鱉臑的形狀

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

題1 (2015年高考湖北卷理科第19題)《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．

如圖1，在陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F，連接DE，DF，BD，BE.

(1)證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結論)；若不是，說明理由．

分析老師如何給學生講解這道高考題呢？下面重點分析第(1)問的后半部分.

學生容易理解“將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬”，而難以理解“將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑”.

“鱉臑”長什么樣，有“鱉臑”這樣的幾何體(四個面都為直角三角形的四面體)嗎？

下面我們來想辦法構造出鱉臑即四個面都為直角三角形的四面體.這自然會想到如圖2所示的“墻角四面體OABC”：其中三條射線OA,OB,OC兩兩互相垂直(因而△OAB,△OBC,△OCA均是直角三角形).若△ABC也是直角三角形，則四面體OABC就是鱉臑.但我們可以證明△ABC是銳角三角形：

設OA=a,OB=b,OC=c，由勾股定理可得

AB2+AC2-BC2=(a2+b2)+(a2+c2)-(b2+c2)=2a2>0

在△ABC中，再由余弦定理可得

因而∠BAC是銳角.同理，可得∠ABC,∠ACB均是銳角，所以△ABC是銳角三角形.

說明由這種方法不能構造出鱉臑.必須另想它法.

借助長方體(長方體是一種常用的立體幾何模型：它處處是“垂直”——有相交直線垂直，還有異面直線垂直；有直線與平面垂直，還有平面與平面垂直.它處處是“平行”——有直線與直線平行，還有直線與平面平行、平面與平面平行.還有異面直線、正四面體、“墻角四面體”等等圖形.它們在解題時均很有用)來構造鱉臑是一種好方法：因為長方體中有很多直角，鱉臑的各個面都是直角三角形.可能有的同學已經得到了答案——放置在如圖3所示的長方體中的四面體ABCD就是鱉臑：

在鱉臑ABCD即三棱錐A-BCD中，∠BCD=90°，棱AB⊥底面BCD(且垂足是底面△BCD的銳角頂點，一定不會是直角頂點C，這是在圖2中已經獲證的).

還有其他現狀的鱉臑嗎？答案是否定的.

在如圖4所示的鱉臑ABCD中，可設六條棱長分別是AD=a,AC=b,AB=c,DB=d,DC=e,BC=f.

(1)先證：在鱉臑的各個頂點處的三個角，至少存在一個頂點處有兩個角是直角.

否則，在如圖4所示的鱉臑ABCD的每個頂點處的三個角中，均有且僅有一個是直角(在下面的解答中，將反復運用這一假設).

在△BCD中可不妨設∠BCD=90°(可得d>e,d>f)，因而∠ACD≠90°,∠ACB≠90°.

在△ABC中，因為∠ACB≠90°，所以∠CAB=90°或∠ABC=90°.

若∠CAB=90°，可得f>b,f>c，因而d>f>c,d>c，所以在△ABD中，AB=c不是最大邊，∠ADB不是最大角，因而∠ADB<90°，可得∠ABD=90°.

可得鱉臑ABCD在點D處的三個角中只可能是∠ADC=90°，進而可得a>d>f>b>a，這不可能！所以∠ABC=90°.

因而在△ABD中，∠ABD≠90°，所以∠BAD=90°或∠ADB=90°.

若∠BAD=90°，可得鱉臑ABCD在點D處的三個角中只可能是∠ADC=90°，這樣就得到空間四邊形ABCD的四個內角均是直角，這將與“第八屆(1976年)加拿大數學奧林匹克競賽試題)在四邊形ABCD中，∠ABC,∠BCD,∠CDA,∠DAB都是直角，求證：四邊形ABCD是矩形”的結論(實際上，可以證明“空間四邊形的內角和小于周角”)相矛盾！所以∠ADB=90°.

可得鱉臑ABCD在點A處的三個角中只可能是∠DAC=90°，進而可得c>d>e>b>c，這不可能！

證畢！

(2)再證：

定理鱉臑就是從一個Rt△BCD(可不妨設∠BCD=90°)的銳角頂點(可不妨設為點B)處作平面BCD的垂線段BA而后得到的四面體ABCD，鱉臑也是恰好是在兩個頂點處的三個角中均恰有兩個角是直角的四面體.

證明由(1)的結論可知，在如圖4所示的鱉臑ABCD中，至少存在一個頂點處的三個角中有兩個角是直角.

可不妨設在點C處的三個角中有兩個角是直角，由“墻角四面體”不是鱉臑知，可不妨設∠ACB=∠BCD=90°,∠ACD≠90°，則在△ACD中，∠CAD=90°或∠ADC=90°.

① 若∠CAD=90°，可得∠ABD=90°或∠ADB=90°或∠BAD=90°.

若∠ABD=90°，可得a>d>e>a，這不可能！

若∠ADB=90°，由BC⊥AC,BC⊥CD，可得BC⊥平面ACD，所以AD⊥BC.再由AD⊥DB，可得AD⊥平面BCD,AD⊥CD，這將與AD⊥AC矛盾！

若∠BAD=90°，此時得到的鱉臑ABCD與圖3中的鱉臑實質是一樣的：從Rt△DAC(∠DAC=90°)的銳角頂點C作直線CB⊥平面ACD得到的四面體ABCD.

② 若∠ADC=90°，可得∠ABD=90°或∠BAD=90°或∠ADB=90°.

若∠ABD=90°，可得b>a>c>b，這不可能！

若∠BAD=90°，可得BC⊥平面ACD，所以AD⊥BC.再由AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC,AD⊥AC.

又因為AD⊥CD，所以A,C,D三點共線，這不可能！

若∠ADB=90°，此時得到的鱉臑ABCD與圖3中的鱉臑實質是一樣的：從Rt△DAC(∠ADC=90°)的銳角頂點C作直線CB⊥平面ACD得到的四面體ABCD.

下面再來解答題1的第(1)問：

可先作出如圖5所示的鱉臑WXYZ，其中∠XYZ=90°,WZ⊥平面XYZ.

我們由圖5這個模型來求解第(1)問的后半部分：

可得∠DEF=90°(由AD⊥平面PDC,AD∥BC，可得BC⊥平面PDC,DE⊥BC；又由DE⊥PC，可得DE⊥平面PBC，所以DE⊥EF)，再由第(1)問的前半部分證得的結論“PB⊥平面DEF”，可得：若題1中的四面體DBEF是鱉臑，則其頂點D，B，E，F分別對應著圖5中鱉臑WXYZ的頂點X,W,Y,Z.

易知圖5中鱉臑WXYZ中各個面的直角分別是∠XYW,∠XYZ,∠YZW,∠XZW，因而題1中的四面體DBEF各個面的直角分別是∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

再來解答題1的姊妹題就很容易了：

題2 (2015年高考湖北卷文科第20題)《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．

在如圖6所示的陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點E是PC的中點，連接DE，BD，BE.

(1)證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結論)；若不是，請說明理由．