融數(shù)學(xué)史于中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的思考

胡鑫鑫

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什，844008)

1972年，在第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系國際研究小組(International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM)，標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系成為一個(gè)學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域與課題。[1]這為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)邁入新的領(lǐng)域奠定了基礎(chǔ)。2003 年，教育部制定的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出，“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動(dòng)社會發(fā)展的作用……尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動(dòng)力的認(rèn)識”[2]。之后，高中數(shù)學(xué)設(shè)置了“數(shù)學(xué)史選講”等專題，這為數(shù)學(xué)史進(jìn)入課堂教學(xué)提供了有利契機(jī)。

近年來，隨著新課改的深入開展，很多教師已在課堂教學(xué)中滲入數(shù)學(xué)史知識，但教學(xué)大多只是停留在以附加的方式講授數(shù)學(xué)故事，刪減后對課堂效果毫無影響。在這樣的背景下，如何將數(shù)學(xué)史融于課堂教學(xué)以提高教學(xué)效果顯得尤為重要。

一、數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值

(一)重現(xiàn)數(shù)學(xué)家的精神，激勵(lì)學(xué)生不斷進(jìn)取

米勒曾說過：“揭示歷史上著名數(shù)學(xué)家的失敗，比介紹他們的成功更能讓數(shù)學(xué)教師獲益。”[3]正如米勒所講，失敗可以讓教師和學(xué)生明白，任何一個(gè)定理、公式的取得并不是一蹴而就的，而是在前人失敗的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。要想充分利用好這類內(nèi)容的教育價(jià)值，教師可以在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史料。數(shù)學(xué)史料的價(jià)值一方面體現(xiàn)在以閱讀材料的形式附加在課本中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家的偉大成就；另一方面體現(xiàn)在讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家探索過程的艱辛以及遭遇失敗后永不放棄的品質(zhì)。數(shù)學(xué)家也會遭遇困境，但他們在遇到問題時(shí)首先想到的不是退縮而是解決問題，這會激勵(lì)學(xué)生勇于面對問題、想辦法解決問題。由此可以看出，失敗之中也蘊(yùn)含著潛在的教育價(jià)值，它可以鼓勵(lì)學(xué)生不斷進(jìn)取。

(二)創(chuàng)設(shè)新穎情境，激發(fā)學(xué)生好奇心

課堂情境的創(chuàng)設(shè)會對一節(jié)課的教學(xué)質(zhì)量產(chǎn)生重要影響。新穎的情境問題不僅能使學(xué)生將專注力集中于課堂，還能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力。教學(xué)眾數(shù)時(shí)，教師如果直接給出眾數(shù)的概念，會顯得很突兀。教師可以以數(shù)學(xué)史小故事“唯一機(jī)會”為引子，創(chuàng)設(shè)新穎情境，激起學(xué)生的好奇心。

伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭中，雅典的軍事同盟普拉提亞戰(zhàn)敗，伯羅奔尼撒人便在城外筑起高墻，想要將敵人困死在城內(nèi)。不久后，城中食糧短缺，普拉提亞人打算做梯子翻過敵人的圍墻。梯子的高度要和圍墻一樣高才可能翻過圍墻，普拉提亞人準(zhǔn)備通過數(shù)圍墻磚塊的層數(shù)來計(jì)算圍墻高度。同一時(shí)間內(nèi)，很多人數(shù)了城墻上磚塊的層數(shù)，結(jié)果卻不同。問：如何確定磚塊層數(shù)？在這個(gè)問題中，選擇眾數(shù)是普拉提亞人逃生的唯一機(jī)會。[4]

了解這則故事后，學(xué)生會驚嘆于數(shù)學(xué)應(yīng)用之廣泛，體會到數(shù)學(xué)不是課本上一個(gè)個(gè)冰冷的定理和公式，而是存在于生活各處。這節(jié)課中，教師通過趣味故事將生活情境與數(shù)學(xué)問題緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)學(xué)生積極尋求解決問題的方法。

(三)查明文化起源，預(yù)測認(rèn)知困難

數(shù)學(xué)家克萊因指出：“歷史上的大數(shù)學(xué)家遇到的困難，恰好是學(xué)生(在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中) 經(jīng)歷的障礙。另外，學(xué)生克服這些困難的方式與數(shù)學(xué)家用過的方式是大致相同的?！盵5]由此可見，學(xué)生學(xué)習(xí)新知識所面臨的困惑也可能是歷史上的數(shù)學(xué)家曾面臨的問題?；诖耍處熆梢酝ㄟ^數(shù)學(xué)史再現(xiàn)歷史上數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，了解數(shù)學(xué)家在創(chuàng)造知識過程中所遇到的困惑，促使學(xué)生更好地把握教材的重點(diǎn)難點(diǎn)，進(jìn)而提高課堂效率。

例如，幾乎每個(gè)學(xué)生都知道“一個(gè)非零數(shù)除以零”是沒有意義的，但古代數(shù)學(xué)家對零的運(yùn)算卻產(chǎn)生了很大的困惑。數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在其著作《婆羅門修正體系》中討論了負(fù)數(shù)和零的法則，其中有0÷0=0；數(shù)學(xué)家摩訶毗羅在《計(jì)算及方法綱要》中給出了a÷0=a的運(yùn)算法則；數(shù)學(xué)家釋律帕提給出了a÷0=0(a≠0)的法則；婆什伽羅在《莉拉沃蒂》中提出了八個(gè)與零有關(guān)的法則，其中有(a×0)÷0=a(a≠0)。即便在近代，人們對“除以零”的運(yùn)算仍有困惑。[4]看起來如此簡單的知識點(diǎn)原來是許多數(shù)學(xué)家的困惑，只有當(dāng)教師了解到這一數(shù)學(xué)史料后，在講解這部分知識時(shí)才會想到學(xué)生可能也有同樣的疑惑。因此，課堂上教師不能只是單一地傳授“一個(gè)非零數(shù)除以零是沒有意義的”，而要重點(diǎn)講解其內(nèi)在原因，從根本上消除學(xué)生的疑慮，以防止學(xué)生計(jì)算時(shí)出現(xiàn)更大的錯(cuò)誤。

歷史就像一面鏡子，讓后人可以了解前人在探索過程中遭遇的問題。以史為鑒，教師了解歷史便可以更好地了解學(xué)生的認(rèn)知，在教學(xué)過程中適時(shí)性地增加相關(guān)史料的講授以減少學(xué)生學(xué)習(xí)上的困惑。

二、數(shù)學(xué)史融于課堂教學(xué)的方式

融數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，若只是陳述歷史事件，就難以發(fā)揮其真正價(jià)值。教師可以重構(gòu)數(shù)學(xué)史知識，運(yùn)用數(shù)學(xué)史講解知識的歷史淵源。這樣，學(xué)生對課堂知識的理解會更加深刻。反過來，通過課堂知識詮釋數(shù)學(xué)史，也會使數(shù)學(xué)史發(fā)揮更大的教育價(jià)值。

(一)情境引入，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念

運(yùn)用數(shù)學(xué)史引入新課，可以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增添樂趣，有益于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。教學(xué)中位線時(shí)，中位線這一概念比較抽象，直接引入會比較突兀，學(xué)生也不容易接受，教師可以通過“土地分割”的故事激發(fā)學(xué)生的好奇心。

在巴比倫兩河流域，有四位兄弟本來相安無事地生活著，直到一天他們父親的去世打破了這一平靜，大家為了分割父親留下的一塊土地而爭論不休。土地為三角形形狀，請同學(xué)們利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識設(shè)計(jì)方法幫助這四位兄弟解決矛盾，回歸平靜的生活，同時(shí)也要對自己設(shè)計(jì)的方法有所說明，來說服四兄弟停止?fàn)幷?。[6]

通過數(shù)學(xué)史設(shè)計(jì)問題，學(xué)生會產(chǎn)生濃厚的興趣，進(jìn)而積極探索。教師可以先讓學(xué)生自己尋求解決問題的辦法，再根據(jù)學(xué)生的思考情況引出中位線這一概念，之后講述歷史上劉徽如何運(yùn)用中位線推導(dǎo)三角形面積公式。講授歷史上數(shù)學(xué)家對中位線的應(yīng)用可以讓學(xué)生對中位線有更加清晰的認(rèn)識，輔助學(xué)生理解中位線。

(二)改編歷史名題，鞏固課堂新知

新穎的教學(xué)過程有利于學(xué)生掌握知識，同樣，有效的課后練習(xí)可以幫助學(xué)生更好地鞏固知識。教師在設(shè)置課后練習(xí)時(shí)應(yīng)避免機(jī)械重復(fù)，可將數(shù)學(xué)史改編到練習(xí)中。以二元一次方程組為例[6]：

(1)“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問：雞兔各幾何？”(《孫子算經(jīng)》)

(2)“今有牛二、羊五直金九兩，牛五、羊二直金十二兩，問牛羊各直金幾何？”(《九章算術(shù)》)

第一個(gè)“雞兔同籠”問題是比較經(jīng)典的問題，學(xué)生可以根據(jù)以前所學(xué)知識運(yùn)用一元方程解決。在學(xué)完本節(jié)課知識后，教師可以讓學(xué)生嘗試用二元一次方程組求解。第二個(gè)問題相對第一個(gè)問題較為復(fù)雜，學(xué)生一開始習(xí)慣運(yùn)用一元方程列式子，算式可能比較復(fù)雜，甚至無法計(jì)算。這便會引起學(xué)生的思考，是否可以根據(jù)課上所學(xué)運(yùn)用二元一次方程組解決：題目中有兩個(gè)未知量，那就設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，進(jìn)而根據(jù)題目列方程求解。這兩個(gè)問題的設(shè)置遵循循序漸進(jìn)的原則，不是直接要求學(xué)生運(yùn)用二元一次方程組，而是有一個(gè)知識的過渡，遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，給予學(xué)生消化新知識的時(shí)間，幫助學(xué)生通過練習(xí)達(dá)到掌握知識的目的。

改編數(shù)學(xué)史于練習(xí)題中，不僅可以讓學(xué)生鞏固課堂知識，也可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力。教師還可以給學(xué)生講解題目的出處，使學(xué)生感受到不同時(shí)代、不同國家的歷史文化，體會數(shù)學(xué)文化的多元性。

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)史傳承人文精神

(一)獲得真知，戒驕戒躁

數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性可以有效訓(xùn)練學(xué)生的思維能力。例如，在證明數(shù)學(xué)定理時(shí)，學(xué)生要有嚴(yán)密的邏輯思維和推理能力。在推理過程中，學(xué)生首先要找到已知條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后按照邏輯一步步地證明。整個(gè)過程中，學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的態(tài)度尤為重要，中間每一步推理失誤都可能與結(jié)論失之交臂。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，學(xué)生可以了解數(shù)學(xué)家之所以取得偉大成就，是因?yàn)樗麄儗栴}的執(zhí)著、對科研的嚴(yán)謹(jǐn)以及對數(shù)學(xué)真正的熱愛。這樣，當(dāng)學(xué)生研究問題時(shí)便不會心浮氣躁，遇到困境時(shí)也不會輕易放棄。

(二)訓(xùn)練思維，發(fā)展心智

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會出現(xiàn)一題多解的情況，但有的學(xué)生受思維定式影響，經(jīng)常局限于一種思路。這時(shí)，教師可以介紹相關(guān)數(shù)學(xué)史實(shí)，讓學(xué)生從中找到更多精彩的內(nèi)容和豐富多彩的方法。多樣的解題思路可以幫助學(xué)生走出思維定式，一定程度上也可以促使學(xué)生接納他人的想法。這一學(xué)習(xí)品質(zhì)在生活中同樣需要：每個(gè)人的生活環(huán)境不同、想法不同，學(xué)生應(yīng)該接受多樣性的存在。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史不僅可以訓(xùn)練思維，還可以學(xué)會尊重與包容，從而促進(jìn)心智發(fā)展。

(三)培養(yǎng)興趣，深入探究

因?yàn)槌橄笮裕瑪?shù)學(xué)對很多學(xué)生來說是較為枯燥的學(xué)科。教師可以借助數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛力，促使學(xué)生積極主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)與感受數(shù)學(xué)的魅力。偉大的數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想方面做出了巨大貢獻(xiàn)，但他并不是一開始便鐘愛數(shù)學(xué)，而是偶然聽了沈元教授講授數(shù)學(xué)課后愛上了數(shù)學(xué)。課堂上，沈元教授講了如下故事：200年前有個(gè)法國人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)比較有趣的現(xiàn)象：6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，28=5+23，100=11+89。每個(gè)大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。因?yàn)檫@個(gè)結(jié)論沒有得到證明，所以還是一個(gè)猜想。大數(shù)學(xué)家歐拉說過：雖然我不能證明它，但是我確信這個(gè)結(jié)論是正確的。它像一個(gè)美麗的光環(huán)，在我們不遠(yuǎn)的前方閃耀著炫目的光輝……[7]這一偶然的機(jī)會令陳景潤對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，從此沉迷于圖書館查找、閱讀大量書籍，為他以后的研究奠定了基礎(chǔ)。當(dāng)前教學(xué)中，大多數(shù)學(xué)生只是沉浸于題海中，為了做題而做題。教師若在教學(xué)中加入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，學(xué)生可能會緣于一個(gè)故事或一段歷史，真正愛上數(shù)學(xué)。

四、結(jié)語

愛因斯坦說：“教育不是用好勝心去誘導(dǎo)學(xué)生的競爭心理，而是要用好奇心去激勵(lì)學(xué)生的科學(xué)興趣?！盵8]融數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)可以讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)并不是一門枯燥無趣的學(xué)科，而是一門富有豐富內(nèi)涵的有趣的學(xué)科。融數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生正確數(shù)學(xué)觀念的形成；也可以激勵(lì)教師深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，運(yùn)用數(shù)學(xué)史武裝教學(xué)，不斷提高自己的教學(xué)技能。只有不斷將數(shù)學(xué)史與實(shí)踐結(jié)合起來，才能更好地促進(jìn)數(shù)學(xué)史的蓬勃發(fā)展，為現(xiàn)代教學(xué)課堂提供更加豐富的素材。