利用簡諧運動的對稱性巧解阻尼振動問題

(江蘇省南菁高級中學，江蘇 江陰 214437)

1 引言

近幾年，在江蘇省高考物理試題、模擬試題中常常出現彈簧振子在摩擦力作用下運動的物理模型(阻尼振動模型)，如2013年第9題、2018年第7題、2019年第8題。彈簧振子在不受摩擦力作用時做簡諧運動，對此考生可熟練利用簡諧運動的對稱性解決相關問題。然而，當振子做阻尼振動時，彈簧振子的運動就不再呈現完美的對稱性，整個過程中機械能不斷減少，振幅會越來越小，最終停止。這時考生因無法在腦海中形成正確的運動圖景而找不到切入點。實際上，當彈簧振子在單方向運動的過程中，彈簧振子即使存在彈簧彈力之外的恒力作用，振子仍然可視為做簡諧運動。所以，我們依舊可以利用簡諧運動的對稱性巧解相關問題，下面對幾個典型例題進行分析。

2 典型例題分析

例1:物體從與水平面成α角的斜面上端開始下滑，物體與斜面間的動摩擦因數μ隨著物體到斜面上端的距離按μ=bx(b為大于零的常數)的規律變化，物體未到斜面的底部就停下來了，試求物體從開始運動到停下來所經歷的時間t。

解析：物體受力如圖1所示,設某一時刻物體距離斜面上端的距離為x,根據牛頓第二定律，有：mgsinα-bxmgcosα=ma,當a=0時，有mgsinα=bx0mgcosα，x0即為物體運動的平衡位置，所以:mgsinα-bxmgcosα=bmgcosα(x0-x)，規定沿斜面向下為正方向，物體相對于平衡位置的位移Δx=-(x0-x)，當xx0時，Δx沿斜面向下為正值，合力為負值。所以有：F=ma=-bmgcosαΔx。

圖1

我們還可利用等效法，即斜面摩擦力相當于一根平行于斜面的彈簧產生的彈力，物體的下滑運動相當于彈簧振子在平行于斜面方向的重力分力作用下的簡諧運動。

例2:如圖2所示，一輕質彈簧左端固定，右端系一小物塊，物塊與水平面的最大靜摩擦力和滑動摩擦力都為f，彈簧無形變時，物塊位于O點。每次把物塊拉到O點右側不同位置由靜止釋放，釋放時彈力F大于f，物塊沿水平面滑動一段路程直到停止，下列說法中正確的是( )。

圖2

A. 釋放時的彈性勢能等于全過程中克服摩擦力做的功

B. 每次釋放后物塊速度達到最大的位置保持不變

C. 物塊能夠返回到O點右側的臨界條件為F>3f

D. 物塊能夠返回到O點右側的臨界條件為F>4f

解析：因為有摩擦阻力的存在，物塊最終停下來的位置不一定在平衡位置O，所以最終可能依然存在彈性勢能，當有彈性勢能存在的時候，原來的彈性勢能可能只有部分用來克服摩擦力做功，A選項錯誤；彈簧彈力與摩擦力平衡的位置為物塊速度最大的位置，根據f=F=kx，因為摩擦力不變，所以物塊速度達到最大的位置保持不變，B選項正確；設物塊在最左端受到的彈力是F′，物塊向左運動的過程可視為一個簡諧運動，物塊向右運動的過程同樣也可視為另一個簡諧運動。根據簡諧運動的對稱性，在最大位移處回復力大小相等，第一次從最右邊運動到最左邊的過程中：F-f=F′+f，再恰好向右運動到O點：F′-f=f，聯立解得：F=4f，故物塊能返回到O點右側的臨界條件為：F>4f，故D選項正確。

通過與例1的類比，可知振子從一端向另一端單方向的運動可視為簡諧運動，與一般簡諧運動不同的是：由于運動方向的改變，振子的平衡位置不斷地發生改變。所以此題我們對兩個方向的運動分別運用對稱性來解答。

例3:如圖3所示，水平桌面上的輕質彈簧一端固定，另一端與小物塊相連。彈簧處于自然長度時物塊位于O點(圖中未標出)。物塊的質量為m，AB=a，物塊與桌面間的動摩擦因數為μ。現用水平向右的力將物塊從O點拉至A點，拉力做的功為W。撤去拉力后物塊由靜止向左運動，經O點到達B點時速度為零。重力加速度為g,則上述過程中( )。

圖3

C. 經O點時，物塊的動能小于W-μmga

D. 物塊動能最大時彈簧的彈性勢能小于物塊在B點時彈簧的彈性勢能

圖4

3 結語

當我們在解決阻尼振動問題時可利用簡諧運動的對稱性，如在例1、例2中阻尼振動單方向上仍然具備簡諧運動的對稱性，再如在例3中我們可以假設振子不受摩擦阻力的作用，利用我們熟悉的對稱性找到振子運動的對稱位置，可以相對容易地了解物塊運動的過程，從而容易找到解決問題的切入點。