磁導(dǎo)航AGV糾偏控制模型的研究與設(shè)計(jì)*

何 翠 楊光永 史雄峰 徐天奇

（1.云南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院 昆明 650504）（2.通用電氣醫(yī)療系統(tǒng)（中國(guó)）有限公司 無(wú)錫 214000）

1 引言

磁導(dǎo)航AGV［1］是工業(yè)自動(dòng)化生產(chǎn)中十分常見(jiàn)的搬運(yùn)設(shè)備，隨著工廠自動(dòng)化程度的不斷改型提升，磁導(dǎo)航AGV的應(yīng)用環(huán)境也變得更加復(fù)雜多變，為了提升系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性，特別是循跡導(dǎo)航的準(zhǔn)確性，許多高校及工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域在AGV糾偏控制方面展開(kāi)了大量研究。文獻(xiàn)［2］基于經(jīng)典PID控制算法，對(duì)PID參數(shù)整定研究設(shè)計(jì)了軌跡跟蹤器；文獻(xiàn)［3］將PID算法結(jié)合智能控制神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法設(shè)計(jì)了具有自學(xué)習(xí)功能的自適應(yīng)PID控制器。文獻(xiàn)［4］通過(guò)大量的訓(xùn)練和專家理論經(jīng)驗(yàn)確立模糊規(guī)則，提出模糊PID控制算法，但AGV的非完整約束性和非線性導(dǎo)致獲取準(zhǔn)確參數(shù)比較困難，實(shí)時(shí)性不高，而且當(dāng)AGV速度過(guò)快時(shí)可能會(huì)引起脫軌，在實(shí)際工程應(yīng)用中不完全可靠。上述文獻(xiàn)中的糾偏控制算法均為在PID基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的控制算法，其對(duì)AGV系統(tǒng)循跡糾偏控制有一定的優(yōu)化作用，但在實(shí)際控制過(guò)程中，控制參數(shù)需要通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)和理論經(jīng)驗(yàn)整定得出，且其參數(shù)對(duì)AGV控制產(chǎn)生的影響比較靈敏，不能達(dá)到最優(yōu)控制。為此文獻(xiàn)［5］采用磁導(dǎo)航信號(hào)采集點(diǎn)的加權(quán)平均進(jìn)行浮點(diǎn)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)AGV糾偏控制，但其運(yùn)算效率較低，占用過(guò)多片上資源，降低了AGV控制的實(shí)時(shí)響應(yīng)性。上述算法雖然在各自特定的領(lǐng)域有其優(yōu)勢(shì)，但在穩(wěn)態(tài)精度、控制效率、復(fù)雜度等方面很難取得最佳性能，往往只能側(cè)重其中某個(gè)方面。針對(duì)這些不足，本文設(shè)計(jì)了基于線性二次型［6］（LQR）的糾偏控制模型，推導(dǎo)出LQR控制器最優(yōu)解，借助AGV運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，進(jìn)一步推導(dǎo)其控制模型，以提高AGV在不確定環(huán)境下的實(shí)時(shí)性和魯棒性。

2 AGV運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文采用四輪式結(jié)構(gòu)的AGV模型，其中前輪為萬(wàn)向輪，后輪為驅(qū)動(dòng)輪，據(jù)其機(jī)械結(jié)構(gòu)建立AGV偏移模型如圖1所示，OXY是AGV運(yùn)動(dòng)的基坐標(biāo)系，其參數(shù)定義如表1所示。

圖1 AGV循跡偏差模型

表1 參數(shù)定義

上述運(yùn)動(dòng)學(xué)模型［7～8］基于以下預(yù)設(shè)條件：

1）AGV在光滑水平面上做剛性運(yùn)動(dòng)，無(wú)摩擦力；

2）AGV左右驅(qū)動(dòng)輪受力相同，萬(wàn)向輪完全跟隨驅(qū)動(dòng)輪運(yùn)動(dòng)行駛；

3）磁條鋪設(shè)平整連續(xù)；AGV車體質(zhì)量、負(fù)載等干擾因素對(duì)車速的影響忽略不計(jì)。

AGV驅(qū)動(dòng)輪通過(guò)兩個(gè)獨(dú)立的直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)，控制其轉(zhuǎn)速偏差實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向、糾偏等循跡任務(wù)。假設(shè)初始狀態(tài)，AGV在規(guī)定磁條做勻速直線運(yùn)動(dòng)，某一時(shí)刻受干擾因素影響，脫離磁帶發(fā)生偏移，做弧線轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型推導(dǎo)如下。

AGV瞬時(shí)偏轉(zhuǎn)線速度：

由式（1）～（3）可得AGV瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)角速度ω和旋轉(zhuǎn)半徑R：

V分解為

積分得：

發(fā)生偏移dt時(shí)間內(nèi)AGV角度偏差和位置偏差的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為

拉氏變換得：

根據(jù)直流電機(jī)動(dòng)態(tài)過(guò)程的微分方程：可推τm.τe.n¨+τm.n˙+n=Kc.Ua+Kf.Tc出左右輪驅(qū)動(dòng)電機(jī)與電壓之間的關(guān)系表示如下：

Uor、Uol為驅(qū)動(dòng)輪電樞電壓；Tm為響應(yīng)時(shí)間常數(shù)。

根據(jù)上述推導(dǎo)可建立電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)模型，得出相應(yīng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 AGV動(dòng)態(tài)特性結(jié)構(gòu)圖

當(dāng)時(shí)間段dt取極小值時(shí)對(duì)電機(jī)驅(qū)動(dòng)模型線性化，將AGV近似看成做直線或圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)θ≈sinθ，Uor-Uol=ΔU，得到控制系統(tǒng)的近似線性控制關(guān)系如圖3所示。

圖3 小偏差線性化控制變量圖

綜上所述AGV控制變量傳遞函數(shù)：

3 控制系統(tǒng)能控能觀性分析

由上述推導(dǎo)可知AGV運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為

設(shè)為AGV運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變量，ΔU()s是控制系統(tǒng)反饋輸入量，可以得到控制系統(tǒng)狀態(tài)方程為

：x1=ΔV(s);x2=θ(s);x3=Δh(s)

位置偏差Δh為系統(tǒng)的輸出量，則系統(tǒng)輸出方程為y˙=Cx+DΔU；其被控系統(tǒng)狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型可記為

其中已知參數(shù)：Tm=10;L=0.3;V=0.75;則根據(jù)系統(tǒng)能控、能觀性判斷依據(jù)［9］：得到該系統(tǒng)即可控又可觀，系統(tǒng)數(shù)模型建立合理。

4 最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的磁導(dǎo)航AGV糾偏控制模型是依據(jù)磁導(dǎo)航傳感器采集的電信號(hào)來(lái)確定AGV在行駛過(guò)程中的位置和角度偏差，通過(guò)上述控制模型計(jì)算給出適當(dāng)?shù)目刂屏浚钜赃_(dá)到控制目標(biāo)。其最優(yōu)控制器［10～13］設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

由圖4狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖可知引入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)控制規(guī)律為

其中k=[ ]k1k2k3為狀態(tài)反饋增益矩陣。

通過(guò)二次型性能指標(biāo)對(duì)最優(yōu)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，其性能指標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為

由于控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，所以當(dāng)t趨近于無(wú)窮時(shí)，X(t)趨向于0；對(duì)其微分可得：

圖4 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

令k=R-1BTP代 入 式 （17） 可 得 ：=0為（Riccati）黎卡堤方程，P為方程的解。

由上述證明可知最優(yōu)反饋增益矩陣k完全由P確定，在實(shí)際計(jì)算中一般取Q、R為對(duì)角矩陣，利用Matlab中l(wèi)qr函數(shù)：可求出LQR設(shè)計(jì)的控制器數(shù)學(xué)模型為

5 系統(tǒng)仿真分析

通過(guò)Matlab［14］對(duì)上述設(shè)計(jì)的LQR控制器進(jìn)行仿真設(shè)計(jì)，假設(shè)AGV初始運(yùn)行狀態(tài)時(shí)存在偏差為，可得到如圖5所示的初始偏差響應(yīng)曲線，曲線顯示通過(guò)LQR控制器會(huì)調(diào)節(jié)系統(tǒng)收斂至平衡狀態(tài)。為觀察AGV的三個(gè)運(yùn)行狀態(tài)量對(duì)AGV糾偏能力的影響，分別設(shè)初始狀態(tài)為，通過(guò)仿真可得相應(yīng)曲線如圖6所示。

圖5 初始偏差綜合仿真結(jié)果

圖6 初始偏差單一仿真

由仿真曲線對(duì)比分析可知三個(gè)偏差均導(dǎo)致AGV偏離磁條，但位置偏差對(duì)LQR控制器的影響最靈敏，需要快速糾偏，這一點(diǎn)符合設(shè)計(jì)思路，AGV發(fā)生偏移時(shí)磁導(dǎo)航傳感器采集信號(hào)，使能控制芯片進(jìn)行糾偏計(jì)算。因此在設(shè)計(jì)控制器時(shí)需要調(diào)節(jié)配置LQR的控制矩陣系數(shù)對(duì)靈敏度較強(qiáng)的狀態(tài)量快速調(diào)整，從而使AGV快速處于平穩(wěn)運(yùn)行狀態(tài)。

圖7 不同Q影響偏差響應(yīng)曲線

LQR最優(yōu)控制即使得性能指標(biāo)J取得極小值，J的大小取決于狀態(tài)矩陣Q和控制矩陣R。因此在假定初始狀態(tài)不變的條件下，通過(guò)改變矩陣Q和R的值觀察參數(shù)對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線的影響，其中Q矩陣的q1，q2，q3分別關(guān)聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)變量矩陣的三個(gè)參數(shù)ΔV，θ，Δh，是控制器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)誤差的控制，其仿真分析結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知q1，q2，q3的變化影響系統(tǒng)響應(yīng)曲線收斂時(shí)間及靜差變化，其中q1，q2，q3均越小，靜差越小，響應(yīng)時(shí)間也同時(shí)變小；q1越大，靜差越大，響應(yīng)時(shí)間越大；而q2越大，靜差越小，但是系統(tǒng)的響應(yīng)速度隨q2增大而變慢；q3越大則靜差和響應(yīng)時(shí)間均越小。因此，選取狀態(tài)加權(quán)矩陣參數(shù)時(shí)，q1，q2應(yīng)當(dāng)都選擇小于1的值，而q3盡可能的大。所以參數(shù)值的選擇應(yīng)由靜差的大小與響應(yīng)速度的快慢而調(diào)整。通過(guò)大量仿真對(duì)比Q取值如圖8中值可達(dá)到最佳控制效果。

6 PID與LQR控制仿真對(duì)比

通過(guò)上述研究找到相對(duì)優(yōu)越的QR矩陣，運(yùn)用simulink［15］對(duì)系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)塊進(jìn)行設(shè)計(jì)，得到如圖9所示的仿真模型。

圖8 最佳Q偏差響應(yīng)曲線

仿真運(yùn)行得到如圖10所示的曲線收斂對(duì)比圖，從圖中可以看出AGV在PID和LQR的調(diào)整下均可達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，但LQR的狀態(tài)收斂相對(duì)較快，同時(shí)在靜差穩(wěn)定性方面與PID基本相同，因此說(shuō)明最優(yōu)控制器LQR對(duì)AGV在糾偏控制過(guò)程中具有良好的控制性能。

圖9 控制系統(tǒng)仿真模型

圖10 PID與LQR收斂曲線對(duì)比圖

7 結(jié)語(yǔ)

本文首先對(duì)AGV進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，建立AGV循跡偏差模型方程，借助實(shí)際參數(shù)對(duì)控制電機(jī)線性化處理，建立AGV狀態(tài)空間模型，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)基于LQR算法的AGV糾偏控制模型，通過(guò)Matlab仿真驗(yàn)證模型的可控可觀性，通過(guò)仿真曲線對(duì)比分析其對(duì)AGV糾偏控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，找到最佳Q，R矩陣。最后通過(guò)Simulink建立LQR和PID控制模型驗(yàn)證表明，LQR糾偏控制模型具有較好的精確性、快速性和平穩(wěn)性，在工程設(shè)計(jì)時(shí)具有很大的實(shí)踐意義。