“自準直法”測量凸透鏡的曲率半徑與折射率

尹霖

【摘 要】介紹了一種測量凸透鏡曲率半徑及折射率的簡便方法，適用于雙凸、平凸、凹凸透鏡，具有簡便、快速的特點。

【關鍵詞】凸透鏡;曲率半徑;折射率;自準直法;牛頓環

自準直法是測量凸透鏡焦距的一種常用方法，但透鏡在平面鏡和物體間移動的過程中，會在物平面上兩次出現等大倒立實像。用手擋住平面鏡，一個像會消失，另一個像依舊存在：這表明只有第一個像才是自準直法中物體經平面鏡反射而成的像，第二個像則是物體經凸透鏡后表面反射而成的像，與平面鏡無關。通過對凸透鏡后表面反射成像過程的推導，可以得到關于凸透鏡前后兩個表面曲率半徑和折射率的十分簡潔的表達式。

圖1 自準直法中的兩次成像

一、凸透鏡后表面反射成像推導

圖2 成像過程，折射、反射、折射

設凸透鏡前表面的曲率半徑為R1，后表面的曲率半徑為R2，折射率為n，空氣的折射率為1，成像時物體與透鏡的距離為x1，考慮到成像過程分為三步，即前表面折射、后表面反射、前表面再次折射，帶入球面鏡折射、反射成像公式：

■-■=■■+■=■■-■=■

解得：■=■-■

自準直法測得的物方焦距公式：■=-（n-1）（■-■）

可得：■-■=■ ? （1）

將透鏡翻轉180°重復實驗，同樣會出現兩次成像，注意此時前表面的曲率半徑為-R2，后表面的曲率半徑為-R1，成像時物體與透鏡的距離為x2：

■-■=■■+■=■■-■=■

解得：■=■-■

焦距公式：■=-（n-1）（■-■）

可得：■-■=■ ? ?（2）

將（1）（2）再次帶入焦距公式可得：n=■+1 ? ?（3）

由結論（1）（2）（3）可以得到自準直法測量凸透鏡前后表面曲率半徑R1、R2及折射率n的具體步驟：

1.使用自準直法測量透鏡的焦距f;

2.透鏡繼續移動，找到透鏡自身反射成像，測量物體距透鏡的距離x1;

3.將透鏡翻轉180°，重復步驟1、2，測量物體距透鏡的距離x2;

4.將x1、x2、f帶入（1）（2）（3）式即可計算R1、R2、n。

二、實驗測量

1.雙凸透鏡

為了對上述結果進行驗證，首先選取了一塊雙凸透鏡進行了測量，結果如下：

（x1、x2、f不確定的來源為成像的清晰范圍為±5.0mm）

x1、x2、f、R1、R2應遵守球面鏡成像中的符號法則：在透鏡左側為負、右側為正，R1、R2的結果說明此透鏡確為雙凸透鏡，折射率符合常見玻璃的折射率。

2.平凸透鏡

考慮到牛頓環實驗可以測量平凸透鏡的曲率半徑，又選擇了一塊平凸透鏡，分別使用了自準直法和牛頓環方法測量了該透鏡的曲率半徑，結果如下：

（x1、x2、f不確定的來源為成像的清晰范圍為±5.0mm）

結果中R1=∞，很好的說明了透鏡的一面為平面，此時 X2=f物平面上會同時出現兩個倒立實像，這點可以在實驗中看得很清楚，擋住平面鏡一個像消失，另一個像不消失。

（最小二乘法處理，鈉光波長λ=589.3nm）

可以看到兩種方法對于平凸透鏡凸面曲率半徑的測量結果是相當一致的，但自準直法的精度相對較低，這與用肉眼直接判斷成像的清晰程度有關。

3.凹凸透鏡

雙凸透鏡和平凸透鏡的實驗數據表明：透鏡的凸面xf呢？實驗發現確實是這樣的：

（x1、x2、f不確定的來源為成像的清晰范圍為±5.0mm）

結果中R1<0、R2<0說明了透鏡為凹凸透鏡，但實驗時由于x2較大，透鏡與物平面距離較遠光線較弱，需要仔細尋找。

三、結束語

理論推導及實驗說明了自準直二次成像法可以測量各類凸透鏡（雙凸、平凸、凹凸）的曲率半徑和折射率，通過比較二次成像時的距離x和透鏡的焦距f，可以快速判斷凸透鏡的凸、平、凹面，特別是在曲率半徑較大接近平面時，具有簡便、快速的特點。

【參考文獻】

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（陸軍軍事交通學院基礎實驗中心，天津 300161）