無窮區間上積分-微分方程組邊值問題正解的存在性和唯一性

唐秋云,王明高

(1. 齊魯醫藥學院，a.公共教學部 數學教研室;b.圖書館,山東 淄博 255300；2.山東理工大學 數學與統計學院，山東 淄博 255049)

1 引言及預備知識

近年來，許多學者對微分系統邊值問題正解的存在性產生了興趣并作了深入的探討。

唐秋云等[1]探討了半直線上微分方程組邊值問題的正解的存在性,應用錐拉伸和錐壓縮不動點定理，得到至少兩個正解的存在性的結果。在[0,1]區間上，孫忠民等[2]討論了三階微分方程組邊值問題，鐘璇[3]研究了四階微分方程組邊值問題，Zheng等[4]探討了二階含導數項的微分方程組邊值問題，分別應用不動點指數定理、Leggett-Williams不動點定理等得到多個正解的存在性結果。李紅玉等[5]利用拓撲方法和不等式研究了Sturm-Liouville邊值問題，得到至少一個正解的存在性結果。但是，在研究分析了大量相關文獻之后，發現微分方程組的形式較簡單，沒有同時含有積分項和導數項的情況。

Wang[6]在[0,1]區間上討論了含有導數項四階微分方程邊值問題的正解。在半直線上，程蓉等[7]研究了一類含積分微分項方程解的存在性和唯一性；Guo[8]在Banach空間中探討了一類非線性脈沖積分-微分方程；Yan等[9]和Liu等[10]探討了多個無界解的存在性；文獻[11-13]分別利用不動點定理研究了二階微分方程多個正解的存在性定理。雖然這些成果很優秀，有些同時含有積分項和導數項[7-8]，但是這些只是對不同的微分方程的邊值問題探討所得。

本文在以上文獻的基礎上，在無窮區間(即半直線)上進一步考慮了積分-微分方程組邊值問題,其中含有積分項和導數項，同時邊值條件為任意非負常數，然后利用Banach不動點理論得到正解的存在性和唯一性結果,最后還給出了唯一解對邊值條件的依賴性。

本文考慮無窮區間上積分-微分方程組邊值問題(BVP)

(1)

其中fi∈C[R+×E×E×E×E×E×E×E×E,E],i=1,2。設E為Banach空間，

且

(2)

其中，Ki∈C[D,R],D={(t,s)∈R+×R+:t≥s},Hi∈C[R+×R+,R],R為實數集。

令C[R+×R+]=:{(x,y):x,y∈C[R+,E]},

定義范數‖(x,y)‖=:max{‖x‖D,‖y‖D},其中

‖x‖D=max{‖x‖F,‖x′‖C},‖y‖D=max{‖y‖F,‖y′‖C},

易證，DC[R+,R+]在上述范數下成為一個Banach空間。

2 主要結果

為方便起見，先列出下列條件：

(H2)存在非負常數aij(i=1,2;j=1,2,…,8)和pi∈C[R+,R+]滿足

引理1若條件(H1)成立，則由(2)定義的算子Ti和Si(i=1,2)是從FC[R+×R+]到FC[R+×R+]的有界性算子，且

(3)

證明由(2)可知，對?t∈R+有

和

類似的

和

由t的任意性知(3)成立，同時有界性也得到證明。

進一步易知Ti和Si(i=1,2)是FC[R+×R+]到FC[R+×R+]的線性算子。

綜上，引理結論成立。證畢。

以下記fi(t,·)=fi(t,x(t),x′(t),y(t),y′(t),(Tix)(t),(Tiy)(t),(Six)(t),(Siy)(t)),i=1,2。 引理2 若條件(H1)，(H2)滿足，則

(4)

‖fi(t,x1,…,x8)‖≤pi(t)(ai1‖x1‖+…+ai8‖x8‖)+‖fi(t,θ,…，θ)‖,i=1,2。

所以，對(x,y)∈DC1[R+×R+]，根據引理1，我們可以得出

引理3假設(H1),(H2)滿足，則對?(x,y)∈DC1[R+×R+]∩C2[R+×R+]為BVP(1)的一個解，當且僅當(x,y)∈DC1[R+×R+]是如下積分方程組的解

(5)

其中G(t,s)=min{t,s}。

證明根據BVP(1)可知

。

(6)

對(6)兩邊同時從0到t積分，得

。

(7)

進而，

(8)

將(8)代入(7)得到

同理

因此，(x(t),y(t))滿足(5)。

另一方面，若(x,y)∈DC1[R+×R+]滿足(5)，則通過求導得

繼續求導得

于是，我們發現(x,y)∈DC1[R+×R+]滿足BVP(1)。證畢。

定理1 假設(H1)，(H2)滿足，若

(9)

則BVP(1)在DC1[R+×R+]∩C2[R+×R+]中有唯一解。

證明定義算子A如下：

A(x,y)(t)=:{A1(x,y)(t),A2(x,y)(t)},

(10)

其中，

(11)

由引理2，對任意t∈R+我們有

(12)

其中，β同(9)中定義，α=max{‖x0‖,‖x∞‖,‖y0‖,‖y∞‖}+max{ri,i=1,2}所以有

‖Ai(x,y)(t)‖F≤α+β‖(x,y)‖,?(x,y)∈DC[R+,R+],i=1,2。

(13)

另一方面，由(10)、(11)及引理2，類似于(12)的推導，我們得到

(14)

故

(15)

由(13)與(15)可知算子A從DC1[R+,R+]到DC1[R+,R+]，且

‖A(x,y)‖≤α+β‖(x,y)‖,?(x,y)∈DC1[R+×R+]。

利用(H2)，類似于(12)，我們發現

于是有

(16)

另外，類似于(14),(15)容易得到

(17)

因此，根據(16)，(17)我們有

由(9)知β<1，所以A:DC1[R+×R+]→DC1[R+×R+]為壓縮映射，于是由Banach不動點定理知算子A在DC1[R+×R+]上有唯一不動點，由引理3知BVP(1)在DC1[R+×R+]∩C2[R+×R+]上有唯一解。證畢。

(18)

則

(19)

證明由引理3知(x(t),y(t))滿足(5)，且

(20)

(21)

與

(22)

類似于(16)，由(5)和(21)可知

同理

故

另一方面，由(20)和(22)我們得到

綜上可得

因此，(19)式成立，定理得證。證畢。

3 結論

本文在原有微分方程組邊值問題正解存在性的基礎上增加了導數項、積分項，并且邊值條件由邊值為零擴展為非負實數。另外，Guo[8]曾經研究過含積分項、微分項的微分方程的解，在文中借鑒了他證明正解存在性的方法，應用Banach不動點理論，得到了積分-微分方程組BVP(1)正解的存在性和唯一性結果(見定理1),并在最后探討了正解對邊值的依賴性(見定理2)。