基于新型切換Lorenz混沌系統的圖像加密算法研究*

付正 李嶸

（河南工業技師學院 鄭州 450007）

1 引言

互聯網技術快速發展使得多媒體文件在越來越多的地方得到了應用，多媒體文件的傳輸安全也愈加重要。安全傳輸圖片等信息已經成為當下研究的熱門問題。1989年，美國學者R.Matthews首次采用 Logistic映射生成大量的偽隨機數據［1～2］。隨著對偽隨機數據的不斷研究，學者們發現混沌系統非常適合圖像的加密。因此，Logistic混沌系統、切換Lorenz混沌系統逐漸被應用到圖像加密中［3～5］。2004年，G.R.Chen，Y.Mao，C.K.Chui等對混沌圖像加密技術進行了研究，并針對圖像加密效果進行了評價，提出了 NPCR 和 UACI評價指標［6～7］。2012年，Y.ZHANG等提出了基于明文關聯的混沌圖像加密方法［8］。這些混沌加密方法在圖像加密中得到廣泛應用，取得了較好的加密效果。

切換Lorenz混沌系統是一種典型的混沌系統之一，專家學者們對該混沌系統研究較多，提出了多種不同的新型Lorenz系統，如典型的Chen系統、Lü系統等［9～11］，這些系統已被應用到圖像加密中。研究發現，單一的混沌系統加密算法存在密鑰空間小，加密安全性不足。為了解決該問題，論文提出新型切換Lorenz混沌系統，采用多種混沌系統圖像加密的思路，將Arnold映射和二維Logistic混沌映射結合到一起，構成新型圖像加密系統。該加密系統具有結構復雜，密匙空間大等優點，加密安全性高［11］。

2 新型切換Lorenz混沌系統

論文采用的新型切換Lorenz混沌系統的數學模型為［12～14］：

式（1）、（2）中，a，b，c為系統常量。其中a=20，b=14，c=10.6；h為Lorenz混沌系統控制參數。

論文參考文獻中對式（1）的動力特性進行了分析，系統控制參數h與Lyapunov指數的關系如表1所示［6，8］。

表1 系統控制參數h與Lyapunov指數的關系

根據參考文獻中系統控制參數h與Lyapunov指數的關系的討論分析，論文選用h=2.8，此時，混沌系統的Lyapunov指數較高。

3 圖像加密系統

混沌圖像加密系統對圖像加密的流程基本是首先對圖像進行離散和多次置亂，然后進行擴散處理從而得到密文圖像。論文采用的圖像加密系統具體流程見圖1。根據新型切換Lorenz混沌系統數學模型式子（1）和四階龍格-庫塔方程對待加密的明文圖像進行離散，同時采用Arnold映射對明文圖像進行第一次置亂，置亂后進行“異或”的擴散處理。在第一次置亂的基礎上，為加強文件的安全性，采用二維Logistic映射對圖像進行二次置亂，并進行“循環移位”的擴散處理［14～15］。經過兩次置亂后，最終得到加密后的密文圖像。加密與解密過程相反，不再贅述。

圖1 圖像加密流程

3.1 第1次置亂

混沌圖像加密系統需要對明文圖像各個像素點的位置進行置亂操作，已達到加密的效果。在置亂過程中，雖改變了像素點的位置，但是不改變像素的值。

本文引入四階龍格-庫塔方程［14］（式（3）所示），對式（1）進行離散，離散后得到偽隨機浮點數序列s。

利用得到的偽隨機浮點數序列s對明文圖像P進行置亂。首先將s進行坐標變換得到一維序列X，將明文圖像P的任一點坐標（i，j）進行Arnold變換［14］，同時與一維序列X進行模運算，得到新坐標（p，q）。變換過程如下：

將明文圖像原始像素點坐標用新坐標替換，從而完成圖像第一次置亂。

3.2 第1次擴散

經過像素點位置置亂后，需要對像素點的值進行更改——擴散。如此才能保證圖像加密更加安全。第1次擴散從正向和逆向兩種方式展開。將上節中已經得到的置亂圖像B轉換為一維矩陣K，按照正向和逆向兩種運算方式（式（7）～（10）），將明文圖像像素點隱藏到密文像素點中，最終得到加密圖像 C［14］。

正向（按i從1到M×N）運算：

逆向（按i從M×N到1）運算：

3.3 第2次置亂

在第1次置亂和擴散的基礎上，為了進一步增加圖像加密安全性，本文采用二次加密。第2次置亂采用二維Logistic映射對第1次置亂擴散后的圖像C進行再次置亂，將置亂后的矩陣記為D。論文采用的二維Logistic映射［14］為

3.4 第2次擴散

經過第2次置亂后，論文對第2次置亂后得到的矩陣D進行循環左移位的運算，計算方法如式（12）和式（13）所示。

式（12）和式（13）中，LSB3指最少3位。

經過循環左移位運算后，最終形成了二次加密的圖像D。

4 圖像加密系統性能測試

按照上節圖像加密的方法，論文選用了研究常用的典型灰度圖像Lena圖像作為論文加密測試對象。作者選用了一臺HP電腦（配置為：CPU：Intel Core I5，內存8G，安裝有Matlab 2014a軟件）作為測試工具。測試選用密匙 Key={x0，y0，z0，n} ，其中x0，y0，z0為式（1）的初始值，n為迭代次數。論文采用Matlab實現了上節新型切換Lorenz混沌系統圖像加密算法，將Lena圖像代入以后，實現的加密效果如圖2所示。

圖2 Lena圖像加密效果

4.1 密鑰空間分析

圖像加密系統需要具有較大的密匙空間，如此才能防止各類網絡攻擊，保證文件的安全。一般來講，當密鑰空間大于2100時，文件加密安全性較高。論文的Lorenz混沌圖像加密系統，經過兩次加密，密匙空間較大。文中加密系統的密鑰Key={x0，y0，z0，n} ，其中 x0，y0，z0都是 double型浮點數，n為整數，密鑰分量 x0，y0，z0的浮點數精度都可達到10-14，密鑰空間可達到1014×1014×1014×1014=1056，遠遠大于2100=1.27×1030。由此看見，論文實現的新型Lorenz混沌圖像加密系統具有較大的密匙空間，安全性較高。

4.2 直方圖分析

圖像直方圖能夠反映出圖像質量特性分布情況，為了更好地分辨出圖像情況，論文編寫了Matlab程序顯示了原始Lena圖像和加密后Lena圖像的直方圖，如圖3所示。圖中可見，明文Lena圖像的直方圖波動范圍較大，波峰波谷差異明顯，能夠反映出圖像不同像素值的頻率分布。而加密后的Lena圖像直方圖基本均勻顯示在矩形范圍內，像素點頻率分布相仿。這表明經過加密的Lena圖像像素點均勻分布，能夠起到擾亂效果，加密效果較好。

圖3 Lena明文和密文圖像的直方圖

4.3 信息熵

圖像的確定性可以采用信息熵進行評定。一般來講，圖像信息的混亂程度與信息熵成正比，信息熵值高也意味著圖像較為混亂。那么對于類似于Lena圖像的灰度圖，如果灰度值分布較為均勻，則信息熵值較大；反之，亦然。信息熵值計算方法如式（14）所示。

式中：L為圖像的灰度等級數；p（i）為灰度值i出現的概率。對于L=256的灰度圖像來說，信息熵的理論值H≤8。信息熵越接近于理論值，圖像被攻擊的可能性越小。

作者對本文加密測試的Lena圖像的信息熵值進行了計算，并與參閱的文獻中相同圖像的其他測試加密結果相對比，結果如表2所示。表中可見，論文的加密方法處理的Lena圖像較文獻資料具有更高的信息熵值，更接近理論值8。這說明論文加密效果較好，圖像混亂程度更高。

表2 信息熵測試結果

5 結語

本文提出了新型的切換Lorenz混沌加密系統，在傳統的單次圖像加密的基礎上，通過采用“置亂-擴散-置亂-擴散”的兩次圖像加密過程，實現了圖像的更高水平加密。論文以Lena圖像的加密過程為例，采用Matlab軟件編寫了相關程序，實現了新型的切換Lorenz混沌加密系統；在此基礎上，通過直方圖分析、信息熵值分析等驗證，表明了論文實現的圖像加密算法具有較高密匙空間和信息熵值，混亂效果較好，安全性更高，在未來具有更好的應用前景。