帶電粒子在正交疊加場中運動問題的研究

胡連冬

(湖南省長沙市寧鄉縣第七高級中學 410635)

本文中的“正交疊加場”是指同一空間中同時存在兩種或兩種以上相互垂直的勻強場，并且其中之一是勻強磁場.當帶電粒子在疊加場中運動時，由于疊加場中存在勻強磁場，粒子受到的合力大小方向不斷變化，導致粒子在疊加場中做變加速曲線運動；這類問題涉及知識的綜合性強，難度系數大，解題能力的要求較高.針對此類問題如何化難為易，成為高三物理復習教學中教師普遍關注的問題.

一、兩種基本方法的論證

1.證明動量定理能確定粒子在勻強磁場中運動的位移

在某一區域內有磁感應強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，一帶電量為+q，質量為m的粒子從O點以初速度V0垂直射入磁場中，當粒子運動到A點時，其速度方向如圖1所示(不計重力)，試分析粒子從O運動到A的時間內，粒子沿X,Y軸方向發生的位移x,y跟粒子速度的關系？

析與證粒子在A點所受洛侖茲力沿X,Y軸方向上的分力為：

fx=BqVyfy=-BqVx

由動量定理得：BqVyΔt=mΔVx

根據微元法：y=∑VyΔt∑mΔVx=mVx-mV0x

x=∑VxΔt∑mΔVy=mVy-mV0y

則：Bqy=mVx-mV0x①

Bqx=-(mVy-mV0y) ②

①②兩式成立的條件是：粒子在X,Y軸方向上只受洛侖茲力，或除洛侖茲力外其他力的合力等于零.

上面①②兩式即為洛侖茲力在X,Y軸上的分力的沖量，跟粒子沿X,Y軸方向上動量的變化關系(動量定理)，其中x、y表示粒子沿x軸和y軸方向上發生的位移；V0x、V0y、Vx、Vy表示粒子沿x軸y軸方向的初末速度.

2.證明用速度分解法能確定粒子在勻強磁場中運動的軌跡

在中學物理問題中，通常復雜的曲線運動可以等效為簡單的直線運動或簡單的曲線運動進行研究.

如圖2所示，在空間存在水平向右的勻強磁場，磁感應強度為B，一帶電量為+q，質量為m的粒子從O點以初速度V0與磁感應強度成θ角方向射入磁場，不計粒子的重力，判斷粒子在磁場中做什么運動？

析與證將初速度V0分解為水平分速V0X=V0cosθ和豎直分速V0y=V0sinθ.由于V0x平行B，故粒子在V0x方向不受力而以V0x速度做勻速直線運動，V0y垂直于B，粒子受洛侖茲力f=BqV0y作用在垂直B的豎直平面內做順時針方向的勻速圓周運動.即粒子的運動是由沿Vox方向上的勻速運動和垂直B平面內的勻速圓周運動組成.

粒子運動軌跡是螺旋線，如圖3所示.

二、方法運用

對于帶電粒子在疊加場中運動問題，只要善于運用動量定理和速度分解法，就能將復雜的問題轉化為學生熟悉的模型，最終突破解題“瓶頸”.

例1如圖4所示，一質量為m、帶電量為q的帶電粒子(重力不能忽略)，以速度V0從上方豎直進入一寬度為d的勻強磁場區域中，磁感應強度為B，試求粒子飛出磁場時與水平方向的夾角θ.

析與解由于粒子在水平方向只受洛侖茲力的分力作用，由動量定理的：Bqd=mVcosθ③

由于洛侖茲力不做功，根據動能定理有：

例2空間存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，質量為m，帶電量為+q的微粒在磁場中由靜止釋放(重力不能忽略)，分析粒子做什么運動？

上述兩例解析分別運用了動量能量的觀點和速度分解法，前者以粒子運動的過程分析為依托，從動量和能量相結合的角度分析問題；后者以粒子的初始條件和初始條件下粒子的受力情況分析為契機，分解粒子的初速度，從合運動與分運動等效的角度解決問題.

三、解題策略

1.已知粒子的運動情況，求其運動狀態，優先動量和能量相結合的觀點解題

例3如圖6所示，空間存在著正交的勻強電場和勻強磁場，電場方向豎直向下，電場強度為E，磁場方向水平且垂直紙面向里，磁感應強度為B，在這疊加場中的O點，有一帶負電的油滴，其質量為m，電量為-q，將油滴由靜止釋放，不計空氣阻力，求油滴運動過程中下落的最大高度和最大速度(設mg>Eq)

析與解根據條件mg>Eq,可知油滴運動到最低位置時速度最大.若油滴運動到最低位置時下降的高度為hm，具有的速度為Vm.由動量定理得：qBhm=mVm⑤

運用動量能量的觀點研究問題時，必須根據帶電粒子在場中的受力情況及各場力的做功情況，判斷粒子的運動狀態具有什么特征(粒子是否具有最大或最小速度，何時運動到最高或最低位置等)，把握洛侖茲力的沖量跟粒子動量的變化關系，列出動量定理和動能定理的表達式，然后解方程組.

2.已知粒子的初始狀態，求其運動情況，優先速度分解法解題

(1)此帶電粒子到達的地方到X軸的最遠距離；

(2)粒子運動軌跡跟X軸相切的點的坐標(不計重力)

故粒子與X軸相切點的坐標是：

速度分解法是從粒子運動的初始條件入手，分析粒子初始狀態及受力情況，對粒子的初速度合理分解，使某一方向的洛侖茲力跟電場力或重力(或電場力和重力的合力)平衡，從而將粒子復雜的運動轉化為簡單的勻速直線運動和勻速圓周運動.

帶電粒子在疊加場中運動問題，在近幾年高考和自主招生考試以及物理競賽中常成為命題的熱點之一.針對這類問題，教師應當以問題探究為載體，運用變式教學法，滲透學生已具備的物理學思想方法，為學生搭建思維平臺，降低問題難度；在教學實踐中，教師要指導學生學會運用“動量、能量的觀點及速度分解的觀點”去研究問題；使學生面對變化多端的問題時，能以變應變，以不變應萬變.