基于COBP模型的城市短期需水量預測研究*

葉強強 王景成，2 陳超波 王 召 涂吉昌

（1.西安工業大學 西安 710021）（2.上海交通大學自動化系 上海 200240）

1 引言

經濟的高速發展帶來了城市化與工業生產規模的不斷發展，也使得城市供水系統的供需矛盾變得突出，特別是夏季，城市水量緊缺的現象越來越普遍。需水量預測［1］已成為現代供水調度系統學科中一個重要的研究領域。由于城市需水量增長受經濟發展、產業結構、居民收入水平、氣候等諸多因素的影響，用常規的數學方法來建立模型，不僅工作量大，而且精度也難以保證。

目前國內外采用的需水量預測模型主要有時間序列模型［2］、灰色預測模型［3］、人工神經網絡模型［4］等。時間序列模型是一種定量分析方法，它是在時間序列變量分析的基礎上，運用一定的數學方法建立預測模型，使時間趨勢向外延伸，從而預測未來市場的發展變化趨勢，確定變量預測值。具有運算過程簡單，對于中短期預測的效果要比長期預測的效果好等優點。但其因突出時間序列暫不考慮外界因素影響，故存在著預測誤差的缺陷。當遇到外界因素發生較大變化，往往會有較大偏差。灰色預測模型通過對原始數據的處理挖掘系統變動規律，建立相應微分方程，從而預測事物未來發展狀況。對于不確定因素的復雜系統預測效果較好，且所需樣本數據較小；但是基于指數率的預測沒有考慮系統的隨機性，中長期預測精度較差。人工神經網絡模型一種模仿動物神經網絡行為特征，進行分布式并行信息處理的算法數學模型。這種網絡依靠系統的復雜程度，通過調整內部大量節點之間相互連接的關系，從而達到處理信息的目的。該網絡具有強大的非線性逼近能力，同時其良好的自適應性、自組織性以及較強的學習、聯想、容錯和抗干擾能力使其廣泛應用于諸多領域，可以解決涉及到多變量、強耦合、非線性等的數值擬合預測問題。其不足之處為：網絡算法學習速度較慢，網絡訓練失敗的可能性較大，隱含層層數和隱含層神經元個數難以確定，一般根據經驗公式結合實際問題選取，網絡結構的選擇尚無一種統一而完整的理論指導，一般只能由經驗選定。國內外專家、學者及相關工程技術人員對需水量預測已經進行了大量的研究，需水量預測方法研究從傳統的預測方法發展到現在的人工智能預測方法［5］，例如：支持向量機回歸技術［6］、遺傳算法［7］、遺傳神經算法［8］、深度學習算法［9］、機器學習算法［10］等，預測算法已相當豐富。

Chaos理論［11］是非線性動力學的重要發展。城市需水量的時間序列具有多種不確定性和非線性，不易建立精確數學模型。結合BP神經網絡理論［12］的Chaos-BP理論對于城市短期需水量預測，能夠克服傳統預測模型所需訓練樣本多，預測誤差大，算法學習收斂速度慢，網絡結構難以確定等缺陷。

綜上所述，本文提出一種基于Chaos-BP理論的COBP（Chaos Back Propagtion）預測模型，為城市短期需水量預測的研究提供一條嶄新的途徑。

2 Chaos識別

用Chaos理論研究城市短期需水量問題的前提是確定城市短期需水量時間序列是混沌的，這就涉及到Chaos判別的問題。本文采用關聯維D2法［13］判別。在考察m維相空間中設相點之間的歐氏距離為rij(m)：

任給一標度r，統計小于r的點對數目在所有點中所占的比例。

其中，n為相點數；θ為Heaviside函數。

關聯維D(m)記為

不隨m改變，于是得到城市需水系統的關聯維數：

當D2＞2或為分數，表明城市需水系統具有混沌特征，則該系統吸引子的維數為D2；否則，系統被診斷為隨機系統。

3 相空間重構

Packard等［14］最早提出了相空間重構的方法，建議用原始系統的某變量的延遲坐標來重構相空間，即在某些固定時間延遲點上的觀測值作為新維來處理，從而通過“嵌入”方法可以構造出一個與原系統等價的相空間，在這個空間中可以恢復原有動力系統的規律，并研究其吸引子的質。相空間重構可表述如下：

設時間序列{x(t)，t=0，1，2，…，n}，由此序列嵌入m維相空間，可得到一系列m維相空間的相點為

其中m為嵌入維數，τ為延遲時間，N=n-(m-1)τ。

但實際上，實測時序是有限長的，且不可避免地被噪聲污染，延遲時間取任意值不能重構原系統相空間，因此對實測時序相空間重構的關鍵是其參數的選取。

3.1 延遲時間的選取方法

延遲時間是一個重要的相空間重構參數，最佳延遲時間［15］τ不能選的太大也不能太小。如果τ太小，相空間軌跡會向同一位置擠壓，信息不易顯露，產生冗余誤差；如果τ太大，會導致某一時刻的動力學性態與后一時刻的動力學性態變化劇烈，使得簡單的幾何對象表現得很復雜，動力系統信號失真，產生不相關誤差。

本文采取自相關法選取延遲時間［16］τ的步驟為

引入一個非線性相關函數，使延時時間τ的計算度量變成兩部分：

線性相關函數：

檢測狀態之間的線性相關性。

非線性相關函數：

檢測狀態之間的非線性相關性。

該方法中可以檢測到檢測不到的時間序列中的變化，一般會得到比單獨檢測線性相關性更短的延遲時間。

3.2 飽和嵌入維數（輸入層神經元數目）的選取方法

在目前確定飽和嵌入維數［17］的方法中，偽鄰近點法［18］、奇異值分解法［19］、去偏自相關法［20］、飽和關聯維數法［21］是比較好的方法，但是各自都有些不足。本文采用去偏自相關法［20］確定飽和嵌入維數。

采用去偏自相關法來求取飽和嵌入維數的具體步驟為

1）設定m維相空間重構的去偏自相關函數為

4 基于COBP模型的城市短期需水量預測的步驟

4.1 COBP網絡模型的確定

經過研究比較，COBP網絡模型采用含有隱含層的誤差反向傳播神經網絡，此類網絡模型有一個或多個中間層（即隱含層），輸入層的節點通過特定的連接向隱含層節點傳遞刺激信息（即實測需水量值）：

式中，W 為(L，I)維權值矩陣；θ0為(L，1)維需水量值向量；S為(I，J)維的需水量值矩陣，J為COBP網絡模型的刺激信息的輸入數目。

每一個隱含層節點都通過一個激活函數將輸入需水量值轉化為相應的反應輸出：

同理，每一個輸出層的神經元節點也通過一個激活函數將輸入需水量值轉化為相應的反應輸出：

4.1.1 COBP網絡模型的訓練

選隨機數初始化權值矩陣W、Z和需水量值向量θ0、偏移向量 z0，將 n-1個實測數據 s1、s2、s3、…、si、…、sn-1輸入進行訓練。取 S(I，J)維需水量值輸入矩陣對每一個隱含層節點計算它所有輸入的總和，并且促使這些獲取的信號通過激活函數進行傳遞。在輸出節點也是這樣進行信號傳遞，輸出向量為

式中，δk為輸出節點的輸出需水量值向量；f為隱含層的激活函數；g為輸出層的激活函數。

將此COBP網絡的輸出需水量值向量δk與實測輸出需水量值增量Δsk=sn-1-sn-2進行比較，計算出COBP網絡的輸出誤差：

將此誤差在COBP網絡中進行反向傳播：通過網絡將誤差信號沿原來的連接通路反傳回去，并根據使均方誤差最小的算法來修改每一階段的權值矩陣和偏移向量的值，以達到對COBP網絡進行訓練的目的。

每次訓練時最小化的量是COBP網絡輸出誤差的方差：

Ek相對于Z矩陣的梯度：

將隱含層和輸出層的兩個激活函數置為相同：

則Ek相對于Z矩陣的梯度可計算如下：

由Ek表達式，第1個偏導數如下：

第2個偏導數依賴于選擇的激活函數類型，激活函數是非線性遞增的。目前應用的最多的是單極性s函數、雙極性s函數和雙曲正切函數，它們的特點是可以將輸入從區間[-∞，+∞]分別變換成[0，1]和[-1，1]區間的輸出。經計算，作為城市短期需水量預測采用單極性s函數穩定性較好。

第2個偏導數可用式（20）表達：

式中，I代表與輸出需水量值向量δk維數相同的單位矩陣，“·”操作代表項對項的乘積。

第3個偏導數如下：

由梯度下降法更新權值，(k+1)步的權值矩陣Z為

式中，η為訓練增益；?s為輸出誤差。

偏移向量z0的更新方法同上。(k+1)步的偏移矩陣為

同理可得輸入層節點和隱含層節點的連接權值矩陣W、隱含層節點單元的需水量值向量θ0的(k+1)步表達式：

將此正向輸出計算與反向權值修改交替進行，直到誤差達到允許的范圍，即COBP網絡的擬合達到規定要求。

4.1.2 COBP網絡模型的預測

一旦網絡訓練結束，將第n個需水量值sn輸入到COBP網絡模型中，此時的輸出：

就是該序列的n+1步預測值，由于該預測值是從已有數據中總結出的規律，按照一定的映射關系得出的，當下一步的實際需水量值符合前n-1個數據所具有的規律時，此預測值較準確。

但在城市短期需水量預測過程中，影響預測的因素眾多，如社會生活習慣，節假日、氣像條件（諸如降雨、氣溫）等，會造成城市短期需水量預測值產生較大的跳躍，在時間序列位移曲線上會出現“尖點”。在“尖點”處，預測值往往會產生較大的誤差，因此本文采用了Chaos控制方法對“尖點”需水量預測值進行控制［22］，使預測結果更加準確。

4.2 COBP網絡模型的混沌優化搜索

4.2.1 混沌優化搜索原理

COBP網絡由輸入層（n個神經元）、隱含層和輸出層（m個神經元）三層組成，是一種誤差逆向傳播型學習算法。通過樣本學習可完成從輸入的n維歐氏空間到輸出的m維歐氏空間的映射。最基本COBP算法是基于極小化二次性能指標函數（能量函數），即：

式中，L為訓練樣本數，Yjs為第s個樣本在第 j輸出節點的網絡計算輸出值；Yjs-Y*js為第s個樣本在第 j個節點的期望輸出值。

本文運用混沌變量尋優［23］訓練BP神經網絡，采用Ligistic映射，即

式中：n為迭代次數；_為控制參數，當_=4.0時，系統完全進入混沌狀態，且混沌變量X0在(0，1)范圍內遍歷。由于混沌狀態具有對初始條件的敏感性，取不同的初始值，即可得到不同軌跡的混沌變量。

設BP神經網絡有 p個連接權，采用下列公式對連接權尋優：

在(0，1)區間任取 p個不同的初始值分別代入式（29），則得到 p個不同混沌軌跡變量，再經過式（30）變換到(-1，+1)區間，然后把 p個混沌軌跡序列作為BP神經網絡的粗搜索時的權值解空間，每個混沌軌跡變量對應BP神經網絡中的一個權值。

4.2.2 參數控制法確定預測值

城市短期需水量預測是非線性動力系統的混沌現象，是由城市需水量值的變化引起的。因而，預測值的混沌控制可通過對原有監測數據的規律進行總結，選擇混沌態內含的某些臨界點為控制值。當COBP網絡模型輸出達到控制值任意近的鄰域時，啟動控制機制，用較小信號將系統捕捉到目標軌道上去，以達到減小“尖點”的目的，因而參數控制法［24］屬于反饋控制方法的一種。

設從sn到sn+1的映射為

當β≥規定值ε時，啟動控制：

當β≤規定值ε時，再次啟動控制：

當 β遠離規定值時，關閉控制，預測值按式（26）輸出。

式中，sn+1為城市短期需水量的一步預測值；sn為城市短期需水量第n個實測值；Δ為控制參數：為輸出需水量值向量；sn-1為城市短期需水量第n-1個實測值。

5 實例仿真計算

用上海市2017年8月12日—10月20日的歷史水量數據訓練和測試（見表3），進行相空間重構和建模，對2017年10月21日—2017年2月2日的水量數據進行預測。采用自相關法計算延遲時間為7，用關聯維D2法計算關聯維數，用Matlab編程，發現關聯維數到2.03時不再增大，所以可以判斷該時間序列是混沌序列，然后用去偏自相關法求得嵌入維數為5。

采用COBP網絡模型進行擬合和預測，可取輸入層節點數為5，延遲時間為7，隱含層節點數為10，輸出層節點數為1，訓練3753次之后，得到100天的需水量實際值與預測值擬合圖（見圖3），其它兩種對比模型的預測擬合圖（見圖1、圖2）。本文提出的COBP模型的得到前10天預測值和BP模型以及GM模型得到的前10天預測值（見表4）。

圖1 基于GM模型的上海市短期需水量的實際值與預測值以及絕對誤差分布圖

圖2 基于BP模型的上海市短期需水量的實際值與預測值以及絕對誤差分布圖

圖3 基于COBP模型的上海市短期需水量的實際值與預測值以及絕對誤差分布圖

為了檢驗預測效果的好壞，按照整體評價預測方法，采用均方誤差MSE、均方根誤差RMSE、平均絕對誤差MAE和平均相對誤差MAPE來評價（見表3、表4）。

式中，Yi、Y^i分別為實際值和預測值；n為預測數據個數。

結合表1、表2，從三種模型預測的結果可以看出：GM模型預測結果具有時滯現象，平均絕對誤差較大，平均相對誤差較大；應用BP模型的預測結果沒有時滯現象，但預測的波動性較大，4種誤差指標也較大；COBP模型預測結果較為理想，不但平均絕對誤差較小，而且平均相對誤差也較小，從而顯示出對城市短期需水量預測效果較為理想。

表1 3種模型預測結果性能指標

表2 3種模型預測結果誤差分布統計（個）

表3 上海市2017年8月12日～10月20日的日需水總量

表4 本文提出的COBP模型、GM模型和BP模型的預測值及誤差

從表4中可以看出，用COBP模型預測方法對2017年10月21日—2017年10月30日的需水量預測較為準確，與GM模型的預測結果以及BP模型預測結果相比，本文所使用的模型預測結果整體誤差的指標較好，呈現較好的綜合預測性能。

6 結語

城市短期需水量預測是城市供水總體規劃和工程規劃的主要依據，關系到水資源可持續利用和城市可持續發展。本文將混沌優化和BP神經網絡有機結合起來，建立了基于COBP網絡城市短期需水量預測模型。COBP模型預測方法，可以對城市需水量有效地做出短期預測。而且BP神經網絡本身就是一種辯識模型，結合Chaos理論，很容易確定輸入層節點個數，不需要建立以實際系統數學模型為基礎的預測模型，可以省去在預測前對系統建模這一步驟。實例研究表明，該模型收斂速度快、預測精度高、簡便易行，具有良好的應用推廣價值。