圓錐曲線(xiàn)中直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題探析

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué) 730900)

“定點(diǎn)”問(wèn)題是圓錐曲線(xiàn)常考題型，注重知識(shí)的綜合，更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法，難度較大，縱觀近幾年高考，圓錐曲線(xiàn)中直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題頻頻出現(xiàn)，下面類(lèi)比探析其相似性.

命題1 已知拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)，過(guò)定點(diǎn)(t，0)(t>0)且不垂直于x軸的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，則在x軸上存在點(diǎn)P(-t，0)，使得∠OPM=∠OPN.

例1(2018全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ文)設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=2x，點(diǎn)A(2，0)，B(-2，0)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與C交于M，N兩點(diǎn)．

圖1

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN．

解(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=2，代入y2=2x， ∴M(2,-2),N(2,2)或M(2,2),N(2,-2),∴BM的方程為：2x+x+2=0或2y-x-2=0.

∴kBM=-kBN,∴∠ABM=∠ABN.

拓展已知拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)，過(guò)定點(diǎn)(t，0)(t<0)且不垂直于x軸的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，則在x軸上存在點(diǎn)P(-t，0)，使得∠OPM+∠OPN=180°.

命題2 已知拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)，點(diǎn)P(-t，0)(t>0).設(shè)不垂直于x軸的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，若∠OPM=∠OPN，則直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(t，0).

(1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線(xiàn)方程；

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由.

(2)存在符合題意的點(diǎn).證明如下：

設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直線(xiàn)PM，PN的斜率分別為k1,k2.

將y=kx+a代入C的方程整理得x2-4kx-4a=0.

∴x1+x2=4k,x1x2=-4a.

當(dāng)b=-a時(shí)，有k1+k2=0，則直線(xiàn)PM的傾斜角與直線(xiàn)PN的傾斜角互補(bǔ)，故∠OPM=∠OPN，所以P(0,-a)符合題意.

得(b2+a2k2)x2-2a2k2tx+a2(k2m2-b2)=0，

圖2

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知A,B為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，作不平行于坐標(biāo)軸且不經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)PQ，與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，若滿(mǎn)足∠AFP=∠BFQ，求證：直線(xiàn)PQ橫過(guò)一定點(diǎn).

解(1)依題意知l:y=x-c， ①