“有理數(shù)”單元的“二進(jìn)制”學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)

鄭子杰/北京市十一學(xué)校教師

在2017 版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)概括為：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。雖然在數(shù)學(xué)課程中或多或少地都體現(xiàn)了這些內(nèi)容，但是找到落實(shí)核心素養(yǎng)的最佳載體則會(huì)事半功倍。例如，在初中數(shù)學(xué)的“有理數(shù)”單元，就是落實(shí)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”學(xué)科核心素養(yǎng)的一個(gè)特別好的載體。

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。通俗地講，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)就是希望學(xué)生通過中學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，掌握一些數(shù)學(xué)中常見數(shù)域（如有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)）的基本運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律，逐步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，最終能夠有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題。

“有理數(shù)”單元是學(xué)生從小學(xué)升入中學(xué)后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個(gè)單元。顧名思義，“有理數(shù)”單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容包含有理數(shù)、有理數(shù)的四則運(yùn)算以及交換律、結(jié)合律、分配律等運(yùn)算規(guī)律。具體而言，“有理數(shù)”單元就是將小學(xué)的非負(fù)數(shù)拓展到有理數(shù)域。掌握有理數(shù)這個(gè)新數(shù)域所產(chǎn)生的新的運(yùn)算——負(fù)數(shù)運(yùn)算和絕對(duì)值，就成了“有理數(shù)”單元的重點(diǎn)內(nèi)容。基于上述理解，我們將“有理數(shù)”單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)為：理解和熟練掌握負(fù)數(shù)的運(yùn)算以及絕對(duì)值的運(yùn)算，并借助數(shù)軸輔助運(yùn)算。

為了幫助學(xué)生完成單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)，我們對(duì)于整個(gè)單元采用了常規(guī)教學(xué)與“二進(jìn)制”拓展學(xué)習(xí)任務(wù)相結(jié)合的方式。通過常規(guī)教學(xué)，學(xué)生掌握了負(fù)號(hào)和絕對(duì)值的定義和運(yùn)算規(guī)則，學(xué)生通過習(xí)題演練，能夠逐漸熟悉這些新的運(yùn)算，提升運(yùn)算能力。但是，對(duì)于“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅僅是對(duì)運(yùn)算熟練度的培養(yǎng)，還包括對(duì)于運(yùn)算本身的理解。

為了幫助學(xué)生加深對(duì)運(yùn)算的理解，我們?cè)凇坝欣頂?shù)”這個(gè)單元，除了常規(guī)的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)外，還設(shè)計(jì)了“二進(jìn)制”的拓展學(xué)習(xí)任務(wù)。“二進(jìn)制”的學(xué)習(xí)任務(wù)，概括來講，就是讓學(xué)生圍繞“計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制表示和運(yùn)算規(guī)則”進(jìn)行一系列研究性學(xué)習(xí)任務(wù)。

能夠用來設(shè)計(jì)任務(wù)的“數(shù)域”有很多，為什么要選擇計(jì)算機(jī)中的“二進(jìn)制”呢？

首先，二進(jìn)制是現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)中使用的數(shù)的表示方式。無線通信、人工智能等這個(gè)時(shí)代最先進(jìn)的領(lǐng)域都無法繞過“二進(jìn)制”的思想，例如，編碼中的伽羅華域、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的激活函數(shù)等。

學(xué)生小組合作過程和學(xué)生設(shè)計(jì)的“二進(jìn)制”原碼、補(bǔ)碼的數(shù)軸

其次，計(jì)算機(jī)中的“二進(jìn)制”能夠承載“提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)、讓學(xué)生真正理解運(yùn)算”這個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)。在主流的計(jì)算機(jī)教材中，主要偏重編碼的操作過程，不會(huì)從“數(shù)域”和“運(yùn)算”的角度做更深的闡釋。所以，學(xué)生無法直接拷貝現(xiàn)有的資料，只能沉下心來去探究這個(gè)“二進(jìn)制”數(shù)域和運(yùn)算本身。例如：在對(duì)于負(fù)數(shù)運(yùn)算的理解方面，“有理數(shù)”單元中用一個(gè)“小橫杠-”來表示負(fù)號(hào)，而在計(jì)算機(jī)的“二進(jìn)制”中（以補(bǔ)碼為例），需要用對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)來表示一個(gè)負(fù)數(shù)。雖然“小橫杠-”不存在了，但是“負(fù)數(shù)”的含義和相關(guān)的運(yùn)算依舊存在。學(xué)生如果想要完成這個(gè)任務(wù)，就需要對(duì)負(fù)數(shù)和絕對(duì)值的運(yùn)算有更深層次的理解。

二進(jìn)制補(bǔ)碼對(duì)于負(fù)數(shù)的定義如此復(fù)雜，作為初一的學(xué)生能夠理解嗎？

如果從“有理數(shù)”數(shù)域直接遷移到計(jì)算機(jī)“二進(jìn)制”補(bǔ)碼數(shù)域，即使是對(duì)于很多計(jì)算機(jī)專業(yè)的大學(xué)生，也是十分困難的。所以，為了能夠讓學(xué)生平穩(wěn)順利地從課內(nèi)學(xué)習(xí)拓展到“二進(jìn)制”學(xué)習(xí)任務(wù)，就需要把任務(wù)拆解為若干個(gè)難度和認(rèn)知水平逐漸上升的子任務(wù)。我們的“二進(jìn)制”學(xué)習(xí)任務(wù)拆成三個(gè)子任務(wù)進(jìn)行。

首 先，在子任務(wù)1中，我們先讓學(xué)生去研究普通的二進(jìn)制表示的有理數(shù)域以及二進(jìn)制下的四則運(yùn)算。二進(jìn)制表示的有理數(shù)域與十進(jìn)制表示的有理數(shù)域的唯一區(qū)別是，在十進(jìn)制有理數(shù)域下，數(shù)用阿拉伯?dāng)?shù)字“0”到“9”表示，而在二進(jìn)制下，數(shù)只用“0”和“1”兩個(gè)數(shù)字表示，這個(gè)子任務(wù)的目的是讓學(xué)生熟悉用“0”和“1”兩個(gè)符號(hào)表示數(shù)。

然后，在子任務(wù)2 中，學(xué)生需要去研究計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制原碼以及原碼的運(yùn)算。原碼與普通二進(jìn)制的兩個(gè)區(qū)別是：“位數(shù)有限”的限定和用“1”代替“小橫杠-”表示負(fù)數(shù)。通過這個(gè)任務(wù)，學(xué)生去研究一個(gè)含有無限個(gè)元素的數(shù)域及其運(yùn)算上升到包含有限元素的數(shù)域，同時(shí)，用另一種符號(hào)“1”來表示“負(fù)”的含義。

最后，才是讓學(xué)生去探究二進(jìn)制補(bǔ)碼以及補(bǔ)碼的運(yùn)算，學(xué)生需要在子任務(wù)1 和2 的基礎(chǔ)上，探究循環(huán)數(shù)域中負(fù)數(shù)運(yùn)算和絕對(duì)值運(yùn)算的含義。對(duì)于每一個(gè)子任務(wù)的探究，我們都要求學(xué)生進(jìn)行一遍研究新數(shù)域的流程：先研究數(shù)域中的數(shù)的特征，再研究該數(shù)域中的運(yùn)算特征，最后再去設(shè)計(jì)圖形化的工具（如數(shù)軸）直觀理解運(yùn)算。

我們將這項(xiàng)任務(wù)作為為期一個(gè)月的課外拓展作業(yè)布置給學(xué)生。完成的形式是小組合作，要求學(xué)生們組成不超過四個(gè)人的小組完成任務(wù)，遇到困難時(shí)，可以在下午自由活動(dòng)時(shí)間進(jìn)行充分討論。同時(shí)，我們也提供一些涉及“二進(jìn)制”的知識(shí)網(wǎng)站鏈接，供學(xué)生們根據(jù)需要自行選擇學(xué)習(xí)，從而培養(yǎng)他們現(xiàn)代化工具的使用以及信息查詢提取的能力。在任務(wù)結(jié)束的時(shí)候，要求每一位學(xué)生填寫“自我評(píng)價(jià)表”，來沉淀和反思自己的收獲。最后，我們會(huì)把任務(wù)的整體設(shè)計(jì)思路、背景知識(shí)以及學(xué)生們?nèi)蝿?wù)完成中的閃光點(diǎn)進(jìn)行整理，以講座的形式與學(xué)生們分享。

從效果上看，這次任務(wù)充分實(shí)現(xiàn)了預(yù)期目的，讓學(xué)生們學(xué)會(huì)“如何去研究一個(gè)新的數(shù)域和數(shù)域中的運(yùn)算”。例如，有的學(xué)生深刻地體會(huì)到了計(jì)算機(jī)中“二進(jìn)制”原碼和補(bǔ)碼的位數(shù)有限的特征和負(fù)號(hào)的特殊表示形式，仿照“有理數(shù)”單元中的數(shù)軸工具，設(shè)計(jì)出“8”字和圓圈類的數(shù)軸來輔助運(yùn)算。這些設(shè)計(jì)是現(xiàn)有資料中搜索不到的，需要對(duì)二進(jìn)制循環(huán)域中的負(fù)數(shù)運(yùn)算有著深刻理解并加以創(chuàng)造才能完成。

通過這次“二進(jìn)制”學(xué)習(xí)任務(wù)，除了加深學(xué)生對(duì)于“數(shù)域中的數(shù)學(xué)運(yùn)算”理解外，切實(shí)提升了學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的核心素養(yǎng)。學(xué)生們的數(shù)學(xué)想象力和創(chuàng)新意識(shí)也得到了充分拓展和發(fā)揮。同時(shí)，閱讀能力、信息檢索能力、論文寫作能力、團(tuán)隊(duì)合作能力等方面也得到了全方位的提升。