運用模型情境教學，提高學生數學素養

丁吉文

數學教學中，數學概念及其性質教學占有重要地位，是數學單元知識教學的基礎與起點。現在這部分教學通常采用設計情境法，這也是數學課程標準倡導的。情境分為問題情境、模型情境、案例情境三種。本文主要就模型情境展開論述，并把它與問題情境進行比較，說明它們各自優勢與必要性。

模型情境教學，就是進行新概念及其性質教學時借助已知模型，關注它們的聯系和應用，創設跨領域的場景，用模型的屬性抽象成新概念屬性的教學方式1。模型情境與問題情境不同，問題情境是通過還原知識發生場景，設置問題鏈引導學生學習。

一、模型情境教學

模型情境教學操作流程：

具體操作（以向量的學習為例）：

第一步，引出新概念，給出定義，分析強調定義的構成要素，讓學生先找感覺，有感性認識。認識效果不必在意，能為進入下一環節提供聯想條件就可以了。向量學習伊始，給出并刻意強調向量定義包含兩個要素，大小和方向。大部分學生對有大小與方向的量不陌生，他們有知識儲備有能力聯想，描繪出向量的幾何模型。

第二步，導出模型，建立新舊知識聯系，確立模型。學生已對新概念有了感性認識，啟發學生，在學習過的知識中，有沒有相關類似知識，如果有，能聯系嗎。這一環節中，教師啟發是必須而且及時的。當學生聯想正確，迅速建立它們關系，確立新概念的數學模型。向量教學，第一步中，學生自然在知識庫中檢索出，物理中速度，位移等量也是有大小與方向的量，它們是向量嗎，它們性質向量是否也具有。教師給出肯定答案時，確立物理中的速度為向量的模型。

第三步，數學模型與新概念進行知識同化。分析新概念與數學模型，揭示它們本質屬性與聯系，指出它們根本上是相同或者相關的，有相同或者相關性質，分析新知識只需知道舊知識這個模型就可以了。列出模型的有關系性質。向量教學中，速度本質上講也是向量，是向量的一種具體形式，而向量是對速度等物理量的一種抽象，所以速度的有關知識可以移植到向量中去。速度的合成，速度的分解等。

第四步，舊知識遷移，把新概念納入到既有知識體系中去，成為學生知識庫的一部分。分析了數學模型有關系屬性，通過遷移得到新概念的屬性，最后學生會發現，新也是舊，核心知識沒變，只是包裝變了，研究對象變了。新概念是舊知識在另外一個領域的呈現，是舊知的拓展與延伸，新還是舊。這樣學生的數學認知結構就擴大了，認知內容豐富了，容量大了。向量學習中，速度也是向量，之前研究的是向量一個個具體對象，現在把它們當成整體來研究了，是知識的拓展不是知識的創新。

二、模型情境的分類與案例

模型情境教學，關鍵是數學模型，首先是要有，然后是用。模型情境中的模型可分為知識內容模型與研究方法模型兩大類

1.知識內容類模型

數學單元中，知識本質相同，即知識體系中核心知識一樣，只不過研究的問題指向與對象不同，就有了不同知識表象和不同名字，我們權且把它們稱知識列。在這個知識列中，如果學習了其中一個，學習其它時，就可以學習過的作模型應用模型情境教學。高中數學，可以稱為知識列的很多，下面做一個小節。

二分系列。一個整體，一分為二，合二為一就又成為一個整體。其來源應該是數學加法原理中的分類原理，體現了中國傳統文化中的二元思想。一分為二數學中頗多出現，高中最先應用是集合關系中的集合互補，把全集分成兩部分，對應兩個集合就是互為補集。在學習概率時，對立事件也體現一分為二思想，整體分成兩個事件，這兩個事件為對立事件。證明中的反證法，結論判定有兩種結果，對與錯，命題學習中的求命題的否定，都是二分原理具體體現。學習了補集后，完全可以以它為模型，用模型情境來學習其它知識，因為本質上講，它們是相同的。

向量與復數（這里向量特指平面向量）。向量與復數是兩個數學概念，給學生感覺它們是不同，它們也的確不盡相同，它們研究不同對象過程中，生出不同分支，但就本質而言，它們都是研究二維數的，主干一樣。數的發展，首先是一維的實數，然后是二維的復數，復數自然是復數，二維向量本質上也是復數，是復數的幾何形式。編排中向量在前，學習復數時就可以向量做為模型。

指數函數與對數函數。指數與對數本質相同ab=N與logaN=b，它們反映三個量a 、b 、N關系沒變，變的只是形式，在學習了指數函數時，就可心指數函數作模型來研究對數函數，特別是其中的a，為什么要分成01兩種情況。

這一類數學模型很多。需要我們老師研究教學，深刻把握教材，我們老師研究到位了，才能在上課時熟練應用。

2.研究方法類模型

大部分人說數學難學，抽象復雜，難得要領，但也有人說數學不難，研究數學方法就那幾種，舉一反三就可以了，不似語文英語要記那么多字詞。后面這種人悟到了數學精髓，學數學，內容上打破知識壁壘，求其本質，學習方法上講復制，相近相同，特點相近的知識，可以用同樣的方法研究。

例如，學習過指數函數后，接著是對數函數，完全可以指數函數為模型研究對數函數，上面講過它們之間數學內容上的模型，現在講的是研究方法模型。指數函數研究方法是做圖，研究圖形特點，得到函數的性質，在研究圖形時，包括函數定義域、值域、函數單調性、奇偶性，是否過特殊點，在學習對數函數時，如法炮制就可以了。學習所有函數性質時，都是如此，包括冪函數，三角函數等。

數列學習中，講完等差數列后，再講等比數列時，研究方法同樣是復制等差數列就可以了。先是定義，然后是數列的通項公式，最后是前N項和，中間穿插數列的性質。

立體幾何學習時，研究方法更加如此，線面平行學習后，其研究方法與過程就可做為模型，來研究其它關系，線面垂直、面面平行、面面垂直。方法都是，先定義，然后判定，然后性質。

我們教師重視數學知識教學，也要重視數學研究方法教學，授人以魚不如授人以漁，學生需要金子，更需要那根點石成金的手指，唯有學生學會能用研究方法，學生才算是學過數學的人，他們不是知識的搬運工，而是知識的建設者。

三、模型情境原則

模型情境在數學概念與性質教學中的作用已經顯而易見，它是培養學生能力，提高學生數學素養的重要保證。提高學生素養不是口號，要能調動學生，讓學生主動研究，把提高學生素養落實到具體教學中去。在調動學生上模型情境起到了發動機作用，學生發動起來了，主動而不是被動參與，余下事情就容易做了。但模型情境也不是任何時候都可以用，要遵守以下原則。

（1）學生主體性原則。數學模型情境教學中，學生是教學過程中的主體，任務的完成主要是靠學生的分析、聯想、類比、遷移來完成的，老師不可越俎代庖，教程中大包大攬，教師只是起到必要及時的引導作用。核心素養下，要求我們老師人僅重視教，還要重視如何學，引導學生會學數學，養成良好的學習習慣，要努力激發學生的學習興趣，促使更多學生熱愛數學2。

（2）內容適用性原則。上面分析過，它在學生知識來源上，是知識的傳承，不是知識的創造，所以在用之前，先清楚是否有模型，沒有就不能生搬硬套，亂點鴛鴦譜，還是要問題情境發揮作用。講指數函數時，其概念就找不到其數學模型，反正我沒找到。

（3）適度性原則。用數學模型情境進行數學概念及性質教學時，能解決一部分問題，不是全部，用數學模型要適度。數學模型溝通的是新舊知識關系，新知識是舊知識的發展，不是簡單重復，它們在解決不同問題過程中衍生出不同的知識體系，不能把它們等同起來，哪怕它們知識本質是相同的。復數與向量都是研究二維數字，但它們后來的研究方法不同，我們用模型只是解決它們在概念與運算這些性質上，不可盲目擴大。

（4）方式方法發展性原則。用數學模型情境時，同一個模型，要隨著知識面的擴展與程度加深而有所以變化，不可一個模型一成不變用下去，要適度增加一些內容，讓模型變得豐富，更實用。指數函數模型用來研究對數函數非常好，但到了三角函數時，要增加函數周期性，三角函數有周期性，指數函數沒有。學習指數函數時，還沒接觸函數的周期性。

模型情境教學要求教師對教材有深刻的認識與理解，唯有如此，才能數學知識之間自如縱橫聯系，互為模型實施教學。正如廚師煮菜，技術有了，還要有食材，沒有食材，廚師煮不出菜，教師沒研究透徹知識間本質關系，也用不好模型情境教學法。所以我們要堅持研究教學與教材，把數學知識融會貫通。這樣，我們才可以把這個工作做得更好，課堂更有效。

責任編輯 徐國堅