例談向量數(shù)量積問題的處理策略

王兆龍

(上海市建平中學(xué) 200135)

一、代數(shù)化

代數(shù)化包括數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示．

1．利用定義

當(dāng)兩向量a、b的模、夾角都比較容易求出時，直接利用定義a·b=|a||b|cosθ計算數(shù)量積，其中θ是向量a、b的夾角．

2．利用坐標(biāo)表示

用坐標(biāo)運算代替向量運算，用代數(shù)方法解決幾何問題．

分析a、b都與e有關(guān)，給定e之后可得a、b的終點軌跡，再借助幾何圖形求解．

二、幾何化

幾何化包括數(shù)量積的幾何意義、向量垂直的數(shù)量積表示和極化恒等式．

1．利用數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積a·b的幾何意義是向量b的模與a在b方向上投影的乘積．特別地，如果b是一個固定的向量，只要求出a在b方向上投影(或范圍)，即可求出a·b的值(或范圍)．

圖2

2．利用向量垂直的數(shù)量積表示

若兩個共起點(終點)向量的數(shù)量積為0，則這兩個向量垂直，且起點(終點)在以兩個終點(起點)連線段為直徑的圓上，可將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解．

例4 (2015上海虹口二模)已知向量a、b滿足|a|=|b|=a·b=2，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，求|2b-c|的最小值．

分析將a、b、c起點重合，利用(a-c)·(b-c)=0研究c的終點軌跡．

圖3

解設(shè)邊BC的中點為D，則

3．利用極化恒等式

三角形中的極化恒等式是借助三角形的邊和中線將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線段長的一組等式，在處理一邊或中線為定長的求數(shù)量積的最值問題中可以大量地簡化運算．

設(shè)D是△ABC邊BC的中點，則

圖4

解由極化恒等式1，

圖5

三、基底化

基底化是指將所求向量用一組基向量表示，用基向量的運算代替所求向量的運算．基向量的選取應(yīng)以盡可能多地知道向量的相關(guān)條件(模、夾角)為原則．

利用平面向量分解定理

解注意到