帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動的圓心確定方法

(甘肅省華亭市第二中學，甘肅 華亭 744100)

1 引言

帶電粒子在勻強磁場中運動的問題是高中物理教學的重點，也是難點，更是歷年高考的熱點。解決帶電粒子在磁場中運動問題的基本思路是：先分析粒子的運動過程，確定運動軌跡的圓心，畫出軌跡圓；再綜合運用洛倫茲力、向心力及圓的幾何知識進行求解。這類問題對學生的綜合能力要求較高，多數學生感到困難，無從下手。其主要原因是學生不能在圓周運動與圓之間建立聯系，也就不能根據圓的幾何關系找到圓心，不能畫出圓弧，也就不能順利解決問題，可見確定圓心是解決這類問題的突破口。

2 典型例題分類解析

2.1 已知粒子射入、射出磁場的速度方向

例1：如圖1所示，一個質量為m、電荷量為q(q<0)的帶電粒子從x軸上的P(a，0)點以速度v，沿與x軸正方向成60°的方向射入第一象限內的勻強磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限，不計粒子重力。求：(1) 勻強磁場的磁感應強度B和射出點的坐標；(2) 帶電粒子在磁場中的運動時間。

圖1

圖2

解析：已知電荷射入和射出磁場的方向，根據速度方向與圓半徑的垂直關系，可知y軸是圓的一條直徑，再過P點做速度的垂線，這條垂線就是另一條直徑，兩條直徑的交點就是圓心。

2.2 已知粒子射入磁場的速度方向和射入磁場、射出磁場的位置

例2(2016年四川卷)：如圖3所示，正六邊形abcdef區域內有垂直于紙面的勻強磁場。一帶正電的粒子從f點沿fd方向射入磁場區域，當速度大小為vb時，從b點離開磁場，在磁場中運動的時間為tb，當速度大小為vc時，從c點離開磁場，在磁場中運動的時間為tc，不計粒子重力,則( )。

圖3

A.vb∶vc=1∶2，tb∶tc=2∶1

B.vb∶vc=2∶1，tb∶tc=1∶2

C.vb∶vc=2∶1，tb∶tc=2∶1

D.vb∶vc=1∶2，tb∶tc=1∶2

解析：已知粒子射入磁場的速度方向和射入、射出磁場的位置，兩位置的連線是圓的弦，弦的中垂線過圓的一條直徑，速度的垂線過圓的另一條直徑，兩直徑的交點就是圓心。

圖4

圖5

圖4和圖5中圓弧所對應的圓心角分別為120°和60°，根據粒子做圓周運動的時間與圓心角成正比，則有：tb∶tc=2∶1，故選項A正確。

2.3 已知粒子射入磁場的速度方向和任一速度的方向

例3(2016年新課標Ⅲ卷)：平面OM和平面ON之間的夾角為30°，其橫截面(紙面)如圖6所示，平面OM上方存在勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外。一帶電粒子的質量為m，電荷量為q(q>0)。粒子沿紙面以大小為v的速度從OM的某點向左上方射入磁場，速度與OM成30°角。已知粒子在磁場中的運動軌跡與ON只有一個交點，并從OM上另一點射出磁場，不計重力。粒子離開磁場的射點到兩平面交線O的距離為( )。

圖6

解析：已知粒子射入磁場時的速度方向和圓軌跡的一條切線，根據速度方向沿著切線方向，可畫出兩切線的夾角，該夾角的平分線經過圓的一條直徑。再畫出入射速度的垂線可得到另一條直徑，兩條直徑的交點就是圓心。

圖7

2.4 已知粒子射入磁場的速度方向和射出磁場時速度方向的偏向角

例4(2013年新課標Ⅰ卷)：如圖8所示，半徑為R的圓是一圓柱形勻強磁場區域的橫截面(紙面)，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外。一電荷量為q(q>0)、質量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場區域，射入點與ab的距離為R/2。已知粒子射出去的磁場與射入磁場時運動方向間的夾角為60°，不計重力，則粒子的速率為( )。

解析：已知粒子射入磁場時的速度方向和射出磁場時的偏向角，由偏向角與軌跡圓的圓心角相等，可知弦與半徑的夾角為60°、弦和兩半徑構成等邊三角形。

圖8

圖9

3 圓心的確定方法

根據“圓與圓周運動”的關系及4道典型例題的分析求解，總結確定圓心的方法如下：

(1) 若知道粒子射入磁場和射出磁場時的速度，分別作出兩速度的垂線，則兩垂線的交點就是圓心；

(2) 若知道粒子射入磁場的速度和射出磁場的位置，連結粒子射入與射出磁場的兩位置得到圓弧的弦，再畫出弦的中垂線和射入磁場的速度的垂線，則兩條垂線的交點就是圓心；

(3) 若知道粒子射入磁場的速度和粒子做圓周運動的圓弧的一條切線，畫出速度的延長線，該速度的延長線是圓弧的另一條切線，再作兩切線相交的夾角的平分線和速度的垂線，則角平分線與速度的垂線的交點就是圓心；

(4) 若知道粒子射入磁場的速度和射出磁場時速度的偏向角，根據速度的偏向角與圓心角相等的關系可得到弦與半徑的夾角，就可以畫出弦，再作出速度的垂線和弦的中垂線，則兩垂線的交點就是圓心。

4 教學建議

帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動問題與幾何密切相關，是物理與數學相結合的一類綜合問題，對學生應用數學解決物理問題的能力要求較高，而學生的困難之處恰是不能將圓的幾何知識遷移到圓周運動中來，沒能抓住它們之間的內在聯系。針對這一現象結合實際教學，給出以下3點教學建議。

(1) 復習初中數學中圓的相關知識，讓學生熟悉切線、直徑、圓心角、弦的幾何關系，為圓周運動的學習做好準備。

(2) 引導學生建立圓與圓周運動之間的相互聯系，突出數學知識在物理問題中的應用。

(3) 鼓勵學生多作圖，培養學生使用尺規作圖的習慣和作圖、識圖的能力，在作圖的過程中體會“找圓心”的基本方法。