三角形面積的最值及取值范圍的解法初探

陳 娟

(福建省福州第十一中學 350001)

解三角形是高考數學的必考知識點，主要考查的問題有解三角形、三角形面積的計算及求三角形中的相關量的最值和取值范圍.對于大部分學生而言，“求三角形中的相關量的最值和取值范圍”這類問題是個難點，下面我們以近幾年高考中對三角形面積的最值或者取值范圍的考查為例，探討如何解決此類問題.

此類的問題中的三角形都不是唯一確定的，所以主要有以下兩種類型.

一、已知三角形的一邊及其對角

例1(2014年全國卷Ⅰ理16)已知a,b,c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為____.

解法由a=2,可知

(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，

又根據正弦定理，得(a+b)(a-b)=(c-b)c，

化簡得，b2+c2-a2=bc.

解法2 由正弦定理得：

從本題的題目架設出發，采用解法1的余弦定理結合基本不等式來解決是非常自然的，用解法2的正弦定理構造三角函數顯得有點刻意，但是作為填空題，還是更多的考慮從“對邊對角”這個幾何特征出發，用解法3來解決.

二、已知三角形的一邊及一角(非對角)

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

解法1 由正弦定理得：

本題求的是取值范圍，相對于題1，利用正弦定理構造出三角函數來求解是非常順暢且自然而然的.此外，能否利用已知的邊角特征，用幾何法來解決呢？這也是可以的.

從上面的兩道高考題可知，我們解決三角形面積的最值或者取值范圍的問題，主要有兩種方法，一是抓住這類問題的代數本質，結合正弦定理及余弦定理，用基本不等式或者構造函數的方法來解決；二是找到這類問題的幾何本質，抓住它們的幾何特征，在選填題中可以小題小做，達到事半功倍的效果.