基于三剪強度準則的非飽和土庫侖主動土壓力

崔 舜， 雷勝友

(長安大學(xué)公路學(xué)院,西安 710064)

土壓力計算作為土力學(xué)的經(jīng)典課題,是擋土墻等支擋結(jié)構(gòu)設(shè)計的理論依據(jù)[1]。為滿足工程實踐的發(fā)展需要,考慮多種因素影響的復(fù)雜條件下?lián)跬翂ν翂毫τ嬎惚粚W(xué)者所重視,并取得了一些成果[2-7]。在這些研究中,關(guān)于巖土體的強度理論,大多應(yīng)用的是Mohr-Coulomb強度準則,因而忽略了中間主應(yīng)力σ2對巖土體強度的影響。與此同時,在干旱及半干旱地區(qū)的工程實踐中,遇到的土體多處于非飽和狀態(tài)[8],上述研究大多未按照非飽和土理論進行分析,與實際不符,偏于保守。為此,一些學(xué)者綜合考慮以上因素,將雙剪統(tǒng)一強度理論應(yīng)用于非飽和土壓力計算中,進行了有益的嘗試[9-11]。然而雙剪統(tǒng)一強度理論在特定應(yīng)力條件下會出現(xiàn)雙重滑移角現(xiàn)象與滑移面方向突變的問題,同樣考慮中間主應(yīng)力影響的三剪強度準則[12-13],較好地克服了上述問題,是一個更合理、適用范圍更廣的強度準則系列。因此,基于三剪強度準則,結(jié)合非飽和土抗剪強度理論,推導(dǎo)了多種因素影響的擋土墻庫侖主動土壓力表達式,通過算例說明了該表達式的合理性,進一步對相關(guān)三剪強度參數(shù)、非飽和土參數(shù)對土壓力的影響進行了討論分析。

1 三剪強度準則及非飽和土抗剪強度

1.1 三剪強度準則

三剪強度準則[12-13]是在雙剪統(tǒng)一屈服準則的基礎(chǔ)上,考慮了十二面體單元上所有三個主剪應(yīng)力的共同作用,其表達式如下:

(ασ1-σ3)(σ1-σ3)+b(ασ1-σ2)(σ1-σ2)+b(ασ2-σ3)(σ2-σ3)=(1+b)(σ1-σ3)ft

(1)

式(1)中：α=ft/fc為巖土材料的拉壓強度比；σ1、σ2、σ3分別為第一、第二、第三主應(yīng)力,σ1≥σ2≥σ3,σ2即為中間主應(yīng)力；b為主剪面應(yīng)力對(τ12,σ12)和(τ23,σ23)對材料屈服的共同影響系數(shù)之和；ft、fc分別為材料的單軸抗拉強度、單軸抗壓強度。

對于巖土材料,三剪強度準則可表示為Mohr-Coulomb強度準則的形式[14],便于應(yīng)用:

τ=σtanφt+ct

(2)

(3)

式中：τ為巖土材料基于三剪強度準則的抗剪強度；φ、φt分別為巖土材料初始內(nèi)摩擦角、三剪內(nèi)摩擦角；c、ct分別為巖土材料初始黏聚力、三剪黏聚力；μσ為Lode應(yīng)力參數(shù),其表示為μσ=(2σ2-σ1-σ3)/(σ1-σ3)。

三剪強度準則是一個適用范圍較廣的強度準則系列,當α=1,b=0時,對應(yīng)Tresca屈服條件；當α=1,b=1/3時,對應(yīng)Mises屈服條件；當α<1,b=0時,對應(yīng)Mohr-Coulomb屈服條件。大量研究結(jié)果表明,當α<1,0

1.2 非飽和土抗剪強度

擋墻土壓力計算與土的抗剪強度理論密切相關(guān)。對于非飽和土來說,其抗剪強度理論發(fā)展至今,Fredlund提出的非飽和土雙應(yīng)力狀態(tài)變量抗剪強度公式[2]應(yīng)用較為廣泛,其表達式為

τf=c′+(σ-ua)tanφ′+(ua-uw)tanφb

(4)

式(4)中：τf為非飽和土的抗剪強度；c′為有效黏聚力；φ′為有效內(nèi)摩擦角；(σ-ua)為凈法向應(yīng)力；(ua-uw)為基質(zhì)吸力；φb為基質(zhì)吸力角,表示抗剪強度隨基質(zhì)吸力增加的速率。

1.3 基于三剪強度準則的非飽和土抗剪強度

(5)

還可表示為

(6)

(7)

式(5)是一個較完備的土體抗剪強度公式,考慮土體非飽和因素及中間主應(yīng)力作用,且克服了雙剪統(tǒng)一強度理論存在雙重滑移角且滑移面方向變化的局限,適用范圍較廣。當b=0,(ua-uw)=0時,式(5)即退化為Mohr-Coulomb強度準則。

2 基于三剪強度準則的非飽和土庫侖主動土壓力公式推導(dǎo)

在以下分析中,將擋土墻土壓力求解視為平面應(yīng)變問題。假定墻后填土為均質(zhì)土,沿深度方向基質(zhì)吸力均勻分布,基質(zhì)吸力角保持一致；填土強度特性以基于三剪強度準則的非飽和土抗剪強度公式表示；填土在主動極限平衡狀態(tài)下,滑裂體為剛體,滑裂面為平面。主動土壓力計算分析示意如圖1所示,擋土墻墻高為H,滑裂體為BMN,滑裂面BN的垂直距離為HL,滑裂體頂部MN的水平距離為L。由幾何關(guān)系可得:

(8)

式(8)中：ε為擋土墻背面與垂直方向的夾角；β為墻后填土傾斜與水平方向夾角；α為滑裂面BN與水平方向夾角；k為墻后填土與墻背間的黏聚力,δ為摩擦角；ct為填土三剪總黏聚力；φ′t為三剪有效內(nèi)摩擦角；z0為填土表面裂縫深度；h0為擋土墻頂面到墻背法向接觸應(yīng)力零點的深度,根據(jù)幾何關(guān)系[5],z0可表示為

(9)

圖1 主動土壓力計算分析示意圖Fig.1 Sketch of calculation and analysis of active earth pressure

對滑裂體BMN進行受力分析,各作用力如下。

(1)填土頂部均布荷載Q及裂縫區(qū)土體重力G1,表示為

Q+G1=(q+γz0)L=(H-h0)×

(10)

(2)滑裂體BMN自重G2,表示為

(11)

(3)滑裂面BN黏聚力合力C,表示為

(12)

(4)擋土墻墻背與填土間黏聚力合力K,表示為

(13)

(5)擋土墻墻背對滑裂體作用反力,即所求主動土壓力E。

(6)土體對滑裂體作用反力R。

由水平方向平衡條件∑Xi=0,得：

(14)

由垂直方向平衡條件∑Yi=0,得：

(15)

聯(lián)立式(14)、式(15),E可表示為

(16)

其中

(17)

根據(jù)庫侖土壓力理論,擋土墻后土體沿滑裂面滑動,必有一滑裂面使滑裂體對擋土墻的土壓力為最大值,此滑裂面即為最危險滑裂面,其與水平方向的夾角為滑裂角αa。因此,求取主動土壓力前需先求得滑裂角αa。

對于Kq,經(jīng)三角函數(shù)變換,有:

(18)

得到Kq表達式:

(19)

同理可得

(20)

對式(16)加以處理,使之便于后續(xù)求解滑裂角:

(21)

其中:

(22)

對式(21)通分,得到:

(23)

其中:

(24)

(25)

由前述定義,滑裂角表示為

αa=arccotλ*+β

(26)

將式(26)代入式(16)中,得到基于三剪強度準則的非飽和土庫侖主動土壓力表達式:

ct(H-h0)Kac-k(H-h0)Kak

(27)

擋土墻的土壓力計算問題可視為平面應(yīng)變問題,因此應(yīng)用式(27)計算時三剪強度準則參數(shù)μσ值取0。式(27)是一個較完備的求解擋土墻主動土壓力表達式,可考慮巖土材料中間主應(yīng)力作用,根據(jù)其材料差異選用合適的強度參數(shù),還可考慮其非飽和因素,同時體現(xiàn)填土黏聚力、墻背傾斜、填土面傾斜、填土表面超載及裂縫深度等對土壓力的影響。當b=0時,其退化為基于Mohr-Coulomb強度準則的非飽和土庫侖主動土壓力表達式；當(ua-uw)=0時,其退化為基于三剪強度準則的飽和土庫侖主動土壓力表達式；當b=0,(ua-uw)=0時,其退化為基于Mohr-Coulomb強度準則的飽和土庫侖主動土壓力表達式。

式(27)中h0可令土壓力分布強度為零得到,求解過程如下:

對式(27)關(guān)于H求導(dǎo),得到:

(28)

(29)

(30)

(31)

令ea=0,得到:

(32)

由于土壓力計算系數(shù)Kaγ、Kaq、Kac、Kak均是h0的函數(shù),因此需通過式(32)迭代求解得到h0。經(jīng)編制程序試算,兩次迭代就可得到較精確值。

3 算例分析

算例1:某擋土墻高H=8 m[11],填土重度γ=18 kN/m3,有效黏聚力c′=5 kPa,有效內(nèi)摩擦角φ′=22°,超載q=0,基質(zhì)吸力角φb=14°,其余計算參數(shù)ε、β、δ、k均為0。

由于文獻[11]中非飽和土壓力解強度準則參數(shù)與本文解意義不同,僅選取強度準則參數(shù)b=0進行計算對比。表1列出了b=0時不同基質(zhì)吸力的非飽和土壓力計算結(jié)果,可以看出,在不同基質(zhì)吸力條件下,非飽和土壓力解計算值與文獻[11]解保持一致,證明了本文解的推導(dǎo)是合理的。文獻[11]解與本文解均考慮了中間主應(yīng)力效應(yīng),同時本文解可克服雙剪統(tǒng)一強度理論存在雙重滑移角且滑移面方向變化的局限,并且能得到滑裂角具體數(shù)值。

算例2:某非飽和黃土垂直高邊坡[15-16],高H=14 m,γ=14.2 kN/m3,c=18 kPa,φ=25°,超載q=0,參數(shù)ε、β、δ、k為0。邊坡浸水滲透后破壞,經(jīng)非飽和三軸試驗得到c′=4.46 kPa,φb=11.7°,φ′=22.82°,土體基質(zhì)吸力取浸水末期所測值,(ua-uw)=150 kPa。

采用本文解與朗肯土壓力理論分別計算該垂直高邊坡土壓力,并與土壓力實測值進行比較,列于表2。可以看出,計算值均遠小于朗肯土壓力理論計算結(jié)果,且與土壓力實測值更為接近。當b=1/3時,計算值略小于實測值,實際應(yīng)用時,合理確定土體的三剪強度參數(shù)是必要的。

表1 算例1本文解與文獻[11]解計算值對比Table 1 Comparison in calculated value of example 1 between this paper and ref.[11]

表2 算例2本文解與朗肯理論計算值及實測值對比Table 2 Comparison between the test value and the calculated values using this method and Rankine theory for example 2

4 影響因素討論

以文獻[2]算例為基礎(chǔ),增加參數(shù)進行計算分析,著重考慮非飽和土抗剪強度參數(shù)及三剪強度準則參數(shù)對于土壓力的影響。某擋土墻高H=10 m[2],γ=18.6 kN/m3,φ′=24°,超載q=0,增加的參數(shù)有:α=5°,β=10°,δ=10°,c′=10 kPa,k=5 kPa,φb=12°,(ua-uw)=20 kPa。

圖2曲線反映了基質(zhì)吸力(ua-uw)及三剪強度參數(shù)b對土壓力Ea的影響。

由圖2可知,當基質(zhì)吸力(ua-uw)一定時,土壓力計算值Ea隨三剪強度參數(shù)b的增大而減小。當(ua-uw)=20 kPa時,b值從0增大到1/3,土壓力Ea則從266.0 kN/m減小到201.7 kN/m,減小幅度為24.2%。因此應(yīng)用三剪強度準則,可有效利用巖土體自身強度,在工程設(shè)計時避免過大安全儲備造成材料浪費,使工程造價過高。當三剪強度參數(shù)b一定時,隨基質(zhì)吸力的增大,土壓力計算值Ea呈非線性減小趨勢,且基質(zhì)吸力越小時,減小速率越快。當b=1/6時,(ua-uw)從0增大到80 kPa,土壓力Ea從275.9 kN/m減小到119.5 kN/m,減小幅度達56.7%。可見基質(zhì)吸力的存在及變化,對土壓力計算值影響較大,在計算土壓力時需要明確土體性質(zhì),并精確測定基質(zhì)吸力大小。

圖3曲線反映了基質(zhì)吸力角φb及三剪強度參數(shù)b對土壓力計算值Ea的影響。

圖2 (ua-uw)、b對Ea影響Fig.2 Impact of (ua-uw) and b on Ea

圖3 φb、b對Ea影響Fig.3 Impact of φb and b on Ea

由圖3可知,當基質(zhì)吸力角φb一定時,土壓力計算值Ea也隨三剪強度參數(shù)b的增大而減小。在實際應(yīng)用中,選取與巖土材料相匹配的強度準則參數(shù)是必要的。當三剪強度參數(shù)b一定時,土壓力計算值Ea隨基質(zhì)吸力角φb的增大而線性減小,當b=1/6時,φb從0增大到21°,土壓力Ea從275.9 kN/m減小到197.2 kN/m,減小了28.5%。相對基質(zhì)吸力來說,基質(zhì)吸力角對非飽和土壓力的影響程度略小,但土體非飽和因素的影響不可忽視,須對其予以重視。

5 結(jié)論

(1)基于三剪強度準則,結(jié)合非飽和土抗剪強度理論,推導(dǎo)得到考慮多種因素影響的擋土墻庫侖主動土壓力表達式。該式更合理地反映了巖土體中間主應(yīng)力作用,考慮其非飽和因素,可用于較復(fù)雜情況下的土壓力計算,經(jīng)算例驗證其推導(dǎo)是合理的。

(2)土壓力計算值隨著三剪強度參數(shù)b的增大而減小。選取與巖土材料相匹配的強度準則參數(shù),合理考慮中間主應(yīng)力作用,可有效利用巖土體自身強度,優(yōu)化設(shè)計,提高經(jīng)濟效益。

(3)非飽和土壓力隨基質(zhì)吸力的增大非線性減小,而隨基質(zhì)吸力角的增大呈線性減小趨勢,基質(zhì)吸力對非飽和土壓力影響尤為顯著。在工程實踐中,應(yīng)明確土體性質(zhì),對土體非飽和因素予以重視。