大行程快速反射鏡的結構設計及帶寬特性

陳國真，徐斯強，劉品寬，丁 漢

(上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

1 引 言

快速反射鏡(Fast Steering Mirror, FSM)是用于光源和目標之間用以改變光束指向的裝置，廣泛應用于成像系統、激光武器和空間光通信領域[1-4]。目前，基于柔性機構的FSM得到了廣泛的研究，因為相比于剛性結構，柔性機構具有無摩擦、無裝配間隙、運動精度高等優點[5]。

FSM一般由音圈電機和壓電陶瓷驅動[6-11]。相比于壓電陶瓷，音圈電機可以實現毫米級的運動行程，基于音圈電機驅動的FSM可以實現更大的偏轉角度。然而，傳統機構中的音圈電機的動子會隨著FSM的運動而發生相應的偏轉，動子末端會有較大的橫向位移。由于音圈電機的氣隙較小(氣隙和輸出力成反比)，當FSM行程較大時，動子末端會和定子碰撞[12]。因此，基于音圈電機驅動的FSM為了實現大行程運動，必須消除動子的橫向位移。

對于運動控制系統，機構的共振模態會降低閉環系統的穩定裕度，從而限制了高增益反饋控制器的使用，因而影響了系統帶寬的提高[13]。陷波濾波器是消除系統共振模態的有效方式，根據共振模態的頻率和阻尼比即可設計相應的陷波濾波器[13-16]。為了補償模型誤差并提高抗干擾能力，采用比例積分(PI)控制器來實現閉環控制[16]。然而，當柔性機構的運動行程較大時，力-位移關系呈現出明顯的非線性[17-18]。機構的剛度隨運動位置的增加而增大，從而導致共振頻率相應的增大。若采用常值陷波濾波器，即共振頻率為常數，系統在不同位置處的帶寬性能會有較大差異。因此，對于大行程運動的FSM，采用常值陷波濾波器已不能有效地消除隨位置而變化的共振模態的影響。

本文設計了基于音圈電機驅動的新型FSM來實現大行程運動，采用柔性解耦機構來消除電機動子的橫向位移。采用變值陷波濾波器來消除隨位置而變化的共振模態的影響，即將共振頻率表示為FSM運動位置的函數，并配合PI控制器實現閉環控制。通過仿真分析和實驗比較了采用常值和變值陷波濾波器時系統的帶寬性能，驗證了在運動行程較大的FSM系統中設計變值陷波濾波器的必要性和有效性。

2 結構設計

圖1 快速反射鏡的機械結構

FSM的結構設計如圖1所示。FSM由反射鏡、4個音圈電機、基座和柔性解耦機構組成。反射鏡為橢圓，尺寸為Φ100×Φ70.7×15 mm(長徑×短徑×厚度)。柔性解耦機構由平動板、解耦板和轉動板組成，如圖2所示。FSM由4個音圈電機驅動，每兩個電機為一對(一個往上推，一個往下拉)驅動FSM來實現繞x(y)軸的轉動。當4個音圈電機同時往上推或往下拉時，FSM即可實現沿z軸的平動。平行四桿機構由4個平動板組成，實現沿z軸的平動，同時約束其它自由度的運動。電機沿z軸的豎直運動通過轉動板轉化為FSM的旋轉運動。解耦板可以實現繞x(y)軸的轉動，電機動子的橫向位移可轉化為解耦板的轉動。因此，通過柔性解耦機構可以消除電機動子的橫向位移來實現FSM的大行程運動。

3 實驗系統搭建

FSM的柔性機構通過電火花線切割技術進行加工，其結構參數如表1所示。為便于設計和加工，解耦板和轉動板的結構參數相同。利用線性驅動器(LA-210s-02-RA,VREDAN,Inc.)驅動音圈電機(LVCA-038-038-01, MOTICONT, Inc.)來實現電機沿豎直方向的運動，音圈電機的性能參數如表2所示。采用光柵尺(CE300-40,MicroE,Inc.)來測量FSM的輸出位移。光柵尺的分辨率為1 μm。將dSPACE-DS1103作為控制器來實現FSM系統的運動控制。實驗平臺系統如圖3所示。

圖2 快速反射鏡的柔性機構

圖3 基于音圈電機驅動的快速反射鏡實驗平臺搭建

表1 柔性機構的結構參數

Tab.1 Structural parameters of compliant mechanism

(mm)

表1中，L1，L2，b1，b2和t1，t2分別表示平動板和轉動板(解耦板)的長度、寬度和厚度。

表2 音圈電機的性能參數

4 控制器設計

FSMθx和θy軸的控制器設計原理一樣，因此，本節以θx軸為例進行闡述。首先，通過實驗測試得到FSM在旋轉運動時的力-位移關系。然后，針對FSM的旋轉運動進行動力學建模，得到其開環傳遞函數。最后，計算得到FSM的共振模態與旋轉角度的關系，并據此設計相應的變值陷波濾波器。

4.1 力-位移非線性特性

圖4 θx軸力-位移關系

當柔性機構實現大行程運動時，其力-位移關系呈現出非線性特性。一般來說，隨著位移的增大，柔性機構的剛度逐漸變大，從而導致系統的動力學模型發生變化。因此，要實現對大行程FSM的控制，必須得到其力-位移的非線性關系。經實驗測試，FSMθx軸的力-位移關系如圖4所示。力和位移的關系可表示為：

Mx=2.73×103θx3-0.82θx2+33.91θx-2.13×10-3，

(1)

對式(1)求導，即可得到旋轉剛度和位移的關系，如下所示：

Kx=8.19×103θx2-1.64θx+33.91.

(2)

綜上所述，FSM在大行程運動時，力-位移關系呈現明顯的非線性，其旋轉剛度隨位移的增加而增大。

4.2 動力學建模

FSM的動力學方程可表示為：

2rkii(s)-Kθ(s)=s2Jθ(s),

(3)

其中：r和K分別表示FSM的旋轉半徑和旋轉剛度；ki和i分別表示音圈電機的力常數和電機電流；J和θ分別表示FSM的轉動慣量和轉動角度。

J=2r2(m1+m2)+J1,

(4)

其中：m1和m2分別表示音圈電機動子和連接塊的質量；J1為FSM的轉動慣量。

根據基爾霍夫定律，可以推導出音圈電機的電學模型得到：

U(s)=(R+Ls)i(s)+kirθ(s)s,

(5)

其中：U表示音圈電機兩端的電壓；R和L分別表示音圈電機的電阻和電感。

控制信號u經dSPACE放大十倍后即為驅動器的輸入信號，同時將Varedan驅動器近似為電流放大環節，即可得到dSPACE控制指令u和音圈電機兩端電壓U之間的關系：

(6)

根據式(3)～式(6)，FSM的傳遞函數可表示為：

(7)

其中：

4.3 變值陷波濾波器設計

FSM的開環傳遞函數為三階系統，包括一個二階阻尼震蕩環節和一個一階慣性環節。二階阻尼震蕩環節的共振會導致系統穩定裕度的降低，從而限制了高增益反饋控制器的應用。因此，陷波濾波器被廣泛地用來消除系統共振模態的影響。

陷波濾波器可表示為：

(8)

其中ξ和w0分別表示系統的阻尼比和共振頻率。

陷波濾波器是一種特殊的帶阻濾波器，將帶阻濾波器的阻帶改成一個頻率點即為陷波濾波器。常值陷波濾波器只在目標頻率處具有幅值衰減的作用，在其他頻率點處基本沒有影響。然而，根據4.1和4.2節可知，本文設計的FSM的共振模態隨運動位置的變化而變化。由式(7)可得到FSM的共振頻率與旋轉角度的關系：

ωx=3.60×104θx2-7.06θx+339.17.

(9)

因此，必須采用變值陷波濾波器來消除系統隨運動位置的變化而改變的共振模態的影響，即將式(8)中的固定值w0替換為式(9)所示的wx。

在零點位置處，根據開環傳遞函數得到的阻尼比為0.108 4。相比于共振頻率的變化，阻尼比的變化對閉環帶寬的影響可忽略不計。因此，在不同位置處將阻尼比近似為常值0.108 4。

綜上所述，變值陷波濾波器可表示為位置的函數，即有：

(10)

采用PI控制器來實現整個系統的閉環控制。PI控制器可表示為：

(11)

5 仿真分析

采用Matlab軟件分別對常值和變值陷波濾波器進行仿真分析，從而驗證變值陷波濾波器的必要性和有效性。

根據式(10)，常值陷波濾波器可表示為 ：

(12)

PI控制器可表示為：

(13)

將式(12)所示的濾波器作為常值陷波濾波器來消除共振模態的影響，分別得到系統在零點和25 mrad處的頻率響應，如圖 5所示。

圖5 采用常值陷波濾波器時θx軸在不同位置處的帶寬

采用常值陷波濾波器時，系統在零點處的帶寬為95.1 Hz；當系統運動到25 mrad時，系統的頻率響應在共振頻率處有一個明顯的衰減，為-4.24 dB。因此，系統在25 mrad處的帶寬大幅度降低，為47.0 Hz。

采用式(10)所示的變值陷波濾波器來消除共振模態的影響，分別得到系統在零點和25 mrad處的頻率響應，如圖6所示。采用變值陷波濾波器，系統運動到25 mrad時，它在共振頻率處的頻率響應并沒有明顯的衰減，系統帶寬為91.2 Hz。

綜上所述，FSM沿θx軸運動時，變值陷波濾波器可以消除共振模態的影響。

圖6 采用變值陷波濾波器時θx軸在不同位置處的帶寬

6 實 驗

當采用常值和變值陷波濾波器作為FSM系統的控制策略時，這里分別測試了系統在不同位置處的閉環帶寬性能，并通過對比實驗驗證了變值陷波濾波器的必要性和有效性。

6.1 常值陷波濾波器

在dSPACE中輸入掃頻信號，通過辨識得到θx軸的開環傳遞函數，擬合和實驗得到開環傳遞函數的頻率響應結果，如圖 7所示。

圖7 θx軸開環辨識

辨識結果可表示為：

(14)

由式(14)可知，θx軸的共振頻率和阻尼比分別為：

ωx=336.15 rad/s,ξ=0.077 47.

(15)

根據式(8)設計相應的常值陷波濾波器得到：

(16)

PI控制器可表示為：

(17)

采用式(16)設計的常值陷波濾波器和式(17)設計的PI控制器對FSM進行閉環控制，測試了θx軸在不同位置處的帶寬性能，如圖8所示。同理可得到θy軸在不同位置處的帶寬性能，如圖 9所示。

根據實驗結果可知，隨著運動位置的增大，FSM在共振頻率附近點處的頻率響應出現明顯的衰減。在零點處，θx和θy軸在共振頻率附近點處頻率響應的最小值分別為-0.56 dB和-0.69 dB，但隨著位置的增大，其值一直減小。當系統運動到21.2 mrad時，θx和θy軸頻率響應的最小值分別約為-3.93 dB和-4.45 dB。

系統在共振頻率附近點處頻率響應的最小值的變化直接影響了其帶寬性能。如表 3所示，當系統的運動位置小于15.2 mrad時，θx和θy軸的帶寬分別為95 Hz和110 Hz左右。當系統運動到18.2 mrad時，系統沿θx和θy軸運動的帶寬分別驟降為47.92 Hz和57.1 Hz。

綜上所述，當采用常值陷波濾波器時，系統在不同位置處的帶寬性能會有巨大的差異，因而無法保證FSM系統在大行程運動時的帶寬性能。其原因在于：當FSM系統的運動位置增大時，其剛度增大，從而導致共振頻率隨之變大。此時，常值陷波濾波器已無法很好地消除共振模態的影響。

表3 采用常值陷波濾波器時不同位置處FSM的帶寬

Tab.3 Bandwidth of FSM at different positions using fixed notch filter

位置/mradθx軸帶寬/Hzθy軸帶寬/Hz0112.698.0615.2108.994.0318.257.147.9221.252.244.52

圖8 采用常值陷波濾波器時θx軸在不同位置處的帶寬

圖9 采用常值陷波濾波器時θy軸在不同位置處的帶寬

6.2 變值陷波濾波器

在不同位置處，對FSM系統進行辨識，得到其共振頻率與運動位置的關系為：

ωx=13.85x2-2.82x+337.67.

(18)

對于變值陷波濾波器，由于其共振頻率隨著運動位置的變化而變化，在Simulink中直接采用“Transfer Fun”將它寫為傳遞函數的方式無法實現。在本文中，變值陷波濾波器的實現方法如圖 10所示。

首先將式(8)所示的陷波濾波器的傳遞函數改寫為狀態變量，即為：

(19)

其中：x1，x2代表狀態變量，y和u分別代表輸出和輸入。

然后，在Simulink中調用“S-Function Builder”，根據式(18)和式(19)，模塊“Outputs”中的程序可表示為：

“double w;

w=13.85*pow(u2[0],2)-2.82*u2[0]+337.67;

y0[0]=(2*0.07747*w-2*w)*xC[1]+u1[0];”

模塊“Continuous Derivatives”中的程序可表示為：

“doublew;

w=13.85*pow(u2[0],2)-2.82*u2[0]+337.67;

dx[0]=xC[1];

dx[1]=-pow(w,2)*xC[0]-2*w*xC[1]+u1[0]?！?/p>

圖10 變值陷波濾波器Simulink 軟件程序

圖11 采用變值陷波濾波器時θx軸在不同位置處的帶寬

通過實驗測試了θx軸采用變值陷波濾波器時FSM在不同位置處的帶寬性能，如圖 11所示。同理可得到θy軸在不同位置處的帶寬性能，如圖 12所示。

圖12 采用變值陷波濾波器時θy軸在不同位置處的帶寬

根據實驗結果可知，隨著運動位置的增大，FSM系統在共振頻率點附近處的頻率響應基本平穩，并未出現明顯的衰減。如表4所示，系統沿θx和θy軸運動時的閉環帶寬基本穩定在95 Hz和110 Hz。

表4 采用變值陷波濾波器時不同位置處FSM的帶寬

Tab.4 Bandwidth of FSM at different positions using variable notch filter

位置/mradθx軸帶寬/Hzθy軸帶寬/Hz0112.695.2115.2111.898.3718.2109.897.6621.2107.494.93

通過對FSM平臺輸入階梯信號來測試其最小分辨率，如圖13所示，FSM平臺的最小分辨率為±0.03 mrad。

綜上所述，采用變值濾波器可以有效地消除FSM系統隨位置變化而改變的共振模態的影響，使系統的帶寬性能在各個位置保持穩定。通過實驗驗證了變值濾波器的有效性和必要性。

7 結 論

本文針對基于音圈電機驅動的FSM在大行程運動時電機動子和定子發生碰撞的問題，設計了新型的FSM柔性機構來消除電機動子的橫向位移。針對FSM在大行程運動時的共振頻率會隨運動位置的變化而改變的問題，設計了變值陷波濾波器來保證系統在不同位置處的帶寬性能保持一致。設計的變值陷波濾波器的共振頻率為FSM運動位置的函數，并結合PI控制器實現閉環控制。實驗結果表明：采用常值陷波濾波器時，系統在不同位置處的帶寬差異較大；當系統的運動位置小于15.2 mrad時，FSM沿θx和θy軸的帶寬分別為95 Hz和110 Hz左右；當系統運動到18.2 mrad時，θx和θy軸的帶寬分別驟降為47.92 Hz和57.1 Hz。采用變值陷波濾波器時，快反鏡沿θx和θy軸在不同位置處的帶寬基本穩定在95 Hz和110 Hz，驗證了變值陷波濾波器的有效性。