突破難點的數學學習

龔筱琴

數學的學習就是在經歷困難、解決困難的過程中獲得新知。教師在這個過程中的作用就在于引導學生經歷解決困難的過程，幫助學生突破難點，獲得清晰的認知。筆者以北師大版四年級上冊“角的度量”為例，分別用“遷移”“變序”“類比”“變式”等方法突破度量角教學中的難點。

一、巧用遷移，突破度量方法的難點

【片段1】

師：同學們，今天我們來學習測量角的大小。想想我們以前測量過什么？

生：長度、面積。

師：長度是怎么測量的？

生：用尺子。0刻度線對準線段的一端，另一端指向刻度幾，就是幾厘米。

師：若尺子上沒有0刻度線，你還能測出這條線段的長度嗎？

生：可以對準任何一個刻度，數一數經過了幾厘米就是幾厘米。（見圖1）

師：原來不從0刻度線開始也能測出長度。

設計意圖：借助二年級“認識厘米”時斷尺測量的方法，復習長度的測量不一定都從0刻度線開始測量，還能通過數一數的方法得到。打破學生固化思維，勾起學生的回憶，巧用斷尺測量長度方法，遷移至非0刻度線開始也能測量角的大小，為后續學習“角的度量”埋下伏筆，做好鋪墊。

二、變序教學，改變度量認知的順序

【片段2】

師：經過剛剛的復習，發現測量長度可以不從0刻度線開始，還能通過數一數的方法得知一共有多長。那么在量角器上，如果不從0刻度線開始，你能找到相應度數的角嗎？ 比如，1度角有哪些？

生：1～2度中間，2～3度中間，5～6度中間……

師：你能總結一下哪些角都是1度角嗎？

生：兩個刻度之間隔了1度就是1度角。

師：你能用同樣的方法找找10度、15度或者其他度數的角嗎？

生： 這些都是10度（見圖2）。

設計意圖：改變從0刻度線開始測量，再認讀刻度的教學順序，引導學生們先學會在量角器上找相同度數的不同角。打破學生原有的認知順序，通過找角，幫助學生熟悉和回顧角的度量實際上是單位量的累積這一本質屬性。

【片段3】

師：有一個角，明明沒有任何一條角的邊指向10度，為什么也是10度？

生：中間相隔10度，這個角就是10度。

師：你發現了什么？

生：中間相隔30度就是30度。

生：中間相隔115度，就是115度這樣大的角。

生：只要看中間間隔幾度就是幾度。

師：同學們，經過找角度的過程，你發現角的大小是指什么？

生：就是角張口的大小。

設計意圖：通過追問，引導學生進一步理解角的大小是指角張口的大小，使學生明白度量角的大小就是指度量角的張口有多大，而并非指角的其中一條邊指向哪個刻度。使原來角的一條邊必須對準0刻度線，變成了角的一條邊對準任何一條刻度線都能測量出角的大小。變序教學，打破學生固有的認知順序。

三、類比溝通，比較度量本質的異同

【片段4】

師：同學們，從非0刻度線開始找角與斷尺測量長度有什么相同的地方？

生：都可以不從0刻度線開始測量。

師：不從0刻度線開始測量，怎么得到有多長，是多少度呢？

生：可以1度1度、1厘米1厘米地數出來。

生：還可以大刻度減去小刻度。

師：那為什么從0刻度線開始測量時，就不用數或者不用減了呢？

生：因為0刻度線開始測量，數到幾就剛好是終點的那個刻度。

生：任何一個數減去0還是它自己本身，所以從0刻度開始測量，直接讀出另一個刻度就可以了。

師：現在能否說說測量角度和測量長度的過程都有哪些相同的地方？

生：都是數一共有多少的過程。

師：像這樣一個個單位量累積起來一共有多少就是多少的測量，你們還在哪里學到過？

生：面積。用1平方厘米的小正方形鋪，鋪多少個就是多少平方厘米。

師：是的，這個過程在數學上就是一個個單位量累積的過程。

設計意圖：通過對比長度測量和角度測量之間的相同點，引導學生總結出測量實際上就是單位量累積的過程，一共有幾個單位量就是線段有多長、角度有多大。因為測量就是為了實際應用的方便，才統一了單位，并在基于統一單位的基礎上，累積多少單位量就是多大，長度是如此，面積如此，角度也是如此，以后學習的體積、容積也是一樣。通過類比，幫助學生建立不同屬性內容測量之間的聯系，將測量的知識串成一個知識鏈，幫助學生理解測量的本質。

四、變式練習，提升實踐應用的能力

【片段5】

師：下面的角其中一條邊被量角器遮住了（見圖3），你認為這個角可能是幾度？

生：可能是110度，也可能是40度。

師：還有其他可能嗎？

生：也可能是20度。

師：如果是20度，另一條邊在哪里？

生：可能在30度的那條刻度線上。也可能在50度的那條刻度線上。

師：還有可能是幾度呢？

生：應該有很多種可能。

師：那這個角的大小范圍是多少？

生：應該在0～110之間。

設計意圖：根據一條邊來判斷角的大小，逆向思維，引導學生再次回顧度量角的大小的本質。并根據尋找角的范圍，突破內外圈的難點。

測量使物體的屬性具有了量化的特征，有助于學生更深刻地理解物體可測量的屬性。縱觀整堂課的設計，教師從學生的難點—不清楚讀“內圈”還是“外圈”出發，以解決“幾個單位量”為主干問題，拋開固有思維“讀刻度”，從找不同的1度角、10度角幫助學生理解“找到張口的大小就找到了角的大小”，突破學習難點。

首先，讓學生回顧斷尺的測量方法，遷移至非0刻度線開始也能測量出角的大小。其次，變序教學，讓學生先找角，再量角，能找到指定大小的角，那么測量角肯定也沒有問題了。再次，利用類比，尋找長度、面積和角度之間測量方法的相同點，理解度量的本質就是量的累積。最后，再進行變式練習，通過一條邊，確定角的大小范圍，真正突破學習難點。

四大板塊，層層遞進，每個板塊的學習都圍繞突破難點依次展開，螺旋上升，既學習新知，又聯系舊知，不斷完善。整個過程，教師以幫助學生解決困難為主要目的，使之真正理解知識的本質。

（作者單位：浙江省義烏市藝術學校）

責任編輯：肖佳曉

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