平面向量中三角形外心的教學反思

李云龍

(江蘇省高郵中學 225600)

一、題目呈示

問題出處：南通市2013屆高三第二次調研測試第15題

分析(2)求數量積問題，主要解法是基底分解.

所以當b=1時，c=4；當b=4時，c=1，

圖1

這是本題的難點，很多學生不知如何化簡，由于條件是非特殊三角形，建系方法不好用，所以應朝向量基底分解方向化簡.

二、解題思路

思路二取BC的中點D,則

評注利用外心是三角形三條邊中垂線的交點這一重要性質，進行基底分解，中間也利用了三角形中線向量定理這一常考點.

思路三如下圖所示，取AB的中點D,取AC的中點E,則有：

評注利用外心是三角形三條邊中垂線的交點這一重要性質，進行基底分解.

歸納小結本小問得分率很低，考查學生的轉化能力，注意本題有兩解.

方法歸納有關三角形外心的知識點：

(1)三角形外心是三角形三條邊中垂線的交點—揭示了外心的形成過程；

(2)三角形外心是三角形外接圓的圓心；

(3)銳角三角形的外心在三角形的內部；鈍角三角形的外心在三角形的外部；直角三角形的外心在斜邊的中點處；

三、教學反思

1.反思數學思想方法

數學思想：(1)分類討論思想;(2)轉化化歸思想;(3)數形結合思想；

數學方法：用基底分解——解決數量積問題.

2.反思試題背景來源

2009年全國高中數學聯賽江蘇賽區第8題

解法二特殊化思想，由于題目中沒有指明此三角形形狀，故可以把它看成直角三角形處理.

思路一把角C看成直角，則有

思路二把角A看成直角，則有

評注解法一利用了推導的結論解題；解法二利用了特殊化思想使競賽題目迎刃而解！

3.反思問題變式與拓展

三角形的外心結合向量條件在高考、各類高中競賽和平時考試中是一個亮點，有關這類考題屢見不鮮．請欣賞幾個變式.

評注分解形式不變，只是邊長在變.

評注分解形式需變號，屬于逆向思維.

評注目標分解形式未變，但引進了二次函數求范圍.

變式4 (2013屆遼寧省高三高考壓軸理科數學試卷)

評注利用外心的性質得到三點共線是解決本題的關鍵.

小結解決外心的處理策略，考生注意方法的靈活性、轉化的多樣性，是致勝的關鍵．