含轉角自由度斷裂膜元運用擴展有限元方法研究綜述

俞成雯

(重慶交通大學 重慶 400074)

一、擴展有限元法

(一)擴展有限元法概念

擴展有限元法采用的形狀(插值)函數是包括了不連續函數，利用單位分解的方法，在常規有限單元法的位移模式中采用不同類型的加強函數在裂紋上，使用漸進位移場的低階項，來模擬裂紋尖端的奇異性，而應力強度因子需要經過特殊的積分計算。

(二)擴展有限元的研究情況

Xiao和Karihaloo[1]總結了擴展有限元法在靜態裂紋中的應用的綜合表現，并且發現擴展有限元法與廣義有限元法的相性較好。Karihaloo等[2]將擴展有限單元法與廣義有限元法進行了比較，提出了廣義有限單元容許P-自適應，將有限元空間采用解析解或給定值問題的數值解進行改進，無須精細化分的網格計算的精準數值解。

余天堂[3-4]利用擴展有限元法的基本原理，提出了解決不連續函數的數值積分，并運用該方法推導出裂紋尖端的應力強度因子的計算式，并且提出了三維裂紋問題以及摩擦接粗裂紋問題的擴展有限元法。

二、廣義協調元

(一)廣義協調元的概念

由龍馭球等[6]提出了廣義協調元，歸納和總結了協調元和非協調元的特點，便于選取場函數，保證了單元的靈活性。廣義協調元實質上是非協調元，但是在含以上卻不同于傳統的非協調元，將多變量的退化型(極限型)勢能原理來表示變分。

(二)含轉角自由度的平面斷裂膜元

在連續體平面問題中，位移型的Lagrange單元及結點僅出現在邊上的Serendipity單元，可作為平面膜元。這類單元在板殼有限元中運用最廣，它的每個結點位移分量為兩個線位移來保證收斂，Stricklin等[7]和Lee等[8]就此問題，在四邊形八結點等參單元Q8上進行研究和探討。為了減少內部節點從而達到計算簡化，提出了在平面膜元上增加旋轉自由度的概念，得到了更為精確的解，增加了單元位移場階次數。

1.平面斷裂膜元引入

平面斷裂膜元，就是基于平面膜元的基礎概念上，全新開發的新型斷裂單元。龍馭球院士課題組雖然提出了含轉角自由度的平面膜元，但仍未考慮其在單元裂紋問題的研究，對轉角自由度的處理，需要對裂紋單元所包含的裂紋的不同而分別討論。常規單元即采用平面膜元的表示方法，即用單元結點線位移確定的位移場和由角點剛體產生的附加旋轉位移場分別表示，而斷裂單元則用這兩個位移場正確表示轉角自由度。

2.研究方法

選取合適的含轉角自由度的平面膜元，構造考慮轉角自由度的位移場，在不連續處的構造，考慮轉角自由度和線自由度的表達式，在這里將不連續位移場和連續位移產由角點剛體轉角產生的附加旋轉位移場與角點線位移引起的變形量分別單獨考慮，用不同的位移場公式進行疊加。采用矩形平面膜元的時候，通常采用面積坐標法來表示結點的坐標，這里需要采用廣義協調元理論，求出待定系數，從而正確表示面積坐標；擴展有限元方法的公式理論推導，包括求解剛度矩陣、應力強度計算等，推導裂紋貫穿單元和含裂尖單元的擴展有限元格式；編寫含轉角自由度的斷裂膜元計算程序，正確運行平面斷裂膜元的開發代碼并引用例子進行準確性校核。

3.研究結論

開發一個垂直單元平面的含旋轉自由度的平面斷裂膜元，在引進擴展有限元法和增加位移場的階次的情況下，得到斷裂單元。它的角點自由度能非常方便地與其他類型單元，如板、殼及梁單元相連接，所以平面斷裂膜元的開發上更加迫切。在具有旋轉自由度的斷裂膜元作為一部分理論基礎，對組成的平板型斷裂殼元研究提供理論參考，能夠了解殼體的斷裂情況，在運用擴展有限元知識的情況下解決此類問題，還能為高層結構中的剪力墻的斷裂分析提供一種思路。