非自治具有食餌感染的捕食食餌競爭系統周期解的存在性和穩定性

李 超，江璐瓊

（武夷學院 數學與計算機學院， 福建 武夷山 354300）

二十世紀初，隨著著名的Lotka-Voterra模型[1-2]的提出，就掀起了對各類捕食-食餌模型的研究浪潮。傳染病模型是流行病學研究中重要的研究課題之一。20世紀20年代，Kermack與McKendrick[3]對流行病的獨創性工作，緊隨其后不少學者對流行病模型進行研究。近些年來，捕食-食餌模型和傳染病模型的研究都得到了突飛猛進的發展。直到上個世紀末，將兩個領域結合起來研究才開始出現。此后越來越多研究者致力于將兩者結合進行研究，于是出現了生態流行病學這種新的模型。

1980年代，Anderson等[4]和Hadeler等[5]較早將種群生態學與流行病動力學相結合。從此，該領域的研究者們開始對不同的條件因素下的有疾病傳播的捕食模型進行了深入的研究。在之后的十幾年里，Venturino[6]，Chattopadhyay等[7]以及Xiao等[8]分別對疾病在食餌和捕食者之間傳播的模型，并取得一些新的成果。在本世紀初，張江山等[9]和楊亞莉等[10]通過研究捕食系統中捕食者有疾病的生態流行病模型，找到了平衡點并給出平衡點漸近穩定的條件。近幾年，也不乏在對具有疾病感染的捕食系統的研究。章培軍等[11]應用微分方程分支理論，研究了食餌具有傳染病和兩時滯的捕食模型的穩定性和Hopf分支問題。王曉慶等[12]討論疾病在食餌中傳播的捕食食餌模型，推導出該模型正平衡點的局部漸近穩定性，并討論了引入時滯后正平衡點的穩定性。劉爍等[13]對具有垂直傳播的SI捕食傳染病模型進行研究，給出了關于平衡點全局漸近穩定的充要條件。王麗莎等[14]針對食餌感染疾病的Lotka-Voterra捕食-被捕食模型的平衡點及穩定、中心流形上的周期解進行研究，并給出了傳染病流行的閾值。將捕食系統與流行病相結合起來研究，一直受到眾多學者的關注，其中相當一部分學者也取得豐碩的研究成果。他們的研究成果大部分偏向于系統的有界性、平衡點、漸近穩定和Hopf分支等方面，而對于系統持久性、周期解的存在性與穩定性等方面的研究較少。在文章[6-17]啟發下，在2019年我們就討論了一類非自治具有食餌感染的捕食食餌競爭系統的持久性，并證明了該系統具有持久性。本文將進一步研究這一類非自治具有食餌感染的捕食食餌競爭系統，深入研究其周期解的存在性和穩定性。

1 非自治具有食餌感染的捕食食餌競爭系統模型

1.1 模型簡介

《非自治具有食餌感染的捕食食餌競爭系統的持久性研究》[18]中，根據Kant等[19]人的對食餌感染疾病的捕食-被捕食者模型：

加入染病食餌內部競爭，捕食者內部競爭等條件后，將系統(1)改進得到非自治捕食食餌模型如下：

其中：S（t）為易感染食餌在時間t時的總數；I（t）為染病食餌在時間t時的總數；Y（t）為捕食者在時間t時的總數。其他參數的具體含義見表1。

表1 參數的含義Tab.1 The meaning of parameters

其中：r（t），K（t），p1（t），p2（t），β（t），c（t），d1（t），d2（t），k1（t），k2（t），e1（t），e2（t）是關于時間t的連續且嚴格大于零的函數，均有上界和下界。并定義一下符號：

g（t）是在[0,+∞）上連續有界函數。在我們之前的文章中已經證明了，系統(2)具有持久性。接下來我們證明系統(2)周期解的存在性及穩定性，并通過實例驗證其周期解的存在性及穩定性。

2 周期解的存在性及穩定性

2.1 周期解的存在性

2.2 周期解的穩定性

3 數值模擬

3.1 周期解數值模擬

將系統(2)中的所有參數取成周期函數，得到下面這個非自治具有食餌感染的捕食食餌競爭系統：

圖1 初值為（S（0），I（0），Y（0））=（1，1，1）Fig.1 Initial value is（S（0），I（0），Y（0））=（1，1，1）

經過計算驗證，以上全部參數滿足定理2.3.1的（B4）和（B5）不等式。那么由定理2.3.1可知系統(2)至少存在一個正周期解。通過運用Matlab軟件進行數值模擬，得到圖1模擬結果，根據圖像顯示，可以看出系統存在至少一個正周期解，從而驗證了定理2.3.1是正確的。

3.2 穩定性數值模擬

同樣，對系統(2)，取r=10，K=40，β=0.3，p1=0.65，p2=0.1，c=0.1，d1=0.02，d2=0.15，e1=0.0012，e2=0.001，k1=0.012，k2=0.95。得到以下模型：

圖2 初值為（S（1），I（1），Y（1））=（10，10，10）Fig.2 Initial value is（S（1），I（1），Y（1））=（10，10，10）

經過計算驗證，系統中所有參數均是滿足定理2.1.1的同時還滿足定理2.2.1。由此可知系統(2)是存在至少一個周期解，并且這個解是全局漸近穩定的。圖2為通過Matlab數值模擬的結果，從圖中也可以看出系統存在全局漸近穩定的正周期解，從而驗證了定理2.1.1和定理2.2.1的正確性。

4 小結

利用重合度理論、構造V函數等方法討論了非自治具有染病食餌的捕食-食餌系統。運用重合度理論中的Mawhind定理，證明了非自治具有染病食餌的捕食-食餌系統存在正周期解。通過構造V函數說明該系統周期解是全局漸近穩定的。并通過舉例數值模擬，對所得結論的作出進一步驗證。