談?wù)勚行臉O限定理及其應(yīng)用

付苗苗

【摘?要】中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中一個(gè)非常重要的定理，銜接著概率論的知識(shí)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，既是教學(xué)重點(diǎn)又是難點(diǎn)。中心極限定理證明了，一般的情況下，無(wú)論隨機(jī)變量服從什么樣的分布，個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限分布，就是正態(tài)分布。本文僅介紹其中兩個(gè)最基本的中心極限定理，并通過(guò)舉例簡(jiǎn)介它的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】中心極限定理;正態(tài)分布;隨機(jī)變量;應(yīng)用

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，正態(tài)分布是一種最重要的分布，它不僅最常見，而且還具有良好的性質(zhì)。在現(xiàn)實(shí)生活中，許多隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布，即使有些原來(lái)并不服從正態(tài)分布的獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們的和的分布也近似服從正態(tài)分布，一般地，如果隨機(jī)現(xiàn)象的某個(gè)數(shù)量指標(biāo)受到眾多不確定因素的影響，而且這些不確定因素彼此之間沒有什么依存關(guān)系，且誰(shuí)也沒有特別突出的影響，那么，這些不確定因素對(duì)該數(shù)列指標(biāo)影響的 “累積效應(yīng)”將會(huì)使該數(shù)列指標(biāo)近似地服從正態(tài)分布。中心極限定理從理論上證明了，在一般的情況下，無(wú)論隨機(jī)變量服從什么樣的分布，個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限分布，就是正態(tài)分布。因此，中心極限定理不僅給我們提供了計(jì)算相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的概率的近似簡(jiǎn)單方法，而且解釋了在現(xiàn)實(shí)生活中，為什么很多數(shù)量指標(biāo)都服從或近似服從正態(tài)分布這一事實(shí)。

根據(jù)不同的假設(shè)條件，有多個(gè)中心極限定理。這里我們僅介紹兩個(gè)常用的最基本的中心極限定理，然后，再加以應(yīng)用。

一、獨(dú)立同分布的中心極限定理

定理1（林德貝格一列維定理）（獨(dú)立同分布的中心極限定理）：設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立，且服從同一分布，又具有有限的相同的數(shù)學(xué)期望和方差，且

，則對(duì)于隨機(jī)變量，有。

定理中隨機(jī)變量的相互獨(dú)立是說(shuō)隨機(jī)變量之間不相互影響，而同分布是指隨機(jī)變量在序列的前n項(xiàng)部分和中的地位相同，或者說(shuō)，每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)前n項(xiàng)的部分和的影響都是微小的。又由于沒有限定隨機(jī)變量共同的分部類型，因此，對(duì)于任意類型的隨機(jī)變量，無(wú)論它是離散型，還是連續(xù)性，還是其它類型，都具有相同的結(jié)論。

將此定理加以推廣，我們可以得到更為一般的結(jié)論，即只要隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)前n項(xiàng)的部分和的影響都是微小的，哪怕他們的分布類型不同，其前n項(xiàng)的部分和的標(biāo)準(zhǔn)化后，都具有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的極限分布。因此，從理論上解釋了自然界中一些現(xiàn)象受到眾多相互獨(dú)立

且微小的隨機(jī)因素的影響，總的影響就可以看作服從或近似服從正態(tài)分布。比如，測(cè)量某物體長(zhǎng)度的誤差，就受到眾多相互獨(dú)立隨機(jī)因素的影響，如測(cè)量?jī)x器的精確度、測(cè)量者的心理因素、態(tài)度、以及測(cè)量環(huán)境的溫度、濕度等眾多隨機(jī)因素的影響，而每個(gè)影響因素都不占主導(dǎo)地位，所以，它們的總和造成的總誤差就近似的服從正態(tài)分布。還比如某城市居民的耗電量;用水量等等。

一般的，如果隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且同分布，當(dāng)n較大時(shí)，就有如下三個(gè)實(shí)用的近似分布：（1）;（2）;（3）。

定理2（棣莫佛一拉普拉斯定理）：設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立，且服從同一分布，，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有。

顯然，棣莫佛一拉普拉斯定理是林德貝格一列維定理的特例，由于，所以，棣莫佛一拉普拉斯定理表明，二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限。當(dāng)n充分大時(shí)，我們可以利用上式來(lái)計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。即，當(dāng)n很大時(shí)，我們有如下近似 。

由泊松定理，我們知道，當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)分布可以用泊松分布來(lái)近似，而由棣莫佛一拉普拉斯定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)分布又可以用正態(tài)分布來(lái)近似。這兩種近似，哪一個(gè)更優(yōu)，有待于我們?nèi)ミM(jìn)一步探討。

二、中心極限定理的應(yīng)用舉例

例1.設(shè)供電站供應(yīng)某地區(qū)1000戶居民用電，各戶用電情況相互獨(dú)立。已知每戶每日用電量（單位：度）在[0，20]上均勻分布。試求：要以99%的概率保證該地區(qū)居民供應(yīng)電量的需要，供電站每天至少應(yīng)向該地區(qū)供應(yīng)多少度電？

解：設(shè)表示第戶居民的用電量（），表示該地區(qū)總的用電量，則，且各相互獨(dú)立.又;故;。由林德貝格一列維中心極限定理可知，近似服從正態(tài)分布，又由 ，及 可推得，

所以 。故供電站每天至少應(yīng)向該地區(qū)供應(yīng)10423.57度電.

例2.一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的.假設(shè)每箱平均重50kg，標(biāo)準(zhǔn)差為5kg.若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試用中心極限定理說(shuō)明每車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.

因此，每車最多可以裝98箱，才能保障不超載的概率大于0.977.

例3.在某家保險(xiǎn)公司里有1萬(wàn)名司機(jī)參加車輛被盜保險(xiǎn)，每人每年付 3百元被盜保險(xiǎn)費(fèi)。如果車輛被盜，司機(jī)可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得 10萬(wàn)元的賠償金。假設(shè)在一年內(nèi)某一車輛被盜的概率為 0.02%，問：（1）保險(xiǎn)公司在該項(xiàng)目上虧本的概率有多大？（2）保險(xiǎn)公司在該項(xiàng)目上，一年中獲利不少于 50萬(wàn)元的概率是多少？

解：（1）設(shè)表示一年內(nèi)車輛被盜的車輛數(shù)，則設(shè)表示保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)，則。于是，由棣莫佛一拉普拉斯定理可得：近似服從正態(tài)分布，所以。我們有

即保險(xiǎn)公司在該項(xiàng)目上虧本的概率為1.25%。

即保險(xiǎn)公司在該項(xiàng)目上一年中以86.86%的概率獲利不少于 50萬(wàn)元。

中心極限定理的應(yīng)用十分廣泛，以上三個(gè)例子僅僅是其應(yīng)用的一些方面。一般地，如果一個(gè)隨機(jī)變量能夠分解為相互獨(dú)立，且同分布的隨機(jī)變量序列之和的問題，則就可以直接利用中心極限定理來(lái)進(jìn)行分析和討論。此外，我們還可以利用中心極限定理來(lái)證明無(wú)窮級(jí)數(shù)中的某些級(jí)數(shù)得斂散性，以及在大樣本的情況下，求未知非正態(tài)分布的置信區(qū)間也同樣可用中心極限定理解決等等。由于篇幅所限，這里，就不再累贅了，有興趣得讀者可查看相關(guān)得文獻(xiàn)。

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（作者單位：廣州工商學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部）