基于運算素養的三角函數題解法探究及延伸

葉墀龍

（福建省南安第一中學 福建南安 362300）

引言

在三角函數問題中，運用多種不同解題方法解決問題，提升學生數學運算能力，促使學生的數學核心素養形成。數學教育中，加強實踐練習，提升學生數學解決問題能力，為學生運算素養形成打下基礎。

一、函數與方程思想方法

函數作為高中數學教育的重點內容，與數學其他知識有著非常密切的關系，是學生解決問題的有效方法之一。通過函數思想的運用，可以將問題中數量關系以函數的方式表現出來，使問題變得更加清晰與直觀。函數方程思想，就是利用函數知識，將問題構建方程，并利用函數關系解決問題，確定最終的答案[1]。該方法在三角函數解題中運用，鞏固學生好函數基礎知識，鍛煉學生實踐運用能力，促使學生數學運算素養形成。

例如，已知三角形的內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知asin（A+C）/2=bsinA，問題B為多少？

解，由 A+B+C＝π得(A+C)/2+B/2＝π/2，故 sin[(A+C)/2]＝cos(B/2)，①

另一方面，由正弦定理有a/sinA＝b/sinB，從而有 bsinA＝asinB，②

把①，②兩式代入已知等式，asin[(A+C)/2]＝bsinA 得acos(B/2)＝asinB＝2asin(B/2)cos(B/2)，由 0＜B＜π得 0＜B/2＜π/2，從而可知cos(B/2)≠0，又顯然a≠0，所以有1＝2sin(B/2)，sin(B/2)＝1/2，又因 0＜B/2＜π/2，所以 B/2＝π/6，所以 B＝π/3。

二、數形結合思想方法

數據與圖像的結合，在三角函數解題中運用，提升學生問題分析與解決問題能力。課堂教學中，教師可以將數形結合思想運用在教育工作中，并引導學生利用此方法解決問題，使學生學會圖像與數據之間的轉換，以此提升學生問題分析效果，提升教育工作質量。

例如，已知函數y=3sin(1/2x-π/12)在長度為一個周期的閉區間上的圖像，請畫出圖像，并探究x為多少時，函數有最大值。

當看到這一問題時，可以利用教材中 描述的五點法進行繪圖，如下圖，然后根據圖像確定f（x）的最大值。當x=4kπ+5π/6（k∈Z），函數的最大值為3。

三、分類討論思想方法

該思想方法，就是將解題過程分成解幾個不同的類型，然后分開討論。該方法在三角函數中運用，可以避免出現條件遺漏的情況，能夠保證解題的準確性與有效性[2]。課堂教學中，將改思想方法的使用步驟滲透給學生，并為學生創建實踐的機會，讓學生在實踐操作中積累經驗總結解題方法，以此提高運算的效率，提高解題效果。

如，求方程6πsinx=x的解的個數

解：在解這一問題時，需要明確問題的核心，了解出題意圖。通過對題干的分析，發現此問題的意圖就是求函數f(x)=sinx和g(x)=x/6π的圖像交點個數。因為f(x)和g(x)都是奇函數，所以關于原點對稱且過原點，只看一半就可以。①當x＞6π時，f(x)＞1，因此g(x)≤1，即在(6π，+∞)上沒有交點。②當x=6π時f(x)=1，g(x)=0，沒有交點。③當x＜6π時，f(x)可以且只能取到(0，1)上的任何值。故在(π/2，π)、(2π，5π/2)、(5π/2，3π)、(4π，9π/2)、(9π/2，5π)上分別有一個交點，一共5個，所以在(-6π，0)上也有5個。還有原點。通過上述分析，可知一共6πsinx=x一共有11個解。

四、轉化思想方法的運用

轉化思想是高中數學三角函數解題中經常使用的手段，在運用的過程中，可以將多角問題轉化成單角問題，將多個函數名稱轉化成一種函數名稱，將未知角轉化成已知角等等，通過問題的轉化，理清學生的解題思路，使學生快速掌握運算方法與技巧，提高解題的準確率[3]。

例如，已知向量m=(sinwx，coswx)，n=(coswx，coswx)，(w＞0)若函數f(x)=mn-1/2的最小正周期是4兀。求函數取最值時的取值集合。

解決該問題時，可以采用轉化方法，將復雜的問題簡單化，然后運用基礎知識解決問題。如f（x）=向量mn-1/2=sinwxcoswx+（coswx）2-1/2=1/2sin2wx+1/2cos2wx=√2/2 sin(2wx+π/4)。因為最小正周期是4兀，最小正周期是4兀，w=1/4，f（x）=√2/2sin(1/2x+π/4)。當sin(1/2x+π/4)=-1取得最小值-√2/2，此時1/2x+π/4=-π/2+2kπ，x=-3π/2+4kπ當sin(1/2x+π/4)=1取得最大值√2/2，此時1/2x+π/4=π/2+2kπ。x=π/2+4kπ。

五、結束語

總而言之，在高中數學三角函數解題中，不同思想方法的運用，優化學生解題思路，使學生掌握數學學習與解決問題方法。實際教學中，加強對各種解題方法的引入，鼓勵學生自主總結學習經驗，夯實學習基礎，為運算素養形成打下良好的基礎。