在鼓勵中前進 在前進中探索 在探索中完善
——記高三三角函數的一節復習課

任運廣

(云南師范大學附屬中學 650106)

首先，給出例題：

提出要求：請同學們給出盡量多的解法.

同學們進行思考，過段時間后， 我給出第一種解法，

目的有三：其一，活躍課堂氣氛，鼓勵發散思維，間接告訴同學只要能夠得到結果的任何視角，均可與大家分享；其二，肯定跳躍思維，此時思維活躍的同學，在第一時間就能猜得結果；其三，給出結果，明確目標，鼓勵同學們積極參與課堂討論.

待我介紹完，我所謂的解法后，拋磚引玉的效果初現，此時有第一位同學講解了第二種解法，如下：

等同學講解完，適時提出問題：請問同學，你是怎么想到該解法的，或者說該解法中有哪些必然性的規律？

該生在分析的過程中，進行了如下的思維過程：明確目標→轉化問題→方程思想.

該分析得到了同學的認可，教室里也想起了掌聲！

緊接著，繼續詢問，是否還能給出其他的不同解法呢？又一位同學給出了第三種解法，如下：

等該同學講解完，我提出兩個問題：

同學回答：第一個問題，我與第一個同學一樣，希望得到tanα的方程，同時也想到了方程sin2α+cos2α=1，既然是sinα與cosα的比值，將1即sin2α+cos2α放在分母上，此時我希望得到一個齊次方程，于是我想到了平方，第二個問題，步驟中應該進行嚴謹的說明，剛才忽略了，主要是借用了前面的結果.

該同學巧妙地運用了sin2α+cos2α=1，構造出了一個特殊的齊次方程，方法巧妙，聯系緊密，綜合思考能力要求較高，只是步驟書寫有待完善.

此時，又有一位同學給出了另外的解法，如下：

該同學書寫完步驟后，補充到：既然我們要解出sinα與cosα的值，即要得到sinα與cosα的兩個方程，于是由(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα，結合α的范圍可以實現sinα+cosα與sinα-cosα之間的聯系，得到上述的解法.

該方法通過平方這個巧妙的運算技巧，將sinα+cosα與sinα-cosα聯系在一起，得到方程，實現問題的解決，書寫步驟完整.

繼續詢問是否有其他的處理方式，有同學給出以下解法：

該解法從輔助角出發，看似與目標沒有聯系，待處理完第一步時，再結合已知條件，有種豁然開朗的感覺，有點柳暗花明的味道，比較符合處理問題的思維情景，是接地氣的一種解法.

其思維過程簡述為：對已知條件作出自己能做的處理(處理時并不知道能得到什么樣的效果)→再結合已知條件→發現條件與目標之間的聯系→問題得到解決.

通過前面五種方法的講解，同學的思維逐漸活躍起來，處理問題的方式也得到了啟發，參與的熱情越來越高，陸續有同學介紹了幾種如下方法.

上述的兩種處理問題的過程中，共同選擇了萬能公式作為中間過度，實現了條件與結果之間的聯系，問題得到了解決.這種解法要求對萬能公式有一定的認知，要求較高，拓展了同學們的思維視角，讓同學們體會到了三角恒等變換處理過程中變中不變的真諦，激發了同學們對數學學習的熱情.

最后我給出了一個解析的方法如下：

該解法本質上與解法二相同，只是知識展示形式上有所不同，姑且作為一種解法，解法九知識的起點于三角函數的基本概念，回歸本質.

課后反思:高三復習階段，教師選擇例題就應該選擇如本文介紹的例題一樣，可以有處理問題的不同的視角，使不同層次的同學等到相應的發展，通過不同層次視角的探索等到不同的收獲，在收獲中體會學習的快樂！