯的波動且持續進行，將影響原有系統的穩定性；而最優滑模控制系統在干擾出現波動后，極短的時間內趨向于穩定狀態，使得整個響應曲線按照原有的位置響應曲線繼續進行下去。

圖5 2種系統仿真結果Fig.5 Simulation results of two systems. (a) Position response curve of two systems without interference; (b) Position response curve of optimal linear control system when interference is added; (c) Position response curve of optimal sliding mode control system when interference is added

圖6 系統的單位階躍響應曲線Fig.6 Unit step response curve of system

將系統仿真時間設置為1 s，在t為0處，突加一幅值為1的信號到系統上，其系統單位階躍響應曲線如圖6所示。可以看出最優滑模控制系統與參考系統相比，具有快速響應性能。系統在3.5 ms左右振幅達到最大，之后振蕩漸漸收斂，在12 ms左右振幅趨近1，說明此時系統完成調整，達到穩定。因此，通過仿真振蕩到逐漸收斂進而快速趨向于穩定，驗證了所設計系統的準確性與穩定性。

綜上所述，最優滑模控制具有最優線性控制的快速響應性能，良好的跟隨性，以及滑模控制的抗干擾性能。在經編橫移伺服系統中引入最優滑模控制方法，能有效地提高系統的穩定性，對梳櫛橫移時產生的振動影響反饋裝置的檢測精度等干擾因素，具有很好的抑制作用。

5 結束語

通過分析經編機橫移運動原理，建立經編機橫移伺服數學模型，設計出基于最優線性控制和滑模控制原理為基礎的最優滑模控制系統。經MatLab仿真驗證結果表明，最優滑模控制既具有最優線性控制的快速響應性能，良好的跟隨性，同時也具有滑模控制的抗干擾性能。經編橫移伺服系統中使用最優滑模控制方法，能有效地對經編機橫移過程中產生的干擾因素進行控制，提升伺服系統的穩定性。

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