APOS理論探索的反思與超越

摘 要 在APOS理論引介到我國之后的十幾年里，我國的數學教育研究者開展了大量的實證研究、應用研究與評價研究。當前研究存在著一些對APOS理論的錯誤認識，比如：將APOS理論理解為一個線性的心理結構;將APOS理論定位為一種代數學習理論;認為APOS理論只能服務于數學概念的學習。走出認識誤區，才能真正實現APOS理論的超越。一方面，APOS理論提供了學習新知的三種方式;另一方面，提供了劃分數學問題解決學習階段的依據。

關鍵詞 APOS理論 概念學習 數學問題解決

APOS理論是美國學者杜賓斯基（Ed Dubinsky，1993）等人提出的一種建構主義的數學學習理論，討論了數學學習的心理階段或結構，即操作、過程、對象和圖式[1]。在APOS理論引介到我國之后的十幾年里，我國的數學教育研究者開展了大量的實證研究、應用研究與評價研究。一些研究定勢使得基于APOS理論的數學學習研究陷入了瓶頸期，我們不得不放慢腳步，以擺脫當前“廣而不深”“一葉障目”的研究局面。

一、APOS理論的本質認識與功能定位

APOS理論本質上討論的是數學學習的心理結構與心理機制的問題。已有研究對這兩個概念的混淆不利于學習者區分數學的階段與方法。斯滕格（Stenger et al.， 2008）等人對這兩個概念進行了區分，指出“心理結構是個體用于理解數學情境的相對穩定的結構，而心理機制是個體頭腦中形成這一結構的方法”[2]。這也就是說，心理結構是一種靜態的結構，心理機制是一個動態的過程，心理機制使得個體從一種心理結構向另一種心理結構的轉化成為可能。

更為具體地，杜賓斯基等人用操作、過程、對象和圖式來表示數學學習中的心理結構。對某一數學對象實施操作，這種操作經過內化成為過程，過程可以被壓縮為一個完整的對象，整個系統成為圖式的一部分，當個體運用圖式去解決問題而不需要反思圖式中的元素和關系時，則說明圖式經過了主位化，主位化是個體有意識地將圖式用于問題解決中的機制[3]。上述內化、壓縮和主位化等方法就是貫穿于數學學習的始終的心理機制。此外，協調、逆轉、解壓等也是促進各種心理結構形成的心理

機制。

相應地，心理結構與心理機制的本質差異使得APOS理論可以從兩個方面進行功能定位。首先，APOS理論具有診斷功能。它能夠調查個體對數學概念的理解并描述個體的思維發展情況[1]。這一功能中，APOS理論作為一個分析工具，用于診斷學習者是否形成了某一心理結構，診斷的結果為學生數學學習的評價與行為糾正等提供了參考。其次，APOS理論具有解釋功能。心理機制能夠解釋個體的數學知識是如何建構的[4]。這一功能中，APOS理論作為一個理論基礎，對數學教學進行指導，或為進一步的應用研究提供依據。

二、APOS理論的反思

1.操作、過程、對象、圖式并不是一個線性的結構

APOS理論的心理結構常被解讀為從低層次到高層次的線性結構。事實上，數學學習的心理結構在心理機制的作用下形成了一個環形的結構（如圖1所示），并且環形結構中的每一個要素間的聯系不都是單向的。操作是一種直接進行的外部轉換，每一步轉換在外在的引導下精確地表示，既不能主觀臆斷，也不能隨意跳過。過程不同于操作，雖然也是在執行轉換，但是并不需要經過每一步。隨著操作步驟的重復和對操作過程的反思，個體從依靠外在的提示轉向依靠內部調控。內化使得這一心理變化成為可能。只有當個體嘗試對過程進行壓縮時，才有可能將一個動態的結構轉化為可以應用的靜態結構;只有當個體意識到過程可以作為一個整體時，才能形成對象。當然也存在這樣一種情況：簡單的操作或是達到高度自動化的操作，可以直接形成對象。

值得注意的是，一旦過程被壓縮成心理對象，它還可以在需要引發的時候解壓為潛在的過程。也就是說，經過解壓機制，個體還能將對象還原為先前的過程。協調是基于多個過程建構新的對象所必不可少的心理機制，兩個對象在分別解壓為先前的過程后，相互協調并重新被壓縮為一個新的對象，如復合函數概念的形成。逆轉是建構新對象的另一心理機制。某一過程在逆轉機制的作用下所形成的新過程，將被重新壓縮為新的對象，如反函數概念的形成。操作、過程、對象三者之間的互動可以促成圖式的形成，一旦圖式作為連續結構的集合體被建構起來，并且集合體中各個結構的聯系被建立起來時，這個圖式就能被轉化為一個穩定的結構或者可以同化其它圖式的動態結構，也就是認知結構的重組。

2.APOS理論不只是一種代數學習理論

杜賓斯基在系統論述APOS理論時，選擇了線性代數、統計和微積分作為具體的例證，但這并不意味著該理論不適用于幾何知識的學習。與代數知識不同，幾何知識的學習是由具體到抽象的過程，幾何圖形或幾何體是由生活中的具體實物抽象而來。具體來說，操作這一心理結構在幾何學習中表現為能夠借助外在的提示，找到或列舉出與某一實物類型相同的其它實物;在進一步的學習中，逐漸表現出擺脫提示，并能夠從已有的例子出發，類比出同類的其它實物即為過程;而能夠總結出這一類事物所具有的本質特征，才能夠形成對這一類實物的完整認識，并嘗試概括出具體概念以及抽象出代表這一類實物的幾何圖形或幾何體。類似的過程在高等幾何中也是存在的，根據圖形與空間的關系，可以對幾何圖式的發展進行描述，如從歐氏幾何關注的圖形的表征與圖形的性質，到變換系統的引入，再到變換群的引入[3]。因此，APOS理論也是適用于幾何學習的理論。

3.APOS理論不只服務于數學概念的學習

一般認為，APOS理論是數學概念學習理論，但并不等同于APOS理論只服務于數學概念的學習。靜態的概念學習最終會向高階思維水平發展，其達成的學習結果也不再是陳述性的知識。杜賓斯基從建構主義的視角分析了數學學習的過程，他認為個體的數學學習是在經過思維的操作、過程、對象之后，將它們組合成圖式[3]。操作即感知到外部刺激，并對刺激進行轉換。這種對不同刺激作出不同反應的能力也就是加涅智慧技能層級論中的“辨別”。接下來，在“辨別”基礎之上形成的“概念”，也是學習者通過操作達成的學習結果。因此，一般運用APOS理論進行的所謂的概念教學，其達成的學習結果已不僅僅是“概念”，其教學內容已涉及對“概念”的進一步理解和運用，它可以達成更高層次的智慧技能。過程和對象這兩個心理結構的相同之處在于形成了以“概念”為前提的“規則”，不同之處在于過程強調一種過程模式的建構，相當于“規則”的自動化;對象強調將過程作為一個整體進行轉換或運算，是指“規則”的遷移與運用。由過程向對象的轉化構成數學思維的一個基本形式[5]。包括操作、過程、對象在內的整個認知系統即為圖式，不同圖式的整合和精致將伴隨簡單“規則”的復雜組合。這一階段所形成知識的綜合圖式將被納入自身的認知結構中，與已有的知識建立新的實質性聯系[6]。因此，圖式是有助于達成加涅智慧層級論中的“高級規則”的心理結構，是學生數學問題解決學習的前提條件。

三、APOS理論的超越

不得不承認的是，一直以來對APOS理論的一些誤解使得研究者和一線工作者對這一理論的認識是片面的、甚至是錯誤的。走出APOS理論的認識誤區是實現理論超越的必由之路。

1.APOS理論提供了學習新知的三種方式

APOS理論有助于理解數學學習的本質并提高數學學習的科學性。該理論提供了學習新知的三種方式，這三種方式遵循了不同心理結構的發生發展的順序。

（1）操作—過程—對象

“操作—過程—對象”是三種學習新知的方式中最為基礎的一種，圍繞這一種方式開展的應用研究也是最為普遍的。內化和壓縮兩種心理機制分別實現了這一學習方式中的兩次轉化，即“操作—過程”的轉化和“過程—對象”的轉化。以函數為例，當學習者從不同給定點函數值的重復計算，發展為在大腦中形成一種“對應關系”的過程模式時，也就是將一種外部刺激內化為一種過程模式，完成了從“操作”到“過程”的轉化;當學習者進一步將這一種“對應關系”以整體的形式用于運算，并能夠對函數的性質作出判斷時，則是將這一“過程”壓縮為一個“對象”[7]。“操作”“過程”和“對象”是數學學習中的三個基本要素，當這三個要素以其它的順序或形式進行轉化時，還需要其它的心理機制作支撐。解壓、協調、逆轉的心理機制提供了學習新知的另外兩種方式，這也是容易被研究者忽視的兩種方式：“兩對象—兩過程—相互協調的過程—新對象”和“對象—過程—逆轉后的過程—新對象”。

（2）兩對象—兩過程—相互協調的過程—新對象

某些新的對象的形成需要以兩個甚至多個靜態的對象為學習基礎，這一新的對象的形成不能簡單理解為先前多個對象的疊加，而是需要將先前的對象還原為可操作的過程，并且使這些過程相互協調地整合在一起，再次壓縮為一個整體，形成一個新的對象。同時，我們會發現，組合的順序也會影響新的對象的形成，如復合函數f （ g （x））與g （ f （x））雖然都是以函數f （x）、g （x）為基礎，卻形成了兩個不同的函數對象。在形成這兩個復合函數之前，我們對函數f （x）、g （x）的認識需要重新回歸到“在定義域內給定任意一個x值都有一個相應的f （x）值與之對應”的動態過程中，這一動態過程影響著形成新對象定義域的過程。在認清f （x）的定義域為

{x丨x∈A}，g （x）的定義域為{x丨x∈B}的基礎上，生成復合函數f （ g （x））的定義域{x丨g （x）∈A∩x∈B}，

以及g （ f （x））的定義域{x丨x∈A∩f （x）∈B}的過程，用到的就是心理機制中的協調，這一過程還將被壓縮為新的整體，實現個體對這一對象的完整認識。

（3）對象—過程—逆轉后的過程—新對象

還有一類對象不能獨立于另一對象單獨存在，而是與另一對象成對出現。這類對象的特點是不能脫離另一對象的形成過程實施教學。如“相反數”這一對象的形成首先要將個體對“數”的整體認識還原為一個過程——正數就是數軸上從原點出發向右移動若干單位的位置所表示的量，零是數軸上原點位置上表示的量，負數是數軸上從原點出發向左移動若干單位的位置所表示的量;“相反數”這一對象則是在上述過程的逆轉機制中生成的，即個體需要在數軸上表示出表示相反意義的量，再將這一過程壓縮為具體的對象。又如，“對頂角”這一概念的形成也要將個體對“角”的整體認識還原為一個過程——從一個端點出發引出兩條射線，“對頂角”則是反向延長這兩條射線所形成的，同樣也用到了逆轉的心理機制。類似地，“平方”與“平方根”，“函數”與“反函數”等數學對象的形成也是如此。

不難看出，本文所論述的學習新知的三種方式共同組成了數學學習的環形結構。

2.APOS理論提供了劃分數學問題解決學習階段的依據

盡管國內外學者和研究機構對問題解決的界定是多樣的[8]，數學問題的形式是豐富的，而且每一個問題的具體解決過程不同，但從整體上考察這些問題解決的過程，它們卻是有規律的[9]。APOS理論中的圖式形成的三個階段為數學問題解決學習的階段劃分提供了理論依據，明確每一階段的學習任務對落實數學問題解決的教學計劃具有重要意義。

（1）數學問題解決學習的準備階段

尚處于準備階段的學習者，已經習得解決數學問題所需要的概念和規則，卻沒有形成或者只形成了部分可操作的對象。其解題過程常表現得相對具體，需要借助具體的實物來表征問題中的數量關系或位置關系，有時還會把一些無關的條件考慮到問題中。進入準備階段的學習者的學習任務是有選擇地將這些概念和規則用于組合。加涅將這種簡單規則的復雜組合稱為高級規則，并指出創造這種復雜規則或者高級規則的目的是為了解決一個或一類實際問題[10]。學習者對所需要的概念和規則進行的不同選擇決定了所形成的高級規則的多樣性。這一階段的特點表現為每一個形成的高級規則都是一次認知結構的重組。與此同時，形成了多個處于離散狀態的心理結構。

（2）數學問題解決學習的結構化階段

學習者已經習得多個高級規則，卻未能形成一個結構化的操作對象，其解題過程表現得相對抽象，如借助幾何直觀來表征問題中的數量關系和位置關系，解題圖式的各個構成要素也在經歷了準備階段之后變得豐富起來，具備了進入結構化階段的學習條件。在明確這些高級規則的區別與聯系的基礎之上，根據這些高級規則的特點和功能將其進行組合，是結構化階段的學習任務。也就是說，高級規則可以組合成更為復雜的規則來解決問題，組合的目的是為了在運用圖式解決問題時能夠更加靈活、有效地進行遷移。這一階段包括兩個甚至多個高級規則的整合，以及將某一高級規則整合到另一個高級規則的情況。這一階段的整合是認知結構的再一次重組。與此同時，上一階段處于離散狀態的圖式變得連續起來。圖式的連續性標志著學習者具備了將圖式作為一個整體應用于各種問題情境的條件。

（3）數學問題解決學習的遷移階段

對于將多個可操作的對象聯系起來，卻不能將其作為一個整體在不同的問題情境中自由遷移的學習者來說，遷移階段是必須經歷的學習階段。圖式拓展的程度不是衡量圖式是否完善的全部標準，圖式的完善還取決于情境化和條件化的發展。遷移的概括性理論認為，兩個學習活動之間存在共同要素只是產生遷移的前提，產生遷移的關鍵則是學習者從兩種學習活動中概括出它們的共同原理[11]。這也就是說，圖式的遷移取決于新的問題情境能否概括出與已有圖式相同的原理。因此，遷移階段的具體任務包括判斷新問題是否屬于某一圖式的應用范圍，明確這一圖式在不同問題情境中的限制條件，能夠在不同情境中將這一圖式合理地遷移和運用。這一階段形成的圖式是高級規則與具體情境整合的結果，學習者在具體情境中形成對圖式內部各組成要素間相互關系的深入理解。與此同時，也呈現出豐富性、特殊性和發展性的特點[7]。唯有經歷了遷移階段的學習，才能達到更為抽象的思維水平，更加靈活地選擇和運用已經形成的圖式，才能在面對更為復雜的情境時擺脫無關信息的干擾。

一番思考后發現，APOS理論的貢獻并不局限于給出了數學學習的一般規律，還在于為圖式水平劃分提供了依據，為測驗材料的編制提供了參考。至此，APOS理論在其“分析學生思維”“關注思維發展走向”的功能定位上將發揮更大的作用。教育研究的繁榮使得每一個時代都在孕育著新的理論。有的理論經得起時間的沉淀，成為教育研究史上的經典之作;有的理論雖然留下了濃墨重彩的一筆，卻終究被取代。阻礙理論生命延續的不只是自身的缺陷，還在于教育研究者能否走出認識的誤區，深入挖掘理論的本質，并賦予理論新的生命。

參考文獻

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[作者：馬曉丹（1989-），女，天津人，北京教育學院初等教育學院，講師，博士。]

【責任編輯 楊 子】