一道圓錐曲線高考題的探究與發(fā)現(xiàn)

喻秋生

(廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部 518055)

一、問題的提出

2018年高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理科第19題、文科第20題都是關(guān)于兩角相等問題，試題如下：

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB．

文科：設(shè)拋物線C：y2=2x，點(diǎn)A(2,0)，B(-2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn)．

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN．

在理科試題中，給出的點(diǎn)F、點(diǎn)M以及文科試中題給出的點(diǎn)A、點(diǎn)B都是特殊點(diǎn)，如果這些點(diǎn)是坐標(biāo)軸上任給的定點(diǎn)，結(jié)論又會(huì)怎樣呢？我們先對(duì)橢圓提出下列問題：

二、問題的探究

我們先討論點(diǎn)M在x軸上情況，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，直線l與C的兩交點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱，要使得∠NMA=∠NMB，則點(diǎn)N在x軸上．

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為M(m,0)(|m|>a)，點(diǎn)N坐標(biāo)為N(n,0)(|n|

∵當(dāng)∠NMA=∠NMB時(shí)，kMA+kMB=0，

接下來我們對(duì)點(diǎn)M在y軸上的情況進(jìn)行探究．根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，當(dāng)l平行于x軸時(shí)，直線l與C的兩交點(diǎn)A,B關(guān)于y軸對(duì)稱，要使得∠NMA=∠NMB，則點(diǎn)N在y軸上．設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為M(0,m)(|m|>b)，點(diǎn)N坐標(biāo)為N(0,n)(|n|

∵當(dāng)∠NMA=∠NMB時(shí)，kMA+kMB=0，

因此，我們得到下面結(jié)論：

在結(jié)論1中，點(diǎn)M在橢圓外，點(diǎn)N在橢圓內(nèi)，或者點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，點(diǎn)N在橢圓外，我們可類似地推出下列結(jié)論(證明略)．

三、問題的推廣

前面我們對(duì)橢圓中這類問題進(jìn)行了探究，用同樣的方法對(duì)雙曲線、拋物線進(jìn)行探究，可以得出類似的結(jié)論(證明過程略)．

結(jié)論5 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，M(-m,0)(m>0)為定點(diǎn)，則存在唯一點(diǎn)N(m,0)，使得過點(diǎn)N任作直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn)時(shí)，均有∠NMA=∠NMB．

結(jié)論6 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，M(m,0)(m>0)為定點(diǎn)，則存在唯一點(diǎn)N(-m,0)，使得過點(diǎn)N任作直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn)時(shí)，均有∠OMA=∠xMB．

三、問題的再推廣

在前面的結(jié)論中，點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，如果點(diǎn)M是平面上任意點(diǎn)，那么滿足條件的點(diǎn)N是否仍然存在？經(jīng)過探究，我們又有下列結(jié)論(證明過程略)．