立足教材 淺談數學思想方法在復習課中的滲透
——以中考復習課《二次函數(一)》的教學設計為例

黃淑芬

(福建省漳州第三中學 363000)

一、問題提出

筆者曾開設一節中考復習課《二次函數(一)》的公開課.在磨課的過程中，筆者用較為傳統的復習課模式進行試講，試圖從二次函數的定義(一般式)出發，用配方法將數字系數的二次函數表達式化為y=a(x-h)2+k(本文中a作為二次項系數，a≠0)的形式，再用五點法畫出二次函數的圖象，進而以圖象的直觀輔助研究二次函數的性質，最后再對知識進行鞏固和運用.但是學生的課堂反應不如預期，復習效果也較差.

對此現象，分析主要原因有：(1)教師沒有深入理解教材，對函數的教學只停留在知識結構層面；(2)教師沒有遵循學生的認知規律，沒有厘清知識間的關系；(3)教師沒有設定好中考復習課的教學功能，對數學思想方法的滲透不夠自然.

二、問題分析

回歸教材，對于函數的教學，教材設計均是通過對實際問題的分析，建立函數模型，再對函數的圖象與性質進行探索，最終解決實際問題.這是研究函數的一般程序.如果在九年級的中考復習課中，仍按照學習函數的一般程序進行復習，那么就會忽略對二次函數的特殊性的理解，知識的構建沒有針對性.遇到具體的二次函數問題，學生仍不能較好地分析解決.

在方法上，對于二次函數的圖象和性質的研究，教材化復雜為簡單，從具體的、特殊的二次函數y=ax2出發，先研究函數的圖象，再由圖象的特征分析函數的性質.這是研究函數的一般方法.因此，在教學中，教師可以以學生的認知起點出發，從特殊到一般，從“數”到“形”，再從“形”到“數”，引導學生整體把握二次函數表達式與圖象之間的聯系，抓住圖象主要特征(開口方向，對稱軸，及頂點坐標)，從而構建二次函數知識網絡.

三、教學設計

1.學情分析

學生能識別二次函數并知道二次函數的圖象是拋物線；能借助圖象的幾何直觀分析函數的性質；但是由表達式得到圖象特征，畫二次函數的示意圖等方面存在困難；已知二次函數表達式，在解決問題時，借助圖形分析性質的主動意識也不強.

2.復習目標

立足教材，從二次函數y=ax2的圖象和性質開始構建知識，引導學生抓住圖象的主要特征(開口方向，對稱軸，頂點)，并依次得到函數的對稱性，增減性和最值.通過圖象的平移變換，由具體到抽象，讓學生理解二次函數表達式y=a(x-h)2+k中a，h，k的意義.最終再一般化得到確定二次函數y=ax2+bx+c的圖象特征的方法.在過程中，讓學生體會“數” 與“形”的結合在解決函數問題時的便利，同時，為學生夯實基礎，降低學習難度，引導抓住圖象特征，即得到分析函數性質的關鍵.

3.教學過程

(1)二次函數的圖象和性質

活動：畫出二次函數y=2x2的大致圖象(再用五點法作圖).

學生在作圖的過程中會經歷分析問題(需要確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標)，解決問題的過程.通過動手作圖，再次讓學生體會抓住作圖的關鍵在于確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，在描點時，從本質上理解(對稱性)圖形的對稱即為點的對稱，對稱點的連線段被對稱軸垂直平分(對稱點到對稱軸的距離相等)，對稱點具有相同的函數值.

問1：借助圖象，說說函數有哪些性質？(對稱性、增減性、最值)

問2：一般的，分析二次函數y=ax2的圖象特征.

方法提煉：抓住拋物線的圖象特征，就可以直觀得到函數的性質.

【設計意圖】從一個特殊的二次函數(y=2x2)的表達式開始，讓學生識辨，經歷從“數”到“形”，從“形”到“數”的過程，最終得到二次函數y=ax2的圖象特征.

問3：將拋物線y=2x2向上或向下平移，說說在圖形的變化過程中，圖象特征發生了怎樣的變化？一般的，分析二次函數y=ax2+k的圖象特征.(上下平移對稱軸不變，頂點橫坐標不變，縱坐標為k)

問4：將拋物線y=2x2向左或向右平移，說說在圖形的變化過程中，圖象特征發生了怎樣的變化？一般的，分析二次函數y=a(x-h)2的圖象特征.(左右平移對稱軸發生改變，頂點橫坐標改變，縱坐標不變，對稱軸為直線x=h)

問5：如何平移拋物線y=2x2得到拋物線y=2(x+3)2-1？說說平移后的圖象特征.

問6：一般的，試分析二次函數y=a(x-h)2+k的圖象特征.

【設計意圖】：加強學生對函數圖象的直觀感知.圖象的平移過程中，抓住對稱軸的變化規律，幫助獲得對稱軸以及頂點坐標的確定方法，從本質上理解a，h，k的意義.

問7：說說二次函數y=-2(x-2)2+3的圖象特征.二次函數y=-2x2+8x-5的圖象特征呢？

問8：一般地，說說二次函數y=ax2+bx+c的圖象特征.

從頂點式到一般式，讓學生通過對比，快速確定解決方案：①運用公式求對稱軸，利用頂點的定義即對稱軸與拋物線的交點，求出頂點坐標；②對一般式進行配方，把一般式轉化成頂點式，直接求出對稱軸和頂點坐標.

【設計意圖】：學生經歷二次函數從y=ax2的特殊形式逐步到y=ax2+bx+c的一般化的過程，對知識體系產生整體性的再認識.同時，獲得了研究函數的一般方法，體驗了化歸與轉化的思想方法.

(2)技能固化

練習(1)二次函數y= -3(x+1)2+3 的開口方向是____，頂點坐標____，對稱軸是____，說說此函數的性質.

練習(2)二次函數y=x2-2x+c，的開口方向是____，頂點坐標____，對稱軸是____，說說此函數的增減性.

【設計意圖】：練(1)和練(2)對于頂點式和一般式的分析，獲得圖象特征，由“數”得“形”，再借“形”得“數”.

練習(3)已知y是x的二次函數，圖象過(-1，0)，(0，3)，(2，3)，則該拋物線與x軸的交點的坐標是____.

【設計意圖】：學生可以由坐標特征，通過描點分析圖象的特征，從而得到拋物線與x軸的交點的坐標；學生也可以從“數”的角度，分析數據特征，得出對稱軸，進而再根據對稱性求解.

練習(4)已知二次函數y=-(x-h)2+2(h為常數)，求函數的最大值.

變式：當2≤x≤4時，y的最大值為-2，求h的取值.

【設計意圖】：這是含參數的頂點式，由表達式確定圖象的特征，借助大致圖象，分析增減性求最值，滲透數形結合和分類討論思想.

四、問題思考

1.教材在中考復習中的作用

通過教材的學習，學生在獲得新知識的同時，也培養了學習的能力.而在實際的中考復習中，教材的作用已經漸漸的被復習材料替代了.在教學中，教師會建議學生利用課后時間對復習課中相應的知識點，結合教材進行復習鞏固，但現實是，學生會因為時間不夠，作業量大或不重視等因素而將書本“束之高閣”.如何發揮教材在中考復習中的作用？在本文中《二次函數(一)》的復習便是立足教材，有效幫助學生理清知識間的關系.這種處理方式，讓學生在熟悉的情景下，較為容易地對接課堂，夯實基礎，為后續“鏈接中考”作鋪墊.在本節課的課堂上，學生的參與度高，學生能在解決問題中，不斷獲得信心.試想在以后復習課的教學中能否通過合理利用教材，巧妙搭建再學習的平臺，讓學生在復習課中，發揮課堂的主體作用.

2.數學思想方法的滲透在中考復習中的意義

傳統的復習課重在知識的構建和知識的運用，構建的方式一般是思維導圖或讓學生課前梳理.而方法的提煉主要在例題和練習題的講解過程中體現.如果教師不進行精心設計，對例題和習題只注重知識點的應用而不注重方法的概括，單純的依賴復習材料，則很容易“滿堂灌”，學生也容易出現“聽得懂”，卻“不會解”的現象.因此，在中考復習中，數學思想方法的滲透也是教學的重任.在授之于魚的同時，授之于“漁”.在本文中《二次函數(一)》的復習，教師讓學生重新體驗探究二次函數圖象和性質的過程，著力滲透“數”與“形”結合的思想方法.在練習題的解決過程中，教師發現學生能很好地運用數形結合的方法，化抽象為直觀，以幫助解決問題.此外，學生又可以從中習得，在解決一般的數學問題時，可以從特殊出發，從具體出發，化復雜為簡單.