圓錐曲線離心率的取值范圍問題的求解方法

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

求圓錐曲線的離心率的取值范圍的問題，是圓錐曲線中的一類重要的問題，這類問題涉及多個知識點，綜合性強，解法靈活且多種多樣.學生在解答這類問題時，許多同學感到不知從何入手.這類問題主要涉及到函數與方程、數形結合、轉化與化歸等數學思想方法.解決這類問題的關鍵是，如何挖掘尋找問題中的不等關系,構造出關于a，b，c的不等式;如何挖掘尋找問題中的變量,建立離心率e關于題設中變量的函數.本文試圖通過實例對如何構造出關于a，b，c的不等式和如何建立離心率e關于題設中變量的函數，將問題轉化為解關于離心率e的不等式，求以離心率e為函數值的函數的值域問題，作一些歸納、總結、探析，以饗讀者.

一、利用圓錐曲線的范圍，建立關于a，b，c的不等式

先運用方程思想，用a，b，c表示出圓錐曲線上點的橫坐標或縱坐標，然后利用圓錐曲線的范圍建立關于a，b，c的不等式，進而轉化為關于離心率e的不等式，解此關于離心率e的不等式，問題獲解.

二、利用已知條件中的參數表示出圓錐曲線的離心率，建立函數關系式

先利用已知條件中的參數表示出圓錐曲線的離心率，即將離心率轉化為參數的函數，進而將問題轉化為求函數的值域問題，然后注意到參數的范圍，求出函數的值域，從而問題獲解.

三、利用三角函數的范圍，建立關于a，b，c的不等式

先運用方程思想，用a，b，c表示出變量角α的正弦或余弦，然后利用三角函數的范圍(有界性)建立關于a，b，c的不等式，進而轉化為關于離心率e的不等式，解此關于離心率e的不等式，問題獲解.

四、利用已知條件中的不等式或范圍，建立關于a，b，c的不等式

充分考慮已知條件中的不等式或范圍與a，b，c的關系，由此去建立關于a，b，c的不等式，進而轉化為關于離心率e的不等式，解此關于離心率e的不等式，問題獲解.

五、利用判別式，建立關于a，b，c的不等式

若直線與圓錐曲線有兩個不同的交點，則將直線方程與圓錐曲線方程聯立后，判別式大于零，由此建立關于a，b，c的不等式，進而轉化為關于離心率e的不等式，解此關于離心率e的不等式，問題獲解.

例5斜率為2的直線過中心在原點且焦點在x軸上的雙曲線的右焦點，與雙曲線的兩個交點分別在左、右兩支上，則雙曲線離心率的取值范圍是( ).

六、利用均值不等式，建立關于a，b，c的不等式

利用均值不等式，建立關于a，b，c的不等式，進而得關于離心率e的不等式，問題獲解.

評注解答本題的關鍵是利用均值不等式，尋找到a，b，c之間的不等關系式，從而獲解.

七、利用三角形性質，建立關于a，b，c的不等式

利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，同時注意到等號是否會成立，由此建立關于a，b，c的不等式，進而轉化為關于離心率e的不等式，解此關于離心率e的不等式，問題獲解.

評注根據三角形中恒有“兩邊之和大于第三邊”這一簡單的性質，是建立a，b，c之間的不等關系式的關鍵.

八、利用漸近線的性質，建立關于a，b，c的不等式

利用幾何方法、漸近線的幾何特性，建立關于a，b，c的不等式，進而轉化為離心率e的不等式，解此關于離心率e的不等式，問題獲解.

A. (1，2] B. (1，2) C. [2，+∞) D. (2，+∞)

解析此題可以用代數方法求解，即將直線與雙曲線方程聯立，根據判別式就可確定離心率的取值范圍.但計算比較繁瑣，因此考慮用幾何方法，利用漸近線的幾何特性，去求離心率的取值范圍.

評注漸近線控制著雙曲線的形狀，這與離心率控制著雙曲線的形狀有著異曲同工之妙，知道了這點，許多求雙曲線離心率的取值范圍的問題就可以利用漸近線的性質來很快且輕松地解決了.

圓錐曲線的離心率的取值范圍問題的求解方法，并非僅有上面介紹的8種方法，這8種方法僅是基本的、重要的、常見的、常用的方法，除此之外還有數形結合法、參數法等等，并且這些方法并非彼此孤立，在很多時候需要綜合運用才能解決問題.限于篇幅，其它方法在此不再贅述，留給讀者在學習中探究.但是，若能掌握這8種方法，可以說，解決這類問題就沒有問題了.