探析2019年全國Ⅰ卷文科第20題

張兵源

(福建省漳州市教育科學研究院 363000)

一、試題呈示

題目已知函數f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導函數.(1)證明:f′(x)在區間(0,π)存在唯一的零點；(2)若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.

試題分析2019年高考新課標Ⅰ卷文科第20題,以三角函數為載體考查導數的應用.試題平和——表述簡明,言簡意賅;穩定——平穩過渡,風采依舊.試題分為兩步,具有梯度性,層次感強,既能夠讓不同的考生都有所收獲,也能夠讓優秀的學生脫穎而出.第一小題證明導函數存在唯一的零點,需要借助導數工具結合零點存在性定理求證;第二小題已知恒成立問題求參數的取值范圍,融函數,導數,不等式等眾多知識點于一體,深刻體現了對學生能力考查,對中學數學教學有良好的導向作用.實際解題時,對考生運用所學知識尋找合理的解題策略和考生的邏輯思維,運算求解能力都提出很高的要求,能有效地反映考生的思維層次的高低,給優秀學生提供充分施展才能的空間.

二、試題解析

1.對第一小題的解析

思路1直接法

f′(x)=cosx+xsinx-1，記g(x)=f′(x)，轉化為證明g(x)在(0,π)存在唯一的零點.

g′(x)=xcosx，

所以f′(x)在(0,π)存在唯一的零點,得證.

點評思路1對f(x)求導,得到導函數f′(x),將f′(x)看成一個新的函數g(x),對g(x)再求導,借助導數考察g(x)的單調性,結合零點存在性定理證明出g(x)在(0,π)存在唯一的零點.思路清晰自然,直奔目標,迅速求解.

思路2間接法

令f′(x)=0,得cosx+xsinx-1=0,即cosx+xsinx=1.

記φ(x)=cosx+xsinx,轉化為證明直線y=1與曲線φ(x)=cosx+xsinx在(0,π)有唯一一個交點.

φ′(x)=xcosx,

又φ(0)=1,φ(π)=-1<0,畫出曲線φ(x),如圖1所示.

圖1

故直線y=1與曲線φ(x)=cosx+xsinx在(0,π)只有一個交點,得證.

點評思路2借助函數與方程思想,將問題轉化為證明直線與曲線有一個交點,是數形結合思想的深刻體現.

2.對第二小題的解析

思路1由f(x)≥ax,得2sinx-xcosx-x-ax≥0.

記g(x)=2sinx-xcosx-x-ax,則g(x)≥0.顯然g(0)=0,g(π)=-aπ.

g′(x)=cosx+xsinx-a-1,g″(x)=xcosx.

g′(0)=-a,g′(π)=-2-a.

若-a<0,即a>0時,必存在δ>0,當x∈(0,δ)時,g′(x)<0,g(x)在x∈(0,δ)單調遞減,g(x)

若-a≥0,即a≤0時,

當-2-a≥0,即a≤-2時,g′(x)≥0,g(x)在x∈(0,π)單調遞增,g(x)≥g(0)=0,符合題意.

當x∈(0,x0)時,g′(x)>0,g(x)在x∈(0,x0)單調遞增；

當x∈(x0,π)時,g′(x)<0,g(x)在x∈(x0,π)單調遞減.

又g(0)=0,g(π)=-aπ≥0.

所以g(x)≥0,符合題意.綜上有a≤0.

點評思路1是構造出一個新的函數g(x),求導,對參數a進行分類討論.難點在于如何找到討論的點.由于g′(0)=-a,g′(π)=-2-a,所以不難想到必須對這兩個端點值與零進行分類討論.

思路2由f(x)≥ax,得2sinx-xcosx-x-ax≥0.

記g(x)=2sinx-xcosx-x-ax,則g(x)≥0.顯然g(0)=0.

g′(x)=cosx+xsinx-a-1,令g′(0)≥0,得a≤0.

下證當a≤0時有g(x)≥0.

當a≤0時,g′(x)=cosx+xsinx-a-1,g″(x)=xcosx.

g′(0)=-a≥0,g′(π)=-2-a.

當-2-a≥0,即a≤-2時,g′(x)≥0,g(x)在x∈(0,π)單調遞增,g(x)≥g(0)=0,符合題意.

當x∈(0,x0)時,g′(x)>0,g(x)在x∈(0,x0)單調遞增；

當x∈(x0,π)時,g′(x)<0,g(x)在x∈(x0,π)單調遞減.

又g(0)=0,g(π)=-aπ>0.

所以g(x)≥0,符合題意.

綜上有a≤0.

點評思路2先求出符合題意的必要條件再驗證充分性.由于g(x)在端點處的函數值剛好是零,且g(x)≥0恒成立,因此必有g′(0)≥0,從而解出a≤0.但是還必須證明a≤0就是使得g(x)≥0恒成立的參數a的取值范圍.

思路3當x=0時,有0≥a·0,a∈R.

記T(x)=2xcosx-2sinx+x2sinx,T′(x)=x2cosx.

T(0)=0,T(π)=-2π<0.

當x∈(0,x0)時,T(x)>0,φ′(x)>0,φ(x)在x∈(0,x0)單調遞增；

當x∈(x0,π)時,T(x)<0,φ′(x)<0,φ(x)在x∈(x0,π)單調遞減.

又φ(π)=0,畫出φ(x)的圖象,如圖2所示.

圖2

所以φ(x)的最小值為0,故a≤0.

綜上有a≤0.

點評思路3是分離變量轉化為求函數的最值.將參數a與變量x分離,轉化成a≤φ(x)min.由于φ(x)的最值在端點處往往取不到,所以需要借助極限的知識或者洛必達法則求解.

思路4由第一小題知f′(x)在(0,π)存在唯一的零點,設為x0.且當x∈(0,x0)時,f′(x)>0,f(x)在(0,x0)單調遞增;當x∈(x0,π)時,f′(x)<0,f(x)在(x0,π)單調遞減.又f(0)=f(π)=0,即當x∈[0,π]時,f(x)≥0.又有?x∈[0,π]時,f(x)≥ax.所以a≤0.綜上有a≤0.

思路5由題意有f(π)≥aπ,又f(π)=0,所以aπ≤0,即a≤0.由第一小題知f′(x)在(0,π)存在唯一的零點,設為x0.且當x∈(0,x0)時,f′(x)>0,f(x)在(0,x0)單調遞增;當x∈(x0,π)時,f′(x)<0,f(x)在(x0,π)單調遞減.又f(0)=f(π)=0,即當x∈[0,π]時,f(x)≥0.又當a≤0,x∈[0,π]時,ax≤0.所以f(x)≥ax.綜上有a≤0.

三、試題變式

變式1已知函數f(x)=ex,g(x)=x2+ax-2xsinx+1.

解析(1)略.(2)由已知有ex-x2-ax+2xsinx-1≥0.

設h(x)=ex-x2-ax+2xsinx-1,則h(x)≥0.顯然h(0)=0.

h′(x)=ex-a-2x+2sinx+2xcosx.令h′(0)≥0得a≤1.

下證當a≤1時有h(x)≥0.

當a≤1時,h′(x)=ex-a-2x+2sinx+2xcosx.顯然ex-a≥0.

記T(x)=-2x+2sinx+2xcosx.由00.

故h′(x)>0.所以h(x)在x∈[0,1)單調遞增,h(x)≥h(0)=0.

綜上,a≤1.

(1)求函數f(x)和g(x)的解析式；

解析(1)f(x)=cos2x,g(x)=sin2x.(過程略)

則h′(x)=cosx+cosxcos2x+2sin2x(2-sinx).

因此,存在唯一的x0符合題意.

四、教學啟示

全國卷導數壓軸試題不管文科還是理科,試題都能夠延續往年全國卷試題中導數壓軸題的形式與命題風格,表述簡潔,內涵豐富,以學生熟悉的一次函數,二次函數,三角函數及對數型函數,指數函數的組合為載體,以函數的單調性為背景,將函數,方程與不等式等融匯聯系在一起,考查函數極值的概念,導數的運算法則,考查考生運用導數工具靈活分析問題與解決問題的能力.

本道文科高考試題所涉及到的知識點與求解方法體現了高考不回避熱點問題,不回避學生平時常考的考點,常用的方法.這就啟發我們在高三復習時一定要講透題型及其相應的求解策略.比如對于本題的第二小題是常見的恒成立問題求參數的取值范圍,如果教師在平時的復習時能夠把此類題型的求解方法講解清楚,學生就能夠內化成自己的能力,從而精準提分.

除此以外,教師要加強對數學問題的探究性教學,重視變式訓練,注重對同一個習題多個知識點的改編,重組和變式,訓練和優化學生的思維品質.要樹立備考以提升學生數學學科核心素養為出發點,全方位地培養學生的綜合處理數學問題的能力,讓學生在教學活動中體驗數學活動經驗,掌握數學本質,感受數學思想,學會數學地思考問題,用數學的眼光觀察,分析和解決問題.