關于圓錐擺的推論及其應用

(江蘇省海安高級中學,江蘇 海安 226600)

1 圓錐擺ω2h=g的推導

如圖1所示,在長為L的細繩下端拴一個質量為m的小球,繩子上端懸點固定,使小球在水平圓周上以恒定的角速度旋轉,細繩所掠過的面為圓錐表面,這就是圓錐擺模型。

圖1

設圓錐擺做圓周運動時圓心為O,圓心到懸點的距離為h,當圓錐擺做圓周運動的角速度為ω時,懸線與豎直方向的夾角為θ,小球受重力mg和繩子拉力FT作用。由圖1可得沿半徑指向圓心方向的合力為Fn=mgtanθ,又因為Fn=mω2r,r為圓錐擺做圓周運動的半徑,由幾何關系得：r=htanθ,所以：mgtanθ=mω2htanθ,整理得：ω2h=g。

可見,不管圓錐擺以多大的角速度ω做圓周運動,ω2與軌跡圓心到懸點的豎直高度h的乘積保持不變(等于重力加速度g),即ω2h=g,該乘積與懸線L的長短、懸線與豎直方向的夾角θ、擺球質量m無關。

2 圓錐擺ω2h=g推論的應用

2.1 比較兩圓錐擺運動的物理量

例1：如圖2所示,兩個質量不同的小球用長度不等的細線拴在同一點,并在同一水平面內做勻速圓周運動,則它們的( )。

A. 周期相同

B. 線速度的大小相等

C. 角速度的大小相等

D. 向心加速度的大小相等

圖2

圖3

討論：若不用ω2h=g結論解題,則先要對小球受力分析,如圖3所示,小球受重力mg、繩子拉力FT,合力提供向心力，水平指向圓心。

可見,用ω2h=g的結論可快速解答此類選擇題。

2.2 確定兩圓錐擺擺球的位置

例2：兩根長度不同的細線下面分別懸掛兩個小球,細線上端固定在同一點,若兩個小球以相同的角速度,繞共同的豎直軸線在水平面內做勻速圓周運動,則兩個擺球在運動過程中,相對位置關系圖4中正確的是( )。

圖4

解析：因兩個小球以相同的角速度繞共同的豎直軸在水平面內做勻速圓周運動,根據圓錐擺的推論ω2h=g可得兩球軌跡圓心到懸點的豎直高度h相等,兩球應在同一水平面內運動,故B選項正確。

討論：由于本題不涉及定量計算,因此本題直接用結論判斷兩球的相對位置簡潔明了,體現出用該結論解題的優越性。

2.3 比較兩圓錐擺與豎直方向的夾角

例3：如圖5所示,“旋轉秋千”中的兩個座椅A、B質量相等,通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉圓盤上,不考慮空氣阻力的影響,當旋轉圓盤繞豎直的中心軸勻速轉動時,下列說法中正確的是( )。

A.A的速度比B的大

B.A與B的向心加速度大小相等

C. 懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等

D. 懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小

圖5

圖6

圖7

圖8

例4：游樂園里有一種叫“飛椅”的游樂項目,簡化后的示意圖如圖8所示。已知飛椅用鋼繩系著,鋼繩上端的懸點固定在頂部水平轉盤上的圓周上。轉盤繞穿過其中心的豎直軸勻速轉動。穩定后,每根鋼繩(含飛椅及游客)與轉軸在同一豎直平面內。圖中P、Q兩位游客懸于同一個圓周上,P所在鋼繩的長度大于Q所在鋼繩的長度,鋼繩與豎直方向的夾角分別為θ1、θ2。不計鋼繩的重力。下列判斷正確的是( )。

A.P、Q兩個飛椅的線速度大小相同

B. 無論兩個游客的質量分別有多大,θ1一定大于θ2

C. 如果兩個游客的質量相同,則有θ1等于θ2

D. 如果兩個游客的質量相同,則Q的向心力一定小于P的向心力

討論：推論ω2h=g適用于一切圓錐擺,此推論與圓錐擺的擺線長度、圓錐擺的擺球質量、懸線與豎直方向的夾角無關,解題時要明確h是圓錐擺的擺球運動軌跡圓心到轉軸上懸線懸點(或懸線延長線與豎直軸交點)的高度。